Цели:
- Ввести понятие уравнения с параметром.
- Рассмотреть идеи и методы, которые широко используются при решении более сложных задач с параметрами.
- Развитие навыков решения уравнений с параметрами.
- Воспитание способности понимать смысл поставленной задачи.
Задача: Сформировать:
- умение решать простейшие уравнения с параметром;
- умение сконцентрировать внимание.
Ход урока
Образован не тот, кто много знает, а тот, кто хочет много знать, и умеет добывать эти знания.
В.П. Вахтеров (Слайд 12)
I. Актуализация знаний.
1. Выделите группы уравнений по какому-нибудь признаку. Слайд 1.
а) приведённые квадратные
б) неполные квадратные
в) линейные
г) дробные
2. Какие из них мы умеем или должны уметь решать? Слайд 1.
3. обратите внимание на эти уравнения: 2х = 17; -9х = 17; 0х = 17.
4. По какому признаку их можно объединить?
5. Чем они отличаются? Что я изменяла в уравнениях?
6. А если коэффициент обозначить буквой а, какой вид примут эти уравнения? ах=17 (Слайд 2)
7. Будет ли это уравнение иметь корни? Если да, то, сколько и как их найти?
8. Что мы обозначили буквой а? Относительно какой переменной наше уравнение?
а – фиксированное число, х – неизвестное число (переменная).
Говорят, что а – это параметр, а уравнение ах=17 – уравнение с параметром.
II. Изучение нового материала.
(В форме эвристической беседы).
Тема урока «Уравнения с параметром».
Запишите в тетрадь: ах=17:
а – фиксированное число (параметр), х – неизвестное число. Так как а – это параметр, то уравнение ах=17 – уравнение с параметром.
Я думаю, что у многих возник вопрос: «А зачем мне это надо»?
А вот вам и ответ на этот вопрос:
«Результаты экзаменов по математике показывают, что задачи с параметрами представляют для выпускников и абитуриентов наибольшую сложность, как в логическом, так и в техническом плане и поэтому умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу экзамена». (Слайд 11)
Сегодня мы рассмотрим идеи и методы, которые широко используются при решении более сложных задач. (Слайд 10)
Вернёмся к нашему уравнению ах=17. (Слайд 3)
Давайте решим его. То есть покажем, каким образом для любого значения параметра можно найти соответствующее множество корней, или установить, что при этом значении параметра корней нет. (Решение записывают в тетрадь)
9. А, что мы получим, если вместо а подставим какой-нибудь двучлен, например, а+1?
(Слайд 4)
(а+1)х=17;
Если а+1≠0, а≠-1, то х=17: (а+1)
Если а +1=0, а=-1, то корней нет.
10. Мы рассматривали уравнения, в которых параметр был как-то связан с коэффициентом и в записи встречался только один раз, а может ли он повторяться несколько раз? Можно ли обозначить его другой буквой? (Слайд 5)
ру-3у-4р+12=0
(р-3)у=4р-12
Если р-3≠0, p≠3, то у=4(р-3):(р-3)
у=4
если р=3, то 0·y=0, значит у – любое число.
11.
Сергей читал книгу «Математическая шкатулка», и ему на глаза попалось уравнение ах=в.
– «Тоже мне уравнение. Что там думать-то» – подумал он.
x=в/а! (Слайд 6)
– На самом ли деле это такое простое уравнение?
– Давайте рассмотрим это уравнение относительно х.
– Есть ли в нём параметр?
– Сколько параметров?
– Какими буквами они обозначены?
– Попробуйте решить это уравнение дома без помощи родителей.
12. – А вот это уравнение, какое
ax-3x=a3-3a2+4a-12, если оно относительно переменной х? Слайд 7
ax-3x=a3-3a2+4a-12
(a-3)x=a2(a-3)+4(a-3)
(a-3)x=(a-3)(a2+4)
если a≠3 то x=a2+4
если a=0 то 0·x=0, значит x – любое число.
Ответ: если а=3, то х – любое число; если а≠3, то x=a2+4.
13. А если переменная будет во второй степени, то уравнение будет иметь иной вид.
Коля посмотрел на уравнение и сделал вывод: «Это уравнение квадратное»!
Вот это уравнение mx2+(m2-1)x+(m-1)2=0. (Слайд 8)
– А как вы думаете? Коля прав или нет?
– Что нужно выяснить, прежде чем решать это уравнение?
– Чем является в этом уравнении – х? А чем – m?
– Решим его относительно х.
– Чем является m в этом уравнении?
mx2+(m2-1)x+(m-1)2=0
Записывают решение в тетрадь.
III. Рефлексия.
- Что значит решить уравнение с параметром?Это значит показать, каким образом для любого значения параметра можно найти соответствующие значения корней, если они существуют, или установить, что при этом значении параметра корней нет. (Слайд 9)
- Кому понравилось решать такие уравнения?
- Мы продолжим изучение этой темы на элективных курсах.