Теорема синусов и косинусов в задачах с практическим содержанием. 9-й класс

Мучкаева Елена Чудеевна, учитель математики

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Класс: 9

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (2 МБ)

Цели урока:

1) выработать умения и навыки решения задач с практическим содержанием, применяя теоремы;

2) показать связь теории с практикой;

3) продолжать вырабатывать внимание, активность, аккуратность, самостоятельность.

План урока.

I. Сообщение темы и целей урока.

II. Повторение. Решение задач.

III. Сообщение на тему: “Геометрия в древних практических задачах .

IV. Решение задач на определение недоступных расстояний.

V. Домашняя работа.

VI. Подведение итогов урока.

Ход урока

Учитель делает краткое вступление, напоминая ученикам, что они изучили теоремы косинусов и синусов, решали задачи. Говорит о том, что они должны научиться применять полученные знания и умения при решении задач с практическим содержанием.

Два ученика работают у доски по карточкам.

Карточка № 1

1. В треугольнике АВС сторона АВ = 8 см, <С=60⁰, <В = 45°. Найдите сторону АС.

2. Сформулируйте теорему косинусов.

Карточка 2

1. В треугольнике АВС сторона АВ = 7 см, < В= 45⁰, ВС = 5 см. Найдите сторону АС.

2. Сформулируйте теорему синусов.

б) Три ученика работают по карточкам 3—5 на своих местах.

Карточка № 3.

1. В треугольнике АВС сторона АВ = 4 см, <С = З0⁰, <В = 45°. Найдите сторону АС.

2. В треугольнике PQR сторона РQ = 7,5 м, QR = 9,4 м, РR = 11,3 м. Какой угол треугольника — наибольший, какой — наименьший?

Карточка № 4

1. В треугольнике СDМ сторона СD = 10 см, < D = 45°, <М = 60°. Найдите сторону СМ.

2. Стороны треугольника равны 7 см и 9 см. Может ли угол, противолежащий стороне 7 см, быть тупым? Почему?

Карточка № 5

1. В треугольнике КРD сторона РD = б с, <К= 60°, <Р = 45°. Найдите сторону КD.

2. Стороны треугольника равны 8 см и 6 см. Может ли угол, противолежащий стороне, равной 6 см, быть прямым? Почему?

III. Остальные ученики в это время слушают сообщение на тему: Геометрия в древних практических задачах (журнал Математика в школе 1995 г.).

На первых этапах своего развития геометрия представляла собой набор полезных, но не связанных между собой правил формул для решения задач, с которыми люди сталкивались в повседневной жизни. Лишь много веков спустя учеными древней Греции была создана теоретическая основа геометрии. Но и тогда прикладная геометрия не утратила своего значения, поскольку была незаменима для землемерия, мореплавания и строительства. Таким образом, написанные в древности, руководства по геометрии, содержащие рецепты решения практических задач, сопровождали человечество на протяжении всей истории существования. Решения отдельных старинных задач практического характера могут найти применение и в настоящее время, а поэтому заслуживают внимания.

История геометрии хранит немало приемов решения задач на нахождение расстояний. Определение расстояний до кораблей, находящихся в море, — одна из таких задач, решаемая двумя способами.

Предполагают, что оба способа ее решения принадлежат древнегреческому ученому путешественнику и купцу Фалесу Милетскому (VI в. до н.э.).

Первый способ основан на одном из признаков равенства треугольников.

Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель в точке А (рис. 1). Требуется определить расстояние КА. Построив в точке А прямой угол, необходимо отложить на берегу два равных отрезка АВ = ВС. В точке С вновь построить прямой угол, причем наблюдатель должен идти по перпендикуляру до тех пор, пока не дойдет до точки В, из которой корабль К и точка В были бы видны лежащими на одной прямой. Прямоугольные треугольники ВСД и ВАК равны, следовательно, СД = АК, а отрезок СД можно непосредственно измерить.

рис. 1

Второй способ, получивший название метода триангуляции, нашел применение в астрономии. С его помощью измерялись расстояния до небесных тел. Этот метод состоит из трех этапов:

1) измерение углов α и β и расстояния АВ (рис. 2);

2) построение треугольника A^/ B^/ K^/ с углами α и β при вершинах А’ и В’ соответственно;

З) учитывая подобие треугольников АВК, A^/ B^/ K^/ и равенство АК : АВ = А’К’ : А’В’, по известным длинам отрезков АВ, А’К’ и А’В’ нетрудно найти длину отрезка АК. (Рисунки готовятся заранее на доске или ватмане).

рис. 2

Еще один — третий способ решения задачи на определение расстояния содержится в русской военной инструкции начала ХVII в.

Пусть необходимо измерить расстояние от точки А до точки В (рис. 3)

В точке А нужно вбить “жезл” примерно в рост человека. Верхний конец “жезла” следует совместить с вершиной прямого угла треугольника так, чтобы продолжение одного из катетов проходило через точку В. Далее нужно отметить точку С пересечения продолжения другого катета с землей. Тогда, воспользовавшись пропорцией АВ : АВ = АD : АС, легко вычислим длину АВ; АВ = . Для того чтобы упростить расчеты и измерения, рекомендуется разделить “жезл” на 100 или 1000 равных частей.

Огромный вклад в развитие прикладной геометрии внес китайский трактат “Математика морского острова” в котором приведены решения различных задач на определение расстояний до предметов, расположенных на отдаленном расстоянии, и вычисление недоступных высот. Задачи Лю Хуэя довольно сложны. Решение своих задач он обычно давал в виде правил. Эти задачи имели большую практическую ценность и поэтому получили широкое распространение не только в Китае, но и далеко за его пределами.

После этого сообщения учитель собирает самостоятельные работы учеников, а работающие у доски объясняют свое решение и отвечают на вопросы.

IV. Решение задач на определение недоступных расстояний.

Задача 1. Для определения ширины непроходимого болота с вершины вертолета, находящегося на высоте h измерили углы α и β. Найти ширину болота АВ.