(Данное занятие проводится в колледже, поэтому рассчитано 1 час и 20 минут).
Цели-задачи:
- Знать - Историю возникновения систем счисления, понятие системы счисления, виды систем счисления, правила перевода из десятичной системы счисления в двоичную и из двоичной в десятичную.
- Уметь - Делать простейшие переводы из десятичной системы счисления в двоичную и из двоичной в десятичную.
Оборудование: ПК, проектор, PowerPoint.
Тип занятия: Изучение нового материала.
Ход занятия
1. Орг. момент (3 мин.)
2. Сообщение темы, целей-задач занятия.
Также сообщается, что в конце лекции будет контрольный тест. Отрицательные отметки не ставятся, но студенты получают дополнительные вопросы на самостоятельной работе после проведения практического занятия. Практическое занятие проводится на следующем урокек по решению задач по теме «Системы счисления». Объявляется конкурс на лучшую шпаргалку по данной теме. Итоги конкурса подводятся на следующем занятии, когда идет актуализация знаний перед решением задач, на практическом занятии.(5 мин.)
3. Изучение нового материала.
Далее идет рассказ преподавателя по презентации. (Приложение 1). (55 минут)
4. В процессе лекции, после объяснения правил перевода на примере, кто-то из студентов решает аналогичный пример у доски с объяснениями из специального методического пособия, которое также, используется на следующем занятии при решении задач. (Приложение 2).
5. После лекции и разборов примеров студенты отвечают на вопросы теста. (Приложение 3).(10 мин.)
6. Проверка теста. Ответы выводятся на экран. Проводится взаимопроверка.(3мин.)
7. Подведение итогов. (2мин.)
Текст лекции
Зачем при изучении дисциплин «Архитектура ЭВМ» или «Информатика» надо рассматривать системы счисления? Для каких целей? И вообще что это такое? В этом мы сегодня попытаемся с вами разобраться.
Сначала проведем небольшой экскурс в историю возникновения счёта и систем счисления. Если мы с вами начнем изучать исторические факты, которые относятся к числам, то мы увидим, что числа и действия с ними не были придуманы все сразу и одним каким-то человеком. Ещё в самые древние времена людям понадобились арифметические знания, чтобы определять, когда надо засеивать поля, когда начинать полив? Надо было знать, сколько овец в стаде, сколько мешков с зерном в амбаре, и т.д.
Но к сожалению, первобытные люди не умели считать и поэтому, например древние пастухи стали делать из глины кружки - по одному на каждую овцу. Чтобы узнать, не пропала ли овца за день, пастух откладывал в сторону по одному кружку каждый раз, когда очередное животное приходило в загон. И только убедившись, что овец вернулось столько же сколько кружков, пастух был спокоен.
Как вы думаете, это был удобный способ? А если в стаде не только овцы, а допустим и коровы, и козы? Приходилось древним пастухам из глины делать разные фигурки для обозначения разных животных. Прошло много тысячелетий, прежде чем люди научились пересчитывать предметы. Для этого им необходимо было давать названия числам.
О том, как появились имена у чисел, учёные узнают, изучая языки разных народов и народностей. Например, нивхи, которые живут на Сахалине, числительные зависят от того, какие предметы считают. Важную роль играет форма предмета, так что по нивхски в сочетаниях «два яйца», «два камня», «два глаза» - числительные различны. Одной и той же цифре «два», на русском языке. Нечто подобное было и у древних людей. Прошло опять-таки много лет прежде, чем одно и то же обозначение числа стало применяться совершенно к разным предметам.
Сначала появились названия для чисел 1 и 2. Название для числа «один» связывалось со словом «солнце», а название для числа «два»- с предметами, встречающимися попарно: крыльями, ушами и т. д. Но иногда числам 1и 2 давали другие имена, например «я» и «ты», «мужчина» и «женщина».
У некоторых племён ещё совсем недавно не было других чисел кроме как «один» и «два», а далее было «много».Но как вы сами понимаете, предметы надо было считать не только до двух , а ещё и далее. Некоторые народы нашли выход- числа стали называть, повторяя несколько раз названия для единиц и двоек. Например, на языке некоторых папуасских племён, живущих на острове Новая Гвинея в Тихом океане, и сейчас число «один» звучит как «урапун», «два»- «окоза», «три» - «окоза-урапун», «четыре»-«окоза-окоза»,так они дошли до шести, а дальше также «много». И «10», и «100»- «много».
Позднее дали обозначение числу «три». Так как до этого считали «один», «два», «много», то это новое число стали произносит вместо слова «много». Определить значение числа «три», можно например по сказкам. В русских сказках «три» играет большую роль: участвуют три брата, существует три царства, у Змея Горыныча – три головы и т.д. Число «четыре» встречается в сказках куда реже. Но на определённом этапе, оно тоже играло роль числительного «много». Это можно проследить по грамматике русского языка. Мы говорим: «одна лошадь», «две лошади», «три лошади», «четыре лошади», а далее начиная с пяти-«пять лошадей», «шесть лошадей». Значит, когда-то за числом 4 и в русском языке начиналась необозримая область. На более поздних этапах в роли «много» выступало число семь. Об это говорят различные пословицы и поговорки: «Семеро одного не ждут», «Семь раз отмерь – один раз отрежь», «Лук от семи недуг».
Первые названия чисел некоторые племена стали применять20- 25 тысяч лет назад. Слово же для обозначения числа 1000 появилось где-то примерно 5-7 тысяч лет назад.
Постепенно старые методы постепенно были вытеснены новым методом – методом счёта по пальцам, т.к.допустим, попробуйте используя метод папуасов и названия «урапун и окоза» Пальцы оказались прекрасной счётной машиной. С их помощью можно сосчитать до пяти и до десяти. Затем люди сделали шаг вперед и научились считать десятками. Правда здесь возникали некоторые неудобства. Для счёта приходилось приглашать много «счётчиков». Знаменитый исследователь Миклухо-Маклай должен был однажды объяснить папуасам , через сколько дней вернётся к ним на корабль «Витязь». Для этого он нарезал кусочки бумаги, а папуасы должны были их сосчитать: «Первый, раскладывая кусочки бумаги на колене, при каждом обрезке повторял «наре- наре»(один-один); другой повторял слово «наре» и загибал при этом палец сначала на одной, затем на другой руке. Насчитав до 10 и согнув пальцы обеих рук, опустился на колени, проговорив «две руки», причём третий папуас загнул второй палец одной руки. Со вторым десятком было сделано тоже, причём третий папуас загнул второй палец; то же самое было сделано для третьего десятка; оставшиеся бумажки не составляли четвёртого десятка и были оставлены в стороне». Итак, чтобы сосчитать всего лишь до 30, пришлось работать трём папуасам. Пальцы оказались так тесно связаны со счётом, что на древнегреческом языке «считать» выражалось словом «пятерить». В русском языке слово «пять» напоминает «пясть»- часть кисти руки. А в Англии первые 10 чисел называют общим именем- «пальцы».
Скачок от десятка к сотне тоже был сделан не сразу. У одних народов- это стало число 40, а у других 60. Одно и тоже животное называется по – русски и «сороконожка» , и «многоножка», и даже «тысяченожка». Шумеры и древние вавилоняне почитали число «60». Следы самого большого числа- «60» дошли до наших времен. Ведь до сих пор мы делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Так что самые точные часы хранят в себе память о глубокой древности.
Наступил момент, когда и 40, и 60 и даже 100 перестали казаться слишком большими числами.
Тогда для того, чтобы сказать «очень много», стали говорить «сорок сороков» или «шестьдесят шестидесятков». А у народов, пользующихся сотней, идею невообразимого множества воплощала «сотня сотен». В русском языке она получила название «Тьма». И сейчас мы говорим «Народу – тьма» или «Тьма тьмущая».
В современном мире известно множество способов представления чисел. Число можно представить группой символов некоторого алфавита.
Проанализировав, исторические факты, давайте подумаем, что же можно считать системой счисления? Что туда должно входить?
Система счисления – совокупность правил для обозначения и наименования чисел.
Самая простейшая система счисления – унарная, в которой используется всего 1 символ (палочка, узелок, зарубка, камушек и т.д.).
Различают следующие системы счисления:
Непозиционная система счисления – система счисления, в которой значение цифры не зависит от ее позиции в записи числа.
К непозиционным системам счисления относятся: римская система счисления, алфавитная система счисления и др.
Древнеегипетская десятичная непозиционная система возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э. Бумагу заменяла глиняная дощечка, и именно поэтому цифры имеют такое начертание. В этой системе счисления использовали в качестве цифр ключевые числа 1,10, 100, 1000 и т.д. и записывались они при помощи специальных иероглифов. Именно из комбинации таких «цифр» записывались числа и каждая «цифра» повторялось не более девяти раз.
Египтяне вычисляли 19*31 так: они последовательно удваивали число 31. В правом столбце записывали результаты удвоения, а в левой — соответствующую степень двойки.
Затем отмечали вертикальными черточками строки левого столбца, из которых можно было сложить множитель (19= 1+2+16), и складывали числа, стоящие в отмеченных строках справа (31 + 62 + 496 = 589).
Египетские дроби всегда имели в числителе единицу (исключение составляло 2/3). Дроби записывались как натуральные числа, только над ними ставилась точка, специальные знаки были для 1/2 и для 2/3.
Ещё одним представителем непозиционной системы счисления является римская система.
АЛФАВИТ |
||||||
I |
V |
X |
L |
C |
D |
M |
1 |
5 |
10 |
50 |
100 |
500 |
1000 |
Запомните:
Числа складываются при переходе от «большей» буквы к «меньшей», например: VI = 5 + 1 = 6 (V > 1)
Числа вычитаются при переходе от «меньшей» буквы к «большей», например: IX = 10 – 9 = 1 (I < X)
Пример: MCMXCIV = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) + (5 - 1) = 1994
Алфавитная система счисления также является представителем непозиционной системы счисления.
В алфавитных системах счисления для записи чисел использовался буквенный алфавит. В славянской системе над буквой ,обозначающей цифру, ставился специальный знак «титло».
Славянская система счисления сохранилась в богослужебных книгах.
Алфавитная система счисления была распространена у древних армян, грузин греков, арабов, евреев и других народов Ближнего Востока.
Как вы думаете, какие неудобства преследовали непозиционные системы счисления?
Недостатки непозиционных систем счисления:
- Для записи больших чисел необходимо вводить новые цифры (буквы)
- Трудно записывать большие числа
- Нельзя записать дробные и отрицательные числа
- Нет нуля
- Очень сложно выполнять арифметические операции.
Позиционные системы счисления
Позиционная система счисления – система счисления, в которой значение цифры зависит от ее позиции в записи числа.
В привычной для нас системе счисления для записи чисел используются десять цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,). Поэтому её называют десятичной системой счисления.
Начало десятичной системе счисления было положено в Древнем Египте и Вавилоне, в основном её формирование было завершено индийскими математиками в 5-7 вв. н.э.
Арабы первыми познакомились с этой нумерацией и по достоинству её оценили. В 12 веке арабская нумерация чисел распространилась по всей Европе.
Леонардо Пизанский Фиббоначи (1170-1250)- итальянский математик. Благодаря его книге “Liber Abaci”Европа узнала индо-арабскую систему чисел, которая позднее вытеснила римские числа.
Первая позиционная система счисления появилась в Вавилоне. Основанием вместо 10 было 60. Недостатком на первом этапе развития явилось отсутствие нуля.
Один из величайших древнегреческих математиков Архимед научился называть громадные числа, но обозначать их он не умел. Один из гениальнейших математиков не додумался до нуля! Впервые, нуль был придуман вавилонянами примерно две тысячи лет тому назад. Но они применяли его лишь для обозначения пропущенных разрядов в середине числа. Писать нули в конце они не догадались. В Индии примерно полторы тысячи лет тому назад нуль был присоединён к девяти цифрам и появилась возможность обозначать этими десятью цифрами любое число, как бы велико оно не было.
Самым серьезным соперником десятичной системы счёта оказалась двенадцатеричная. Вместо десятков применяли при счёте дюжины, то есть группы из 12 предметов. Во многих странах даже теперь некоторые товары, например ножи, ложки, вилки, продают дюжинами. В столовый сервиз, как правило, входят по 12 тарелок, 12 чашек, 12 блюдец. Откуда же взялся интерес к 12(дюжине)? В древних памятниках письменности число встречается часто и всегда в какой-то особой роли. То у пророка оказывается ровно 12 последователей, то герой должен совершить 12 подвигов, чтобы искупить свою вину. Древние греки насчитывали 12 основных богов. Год разделён на 12 месяцев, и даже Гулливер в книге Свифта в 12 раз выше, чем его лилипуты, и в 12 раз ниже, чем великаны. Чем объяснить такое почтительное отношение к числу 12?Ответить на этот вопрос помогла учёным глиняная табличка, на который был записан самый древний шумерский счёт. Оказывается, шумеры считали в древности не по пальцам, а по суставам пальцев. А на каждом пальце руки, кроме большого, по 3 сустава- всего 12.
К позиционным системам счисления относятся десятичная, двоичная, восьмеричная, двенадцатеричная, шестнадцатеричная, шестидесятеричная и другие системы счисления.
Основные достоинства любой позиционной системы счисления:
- Ограниченное количество символов для записи чисел;
- Простота выполнения арифметических операций.
Основание системы счисления(базис) показывает, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении её на соседнюю позицию.
Влюбой системе счисления натуральные числа, меньше основания q, представляются с помощью одной цифры данной системы. Если число больше или равно q, то требуется две и более цифры.
Представление первых чисел в некоторых системах счисления.
Заполнитетаблицу для шестеричной системы счисления.
Представление чисел в позиционных системах счисления
2 1 0–1–2 - Разряды
Любое действительное число можно записать в любой позиционной системе счисления в виде суммы положительных и отрицательных степеней числа q(основание системы).
(Далее студенты, используя методическое пособие по системам счисления (Приложение 2) решают задание №9, пример 1).
Победа десятичной системы счисления над всеми остальными объяснятся тем, что у нас пять пальцев на руке, было бы их шесть, считали мы не десятками, а дюжинами. А если бы у нас как у лошадей были копыта, мы считали бы до сих пор как папуасы- парами. Но странные повороты делает история! Именно двоичная система оказалась полезной для современной техники. На основании двоичной арифметики работают все современные компьютеры.
Двоичная система счисления
Историческая справка
1703 г. – великий немецкий математик Лейбниц ввел в математику двоичную систему счисления.
1936-1938 гг. – американский инженер и математик Клод Шеннон предложил использовать двоичную систему счисления для конструирования электронных схем. Так как это было очень удобно- есть сигнал (идет ток) - один. Нет сигнала(ток не идёт) - ноль.
В двоичной системе счисления для записи числе используется всего две цифры : 0 и 1 , q=2
Перевод чисел из двоичной системе счисления в десятичную (N2→N10) (через развернутую форму записи числа)
Рассмотрим пример.
Пример: 1011,012=1*23+0*22+1*21+1*20+0*2-1+ +1*2-2 =8+2+1+1/4=11 1/4
(Далее студенты, используя методическое пособие по системам счисления (Приложение 2) решают задание №10, пример 1).
Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в двоичную (N10→ N2)
1 способ ( метод «разности» )
1310=N2?
Ищут по таблице степеней двойки самое большое число, меньшее 13. Это 8.
13-8=5
3) Ищут по таблице самое большое число, меньшее 5. Это 4
4) 5 - 4 = 1 (это число есть в таблице).
1310 = 8 + 4 + 1 = 1 * 23 + 1 * 22 + 0 * 21 + 1* 20 = 11012
Обратите внимание: если целое двоичное число заканчивается на 0, то соответствующее ему десятичное число будет четным; если двоичное число заканчивается на 1, то десятичное будет нечетным.
2 способ (деление на основание системы счисления q=2)
Перевод целых чисел. (алгоритм)
1) Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;
2) последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим неполное частное, меньшее делителя;
3) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;
4) составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного.
(Далее студенты, используя методическое пособие по системам счисления (Приложение 2) решают задание №11, пример 1 и задание 12 пример 1).
Перевод десятичных дробей в двоичную систему счисления (N10 → N2) (умножением на 2).
Перевод дробных чисел (алгоритм)
1) Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;
2) последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления;
3) полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;
4) составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.
Полученное при умножение в левом столбце число, переводим в двоичную систему счисления. Первое число откидываем. Например, в нашем примере, мы умножили 1,1250 на 2 и получили 2,2500. Необходимо перевести 2 в двоичную систему счисления- это 10. Оставляем ноль, единицу откидываем.
(Далее студенты, используя методическое пособие по системам счисления (Приложение 2) решают задание №13, пример 1.).
Перевод смешанных чисел из десятичной системы в двоичную.
Алгоритм перевода:
- перевести целую часть;
- перевести дробную часть;
- сложить полученные результаты.
Пример: перевести 17,2510 в двоичную систему счисления.
Решение.
1710 = 100012
0,2510 = 0,012
17,2510 = 10001,012
(Далее студенты, используя методическое пособие по системам счисления (Приложение 2) решают задание №14 пример 1).