Система развивающих заданий по теме "Решение неравенств второй степени с одной переменной"

Разделы: Математика

Известно, что усвоение математики осуществляется в процессе выполнения упражнений. Применение полученных знаний в основном сводится к решению задач, в которых вопрос уже сформулирован составителем. При их выполнении развиваются навыки лишь в прямолинейном применении правил и алгоритмов. В результате даже учащегося, полностью овладевшего соответствующими навыками, может поставить в тупик необычная формулировка вопроса. Чтобы ученик не растерялся в ситуации нестандартной постановки задачи, необходимо постоянно побуждать его к творческой деятельности, направлять его усилия на решение нешаблонных задач. Для этого нужно внедрять такие формы и виды математических упражнений, которые вызывают у школьников большую мыслительную активность.

Одним из технологических приемов, позволяющих активизировать мышление школьников, является «деформирование» заданий [1]. В «деформированной» задаче искомыми поочередно выступают ее различные элементы. При этом существенно изменяется характер мыслительных процессов: они становятся более сложными, более содержательными, что способствует развитию способностей ученика.

На следующем этапе предоставим ученику возможность самому составить «деформированную» задачу. И хотя решение готовой задачи и составление новой требуют одной и той же суммы знаний, ученик сталкивается с необходимостью формулировать вопросы, искать новые связи между элементами задачи, комбинировать их, оценивать варианты, осуществлять постоянный самоконтроль. Все это и означает развитие самостоятельного мышления.

Продемонстрируем применение приема «деформирования» заданий при изучении достаточно трудной для учащихся темы «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

В основе алгоритма решения квадратных неравенств лежат графические представления. Решить квадратное неравенство > (≥, <, ≤) 0 с помощью графика квадратичной функции означает, что надо найти область соответствующих значений функции. Это можно установить, если знать, как расположена парабола y = относительно оси x в зависимости от знака дискриминанта D квадратного трехчлена и знака коэффициента a. В соответствии с этим и отыскиваются решения квадратного неравенства.

Возможные случаи решения квадратных неравенств представлены в таблицах.

Отметим, что при a < 0 неравенство можно свести к неравенству с положительным коэффициентом при , умножив обе его части на –1.

Покажем, как на основе этих таблиц можно составлять «деформированные» задания.

Для примера рассмотрим выделенные ячейки.

Сформулируем прямую задачу: «Решите неравенство < 0, если известно, что а > 0 и D = 0». Составим несколько «деформированных» задач. Будем считать содержание некоторых из них заданным, содержание остальных попросим восстановить.

  1. Известно, что неравенство < 0 (D = 0) не имеет решений. Найдите знак а, сделайте рисунок.
  2. Известно, что неравенство … 0 (а > 0, D = 0) не имеет решений. Определите знак неравенства, сделайте рисунок.
  3. Известно, что неравенство … 0 не имеет решений. По рисунку определите знак неравенства. Что вы можете сказать о значениях а и D?

Таким образом, из одной простой («прямой») задачи учитель может самостоятельно сконструировать комплект обращенных задач разного уровня сложности. Разумеется, в условия можно вводить числовые значения коэффициентов и корней квадратного трехчлена.

Приведем еще несколько более сложных заданий такого типа.

1. Запишите по два квадратичных неравенства (разных знаков), решением которых являются следующие промежутки:

а) [–3; 1];
б) (–∞; 1)(2; + ∞).

(Возможные ответы: а) х2 + 2x – 3≤ 0, – х2 – 2x + 3≥ 0; б) х2 – 3x + 2> 0, – х2 + 3x – 2< 0.)

2. Что может являться решением неравенства – х2 + 6x + m > 0?

  1. некоторый промежуток (a; b), где a ≠ b;
  2. промежуток (–∞; +∞);
  3. единственное число;
  4. решений нет.

(Ответ: 1; 4.)

3. При каких значениях m решением неравенства х2 + 6x + m ≤ 0 является:

  1. единственное число;
  2. некоторый промежуток [a; b].

(Ответ: 1)m = 9; 2)m < 9.)

4. Решением неравенства ах2 + bx + c > 0 является некоторый конечный промежуток (p; q). Найдите знак числа а.

(Ответ: a < 0.)

5. В записи квадратичного неравенства стерли коэффициент при переменной х и знак неравенства. Восстановите запись, если известно, что решением неравенства является одно число. Сколькими способами это можно сделать?

а) х2 … …x + 4 … 0;
б) – х2 … …x – 25 … 0.

(Ответ: а) х2 + 4x + 4 ≤ 0 или х2 – 4x + 4 ≤ 0; б) – х2 + 10x – 25 ≥ 0 или – х2 – 10x – 25 ≥ 0.)

5. Вершиной параболы y = х2 + px + q является точка А(2; 0). Запишите решение неравенства:

а) х2 + px + q ≤ 0;
б) х2 + px + q ≥ 0 ;
в) х2 + px + q < 0;
г) х2 + px + q > 0.

(Ответ: а) х = 2; б) (–∞; +∞); в) решения нет; г) (–∞; 2)  (2; +∞).)

6. Неравенство ах2 + bx + c < 0 (b ≠ 0) имеет следующее решение: (–∞; х1)(х2 ; +∞). В какой координатной четверти может находиться вершина параболы y = ах2 + bx + c?

(Ответ: в 1-й или 2-й четверти.)

7. Решением неравенства х2 + px + q ≤ 0 является промежуток [–2; 4]. Найдите p и q.

(Ответ: p = – 2, q = – 8.)

Заметим, что эти упражнения практически не требуют вычислений и могут быть использованы для фронтальной работы на уроке, математических диктантов, устных опросов, зачетов.

После того, как учащиеся приобретут некоторый опыт решения таких задач, можно предложить им составить упражнения самостоятельно (индивидуально, в парах или группах, в качестве домашнего задания, в рамках учебного проекта) и в дальнейшем использовать их для работы с классом.

Необходимо отметить актуальность подобной работы в плане подготовки девятиклассников к экзамену по математике в новой форме (а в перспективе – и к ЕГЭ). При выполнении ряда заданий даже 1-й части учащиеся должны продемонстрировать умение узнавать стандартные задачи в разнообразных формулировках, решать задачи, не сводящиеся к прямому применению алгоритма. Для решения последних заданий 2-й части необходимо проявить некоторые элементарные умения исследовательского характера. Полученные навыки помогут в дальнейшем справиться и с традиционно сложными задачами, содержащими параметр.

В заключение нужно сказать и о том, что значение такого опыта выходит за рамки математического образования. В условиях нарастающего потока информации во всех сферах жизни человеку необходимо уметь видеть проблему, самостоятельно ставить задачу и искать пути ее решения, ориентироваться в нестандартных ситуациях. Только так можно достичь поставленных целей и стать успешным человеком.

Литература:

  1. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Обучение математики в школе. Книга для учителя. – М.: 1996.