ФГОС второго поколения начального общего образования определяет новые требования к уровню подготовки младших школьников, что предполагает необходимость переосмысления педагогами начальной школы как самого подхода к процессу обучения младших школьников, так и необходимость внесения корректив в методику преподавания отдельных предметов, среди которых начальный курс математики.
Особую актуальность приобретает целенаправленное формирование у младших школьников «умения учиться» через учебный предмет. В этой связи, дополнительное включение в содержание базового курса математики в начальной школе комбинаторных задач – задач, требующих осуществления перебора всех возможных вариантов или подсчёта их числа(6; 90) несомненно, способствует совершенствованию приемов умственной деятельности младшего школьника, формированию у него способности комбинировать, осуществляя «поиск тех или иных преобразований» (цит. по: 14; 22).
Объектом исследования является дифференцированное включение комбинаторных задач на разных этапах обучения математике в начальной школе
Предмет исследования – приемы обучения младших школьников решению комбинаторных задач.
Цель проводимой работы: развитие логического мышления младшего школьника через решение комбинаторных задач
Задачи исследования:
- изучить имеющуюся учебно-методическую литературу по теме исследования;
- определить методические приемы обучения младших школьников решению комбинаторных задач;
- осуществить дифференцированное включение комбинаторных задач на разных этапах обучения математике младших школьников;
- провести психолого-педагогическое наблюдение за деятельностью обучающихся в процессе решения комбинаторных задач и определить их роль в развитии младших школьников.
Исследователи Н.Б.Истомина, Е.Е.Белокурова
связывают развитие комбинаторного мышления
младшего школьника со становлением умственных
операций, теоретического мышления, считающегося
основным «новообразованием младшего школьного
возраста» с развитием творческих способностей
ребенка ( 6; 150 ). Таким образом, обучение
школьников решению комбинаторных задач на уроке
математики позволяет комплексно решать задачи,
направленные на получение обучающимся как
предметного, так и метапредметного, личностного
результата.
Для внедрения комбинаторных задач в практику
работы учителя начальных классов созданы
сегодня реальные условия. Имеется
учебно-методическое обеспечение, позволяющее
включать элементы комбинаторики в учебный
процесс. Моя работа осуществлялась на основе
специального учебно-методического пособия –
комплекта рабочих тетрадей «Учимся решать
комбинаторные задачи» Н.Б. Истоминой, УМК
«Гармония» (7, 8, 9).
В современной учебно-методической литературе
представлен опыт обучения школьников решению
комбинаторных задач (5,6). Между тем далеко не
каждый учитель начальных классов может с
уверенностью говорить о том, что его ученики
могут с легкостью решать задачи. Решение
комбинаторных задач может представлять для них
особую сложность, так как связано с обучением
школьников абстрагированию, перенесением
практического действия в план умственного,
связано с умениями анализа, синтеза,
классификации объектов, представляющих
сложность на начальном этапе обучения.
– Система работы по обучению младших школьников
решению комбинаторных задач складывалась в
течение четырёх лет практической работы с данным
видом задач и основана на анализе
учебно-методических рекомендации
учителей-исследователей, публикуемых в специаль-
ных методических изданиях (1, 2, 3, 14)
Изучив методическую литературу по исследуемой проблеме, некоторые публицистические статьи (Н.Б.Истомина, Е.Е.Белокурова, С.В.Солнышко) были выделены виды комбинаторных задач и этапы их решения, для последующего практического включения в базовый курс математики. Обучение решению комбинаторных задач проводится в три этапа:
1. Подготовительный этап, цель которого
формирование мыслительных операций в
процессе решения комбинаторных
задач с помощью хаотического перебора.
На подготовительном этапе предлагаются задачи
на развитие познавательных способностей, на
активизацию таких мыслительных процессов как
анализ, синтез, обобщение и классификация. Это
задачи-игры и «жизненные» задачи (задачи,
решаемые в повседневной деятельности человека).
Например, для обеспечения мотивации решения
комбинаторных задач можно предложить детям
задачу-игру «День-ночь», «Башенки».Подобные игры
с успехом можно проводить во время физминуток.
«Жизненные» задачи», показывающие возможность
применения комбинаторики в повседневной
деятельности человека также направлены на
формирование простых мыслительных операций.
Например, интерес у ребят вызывает следующая
задача:
«У кассы кинотеатра стоят четверо ребят. У двух
из них сторублевые купюры, у других двух –
пятидесятирублевые. Как должны расположиться
ребята, чтобы никому не пришлось ждать сдачи?» В
ходе решения задача обыгрывается: к доске
вызываются 4 учеников, получающие модели
купюр. Билет в кино стоит 50 рублей. В начале
продажи касса пуста. (Вызываю «кассира» и даю ему
«билеты»). Находим два возможных варианта
решения: 1. – 50 рублей, 100 рублей, 50 рублей, 100
рублей; 2 – 50 рублей, 50 рублей, 100 рублей, 100
рублей. Данные задачи могут предлагаться
утомившимся учащимся в конце урока математики.
Таким образом, на подготовительном этапе
создается положительная мотивация, происходить
эмоциональная подготовка учащихся к
дальнейшему решению более сложных
комбинаторных задач.
2. Целью второго основного этапа обучения
младших школьников решению комбинаторных задач
является ознакомление учащихся с новыми видами
комбинаторных задач: задачами, решаемыми методом
организованного перебора; с помощью таблиц; с
помощью графов; с помощью дерева возможных
вариантов.
При знакомстве школьников с ходом решения задач
методом организационного перебора важно обучить
детей выполнять перебор не хаотически, а
соблюдая определенную последовательность
рассмотрения всех вариантов решений.
Перед тем, как знакомить учащихся с новым
способом решения комбинаторных
задач – с помощью таблиц, необходимо
актуализировать знания детей о таблицах,
выделить существенные признаки таблиц и
сформулировать определение понятия «таблица»,
например такое: таблица – это перечень
сведений, числовых данных, приведенных в
определенную систему и разнесенных по графам
(строкам и столбцам). Примеры задач, решаемых с
помощью таблиц:
«Запиши в нужные клетки таблицы следующие числа:
23, 32, 11, 31, 22, 33, 13. Какие числа нужно записать в
оставшиеся клетки?»
Перед решением данной задачи вспоминаем разрядный состав чисел, используемых в решении задачи. Получается такая таблица:
| ед. дес. | 1 | 2 | 3 |
| 1 | |||
| 2 | |||
| 3 |
Проверь, правильно ли заполнена таблица?
| ед.дес. | 5 | 9 |
| 2 | 25 | 29 |
| 7 | 75 | 97 |
| 1 | 51 | 19 |
Вспоминаем разрядный состав чисел, используемых в задаче. Находят ошибки сами.
«В танцевальном кружке занимаются пять девочек: Женя, Маша, Катя, Юля и Даша и 5 мальчиков: Олег, Вова, Стас, Андрей и Иван. Сколько различных танцевальных пар можно составить? Заполни таблицу и проверь свой ответ».
Эту задачу предлагаю учащимся в качестве домашнего задания. Таким образом, даю детям возможность самим составить и заполнить таблицу по аналогии.
При решении комбинаторных
задач с помощью графов объекты
обозначаются точками. Связи между объектами
могут обозначаться линиями и стрелками, если
нужно показать направление действия или
правильную последовательность в изображении
объектов. Новое для школьников понятие «граф»
рассматривается на уроке помощью следующей
задачи:
«Пятеро друзей встретились после каникул и
обменялись рукопожатиями. Каждый, здороваясь,
пожал руку. Сколько всего было сделано
рукопожатий?»
Сначала выясняем с учащимися, как можно
обозначить каждого человека (быстрее и удобнее
изображать людей точками, которые располагаются
примерно по кругу, чтобы записи были понятными и
наглядными). Рукопожатия удобно обозначить
черточками. Сначала составить рукопожатия
одного человека (точку соединить со всеми
остальными), потом перейти к другому человеку.
Проведенные линии помогут увидеть, с кем он уже
поздоровался, а с кем нет, составить недостающие
рукопожатия. Так действовали до тех пор, пока все
не поздоровались друг с другом.
Далее учащиеся знакомятся с применением одной из разновидностей графа – деревом возможных вариантов при решении комбинаторных задач.
С детьми выясняем, что данный вид графа, если его перевернуть будет похож на дерево, на котором растут ветки с листьями. Наше дерево отличается тем, что растет сверху вниз, потому что так удобнее располагать объекты в нужной последовательности. Такой вид графа называется деревом возможных вариантов.
Таким образом, на основном этапе дети учатся решать комбинаторные задачи разными способами.
. Отработка умения решать комбинаторные задачи логически завершает процесс формирования навыка решения комбинаторных задач в процессе овладения школьниками содержанием начального курса математики. На этапе отработки умений школьникам предлагается решать комбинаторные задачи разными способами (методом организованного перебора, с помощью таблиц, с помощью графов), тем самым, с одной стороны, закрепляя умение решать такие задачи с помощью различных приемов деятельности, с другой – осуществляя действие самоконтроля, являющееся необходимым компонентом учебной деятельности.
Процесс обучения начинается с решения простейших комбинаторных задач, расположенных уже на 1-х страницах учебника математики(10),направленных на развитие внимания, наблюдательности, умений анализа, синтеза, сравнения.
Дополнительно предлагаю задачи из печатной тетради «Учимся решать комбинаторные задачи». В ней содержится дополнительный материал к учебнику «Математика» автор Н.Б.Истомина. К концу обучения в 1 классе учащиеся справляются с решением простых комбинаторных задач способом перебора. Эти задачи развивают наблюдательность, внимание и логическую речь учеников.
Во 2 классе условия задач немного усложняются и требуют от детей внимания, способствуют развитию логического и образного мышления.
В качестве домашнего задания я просила детей попробовать самим составить комбинаторные задачи. Дети составляли их по аналогии с теми, которые решали в классе, например: «Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 2,4,0, если цифры не повторяются? Если цифры повторяются?».
Сначала это была небольшая группа детей, но потом им понравилось самим составлять такие задачи и задавать их другим. Постепенно к творческой работе включился весь класс.
Наблюдения за деятельностью детей на уроке математики показывают, что к окончанию второго класса даже у детей с заниженным логическим мышлением появился интерес к решению комбинаторных задач.
В третьем и четвёртом классах задачи усложняются по содержанию. Они формируют у детей приёмы умственной деятельности, абстрагирования, способствуют развитию произвольного внимания и образного мышления. Дети знакомятся с деревом возможных вариантов, когда способ перебора можно заменить схемой. Схему-дерево возможных вариантов можно располагать по-разному.
Как можно разместить на скамейке Настю, Таню, Мишу и Серёжу, чтобы мальчики и девочки чередовались?
Сначала записываем все возможные варианты расположения детей на скамейке.(перебор), потом заменяем схемой.
А теперь прошу заполнить самостоятельно схему-дерево, если корень дерева расположен вверху.
Такие задачи решить самостоятельно дети затрудняются, поэтому решение задач –коллективное. Составляем таблицу, проводим наблюдения по условию и перебираем варианты.
В учебнике математики за 4 класс более часто встречаются задачи данного вида и решаются они на уроках с подробным разбором.
Большую роль в организации обучения детей решению комбинаторных задач играет процесс дифференциации заданий по уровню сложности. Для учеников, испытывающих особые трудности в решении комбинаторных задач, предлагаются дифференцированные по уровню сложности задания.
- Сколько четырёхзначных чисел, в которых 6 тысяч, можно записать цифрами 6, 5, 2?
Пониженный уровень: Составить все возможные варианты записи этих чисел.
Повышенный уровень: Заполнить схему-дерево возможных вариантов.
- В класс пришли четыре новых ученика: Коля, Вася, Саша и Петя. Как учитель может рассадить этих учеников за две свободные парты? Сколько вариантов выбора у него есть?
Пониженный уровень: составить все возможные варианты, пользуясь способом перебора.
Повышенный уровень: Заполнить схему-дерево возможных вариантов.
Вывод.
Включение комбинаторных задач в начальный курс математики оказывает положительное влияние на развитие младших школьников;
Решение комбинаторных задач способствует развитию вариативности мышления – направленности мыслительной деятельности на поиск различных путей решения задачи, когда на это нет специального указания.
Уже после первого года обучения у школьников наблюдается положительная динамика в развитии логического мышления, о чем свидетельствуют данные психологического тестирования детей по методике Дж. Ванна.(Приложение 1) Уровень развития логического мышления повышается от класса к классу.
К концу обучения в 1 классе учащиеся справляются с решением простых комбинаторных задач способом перебора. Эти задачи развивают наблюдательность, внимание и логическую речь учеников. Во 2 классе условия задач немного усложняются и требуют от детей внимания, способствуют развитию логического и образного мышления. В 3 и 4 классах задачи усложняются по содержанию. Они формируют у детей приемы умственной деятельности, абстрагирования, способствуют развитию произвольного внимания и образного мышления. Экспериментальная проверка предлагаемой методики решения комбинаторных задач на уроках математики в 1-4 классах доказывает свою эффективность на практике. Наблюдение за деятельностью детей в процессе самостоятельного решения ими комбинаторных задач на уроке показывает, что учащиеся, усваивая алгоритм решения комбинаторных задач, приобретают уверенность в своих силах, дети учатся находить варианты выхода из проблемной ситуации, приобретают уверенность в своих силах.
Учащиеся в большинстве своем успешно справляются с учебной деятельностью .При проведении итогового тестирования Службой по контролю и надзору за качеством знаний в сфере образования Иркутской области в 2009-20100 учебном году качество знаний по математике составило: оптимальный уровень – 20,8%, высокий уровень – 58,3%, достаточный уровень – 12,5% при 100% успеваемости. Думается, что полученные навыки решения комбинаторных задач во многом определяют способность большинства обучающихся справляться с задачами повышенного уровня сложности, предлагаемых в контрольных работах по математике. Сами обучающиеся, по результатам устного опроса, проведенного в классе, отмечают, что «им нравится решать сложные задачи», «нравится работать с консультантами», «ломать голову», «самим находить верное решение». Как показывает опыт работы, решение комбинаторных задач увлекает младших школьников, они с большим удовольствием начинают заниматься придумыванием и составлением собственных комбинаторных задач, что становится началом элементарной исследовательской и творческой деятельности.
Список литературы:
1..Белокурова Е.Е.Методика обучения
школьников решению комбинаторных задач//
Начальная школа, 1994, №12
2. Белокурова Е.Е. Некоторые комбинаторные
задачи в начальном курсе математики// Начальная
школа, 1992, №1. С.20-22
3. Белокурова Е.Е. Обучение решению
комбинаторных задач с помощью таблиц и графов
//Начальная школа, 1995, №1. С.21-24
4. Белокурова Е.Е. Характеристика
комбинаторных задач// Начальная школа, 1994, №1
5. Истомина Н.Б.Концепция обучения
математике в начальной школе// Начальная
школа, 1996,№10.С.48-57
6. Истомина Н.Б. Обучение младших школьников
решению текстовых задач.– Смоленск: Ассоциация
ХХI век,2005.
7. Истомина Н.Б., Виноградова Е.П. Учимся
решать комбинаторные задачи . Тетрадь
для учащихся 1 – 2 классов четырехлетней
начальной школы . – Смоленск: Ассоциация XXI
век, 2005
8. Истомина Н.Б., Виноградова Е.П., Редько З.Б.
Учимся решать комбинаторные задачи .
Тетрадь по математике для учащихся 3 класса. –
Смоленск: Ассоциация XXI век, 2005.
9. Истомина Н.Б., Виноградова Е.П. Учимся
решать комбинаторные задачи . Тетрадь
для учащихся 4 класса четырехлетней
начальной школы . – Смоленск: Ассоциация XXI
век, 2005.
10. Истомина Н.Б. Математика. Учебник для
первого класса четырёхлетней начальной школы.–
Смоленск: Ассоциация ХХ1 век, 2006.
11. Истомина Н.Б. Математика. Учебник для
второго класса четырёхлетней начальной школы.–
Смоленск: Ассоциация ХХ1 век, 2007.
12. Истомина Н.Б. Математика. Учебник для
третьего класса четырёхлетней начальной школы.–
Смоленск: Ассоциация ХХ1 век, 2007.
13. Истомина Н.Б. Математика. Учебник для
четвёртого класса четырёхлетней начальной
школы.– Смоленск: Ассоциация ХХ1 век, 2008.
14. Солнышко С.В. Использование комбинаторных
задач при обучении математики// Начальная
школа,1994, № 1