Ряды

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел , соединённых знаком сложения:

.

Числа называются членами ряда, а член ип – общим или п-м членом ряда.

Ряд считается заданным, если известен его общий член  un= f(n)  (п = 1, 2, …), то есть задана функция f(n) натурального аргумента.

Сумма п первых членов ряда Sn называется п-ой частичной суммой ряда.

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, то есть:

.

Число S называется суммой ряда. Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.
В математике существуют специальные приёмы нахождения частичных сумм ряда. Применение компьютера позволяет вычислять частичные суммы напрямую. В MS Excel обычно вначале вычисляются п первых членов соответствующей числовой последовательности. Для этого вводится требуемое количество значений натурального аргумента, затем формула общего члена ряда копируется в п ячеек, после чего находятся требуемые суммы.

Пример. Необходимо вычислить сумму 12 первых членов гармонического ряда:

.

Решение:

1. В ячейку А1 вводим слово Аргумент, в ячейку В1 – Ряд.
2. В диапазон А2:А13 вводим 12 значений аргумента: в ячейку А2 – число 1, в ячейку А3 – второе значение аргумента 2, выделяем блок А2:А3 и протягиваем за правый нижний угол блока; заполняем диапазон А2:А13 значениями аргумента.
3. В ячейку В2 вводим формулу общего члена ряда: =1/А2 (при английском раскладе клавиатуры). Нажимаем клавишу Enter.
4. Протягиванием (за правый нижний угол) копируем формулу из ячейки В2 в диапазон В3:В13.
5. Проводим суммирование. Для этого, установив табличный курсор в ячейке В14, на панели инструментов Стандартная нажимаем кнопку Автосумма и мышью указываем диапазон суммирования (В2:В13). Нажимаем клавишу Enter.
6. В ячейке В14 получаем сумму 12 первых членов гармонического ряда – 3,103211.

Упражнения

№ 1. Найти сумму первых семи членов ряда:

.

№ 2. Найти сумму первых десяти членов ряда:

.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

В отличии от числовых рядов членами функционального ряда являются функции. Поэтому ряд, составленный из функций одной и той же переменной  х:

,

называется функциональным. Примером функционального ряда может служить степенной ряд:

здесь числа      – коэффициенты степенного ряда.

В MS Excel для некоторых функциональных рядов, имеющих важное прикладное значение (в основном, финансово-экономическое), существует значительное число специальных функций. Эти функции вычисляют частичные суммы, заданные члены и другие параметры функциональных рядов.

Например, в широко известной задаче о сложных процентах при вкладе в банк  денежных единиц с ежегодной выплатой х процентов годовых, функциональный ряд годовых приростов вклада будет выглядеть как

.     (*)

Для вычисления частичных сумм этого ряда в Еxcel может быть использована функция БЗ (норма; число_периодов; выплата; нз; тип). Здесь норма – процентная ставка х, указываемая в долях единицы; число_периодов – количество суммируемых членов ряда п, нз – сумма первоначального вклада и0 (заносится со знаком – ), параметры выплата и тип в рассматриваемых примерах не указываются.

Имеется несколько функций для вычисления различных параметров (*). Функция КПЕР позволяет определять число членов ряда п по его частичной сумме , значению процентной ставки х и начальному значению . Функция ПЗ вычисляет начальное значение по числу членов ряда п, его частичной сумме  и значению процентной ставки х.

Кроме функций, применяемых для вычислений параметров ряда (*), в MS Excel имеются функции для работы с другими функциональными рядами, обычно используемыми для анализа инвестиционных проектов, работы с ценными бумагами и расчёта амортизации платежей.

Пример. Сумма вклада в банк 12 000 руб. Банк начисляет проценты по сложной ставке 8% годовых. Определить накопленную сумму на вкладе через 11 лет.

Решение:

1. Устанавливаем курсор в свободную ячейку – А1.
2. С панели инструментов Стандартная щелчком мыши на кнопке Вставка функции вызываем Мастер функций. В поле Категория выбираем Финансовые, в поле Функция указываем БЗ. Нажимаем на кнопку ОК.
3. Заполняем поля диалогового окна БЗ. В поле Норма вводим 0,08, в поле Число периодов – 11, а в поле Нз – –12 000. Нажимаем кнопку ОК.
4. В результате в ячейке А1 получаем ожидаемую накопленную через 11 лет сумму – 27 979,67 руб.

Упражнения

№ 3. Сумма вклада в банк 2 000 руб. Банк начисляет проценты по сложной ставке 6% годовых. Определить накопленную сумму на вкладе через 7 лет.
№ 4. Определить сумму вклада через 3 года, если процентная ставка 15% годовых и исходная сумма вклада 5 000 руб.