Решение уравнений. 9-й класс

Цели урока:

1) систематизировать сведения о рациональных уравнениях
2) познакомить учащихся с некоторыми приемами решения уравнений высших степеней
3) обучить решению дробных уравнений

II. Сообщение ученика об Аль-Хорезми

Выдающийся арабский ученый Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми (что означает – из Хорезма) жил и работал в IХ веке н.э. в Багдаде. Тогдашний багдадский правитель халиф аль-Мамун почитал ученость и покровительствовал наукам. По его велению в Багдаде был построен “Дом мудрости” с библиотекой и обсерваторией, и в эту, по нашим нынешним понятиям, академию собрались почти все крупные ученые арабского халифата.

Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми был среди тех ученых, которым халиф поручил переводы греческих математических трудов, измерение дуги меридиана и ряд других научных работ. Его перу принадлежит много книг по математике и астрономии. Его арифметический труд был одним из источников, по которым впоследствии Западная Европа познакомилась с десятичной позиционной системой счисления: аль-Хорезми разъяснил в ней индийскую систему записи чисел и изложил правила письменного счета в этой системе. Арабский оригинал этой книги утерян, но сохранился латинский перевод ХII века. Имя автора, в латинской транскрипции “Алгоризми”, привело к появлению в языке математики слова “алгоритм”, первоначально означавшему нумерацию по десятичной позиционной системе; впоследствии так стали называть труды, способствовавшие распространению в Европе индийского способа счёта, а затем, наконец, и сам этот счёт. В конечном итоге слово “алгоритм” стало обозначать совсем другое.

Другой знаменитый труд великого ученого по праву считается первой книгой по алгебре (само слово “алгебра” восходит к арабскому “аль-джебр”, одному из терминов книги Аль-Хорезми). Это исследование, посвященное решению уравнений. Аль-Хорезми изучил линейные и квадратные уравнения, называл переменную “корнем” уравнения, квадрат переменной – просто “квадратом”. Родоначальник алгебраической науки не знал, разумеется, никакой алгебраической символики, – до её создания оставалось ещё несколько столетий, – и всё свои выкладки описывал словами.

Приведем пример.

Задача. “Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень” (подразумевается корень уравнения х² + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Решение уравнений, чисто алгебраическое, подкреплялось для убедительности и геометрическим, – так, как решали свои арифметические задачи древние греки. Способ решения задачи излагался в виде рецепта. Так что человек, давший имя алгоритму, приводил в своих трудах только алгоритмы решения уравнений!..

ІІІ. Сообщение ученика по теме “Уравнения”

Записывать и решать уравнения начали арабы в первом тысячелетии нашей эры. До тех пор решение задач было исключительно арифметическим – из многих действий. В тот момент, когда появилась блестящая идея находить неизвестное, записав соотношения, которыми оно связано с известными величинами, и затем, выразив это неизвестное из этих соотношений, родилась алгебра.

В те времена не было еще общепринятых теперь обозначений переменных буквами, а действий – знаками. Уравнения записывались словами. Но и в такой “словесной форме” уравнения существенно облегчали жизнь.

Применение уравнений упрощает решение задач, но самое замечательное то, что одним и тем же уравнением могут описываться совершенно разные ситуации. Научившись решать некоторый тип уравнений, можно справиться с целыми классами задач, описывающихся уравнениями этого типа.

Равенство вида А(х) = В(х), где А(х) , В(х) – выражения, зависящие от х, называют уравнением с неизвестным х. Если выражения А(х), В(х) рациональны (т.е. получаются из х и чисел с помощью операций сложения, умножения и деления), то уравнение А(х) = В(х) называют рациональным.

Число а называют корнем уравнения А(х) = В(х), если при замене буквы х этим числом получается верное числовое равенство, А(а) = В(а). Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что оно не имеет корней.

Прежде чем решать уравнение А(х) = В(х), полезно установить, какие значения может принимать неизвестное х. Для этого надо найти, при каких значениях х имеют числовое значение выражения А(х) и В(х). Совокупность таких значений называют областью допустимых значений х для данного уравнения. Пишут ОДЗ.

На последних уроках алгебры мы рассматривали решение целых и дробных уравнений. Для решения уравнений нами применялись следующие методы: разложение на множители, введение нового неизвестного.

Пример. Найдите действительные решения уравнения (х-1)(х-3)(х+5)(х+7) = 297.

Решение. (х-1)(х-3)(х+5)(х+7) = 297 <=> (х² + 4х – 5)(х² + 4х – 21) – 297 = 0. Введем обозначение: х² + 4х – 13 = у. Преобразуем уравнение к виду: (у – 8)(у + 8) – 297 = 0; у² – 64 – 297 = 0; у² = 361; у_1,2 = 19. Вернемся к исходной переменной, имеем:

1. х² + 4х– 13 = -19 <=> х² + 4х +6=0 , D=-8, D0, нет действительных корней.
2. х² + 4х -13 = 19 <=> х² + 4х – 32 = 0. Решим уравнение по теореме, обратной теореме Виета х₁ + х₂ = – 4 и х₁ х₂ = – 32. Откуда х₁ = – 8 , х₂ = 4.

Ответ: – 8; 4.

IV. Сообщение ученика о способе решения целых уравнений, опирающийся на теорему Безу

Уравнение вида P(x) = 0, где P(x) – многочлен стандартного вида, называют, целым алгебраическим уравнением.

Теорема №1

Для того чтобы многочлен делился без остатка на двучлен (х – а), необходимо и достаточно, чтобы число а было корнем многочлена. (Эту теорему называют теоремой Безу).

Теорема №2

Если уравнение а₀хⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x + a_n =0 имеет целые коэффициенты, причем свободный член отличен от нуля, то целыми корнями такого уравнения могут быть только делители свободного члена.

Пример. Решите уравнение 3х⁴ – 2х³ -8х² – х + 2 = 0.

Решение. 3х⁴ – 2х³ -8х² – х + 2 = 0 (1)

Делителями свободного члена являются числа – 1, 1, -2, 2. Подставляя число -1 в уравнение, находим, что левая часть уравнения обращается в нуль. Значит, х = -1 корень уравнения.

Итак, 3х⁴ – 2х³ – 8х² – х + 2 = (х + 1)(3х³ – 5х² – 3х + 2).

Решим уравнение 3х³ – 5х² – 3х + 2 = 0. (2)

Делителями свободного члена являются числа 1; 2. Подставляя число 2 в уравнение (2), находим, что левая часть обращается в нуль. Значит, х = 2 корень уравнения.

V. Сообщение ученика о решении возвратных уравнений

Уравнение вида a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀ = 0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, т.е. если a_n-k = a _k при k = 0; 1; 2; 3; … ; n.

Рассмотрим возвратное уравнение четвертой степени вида ах⁴ + вх³ + сх² + вх + а = 0, где а, в, с – некоторые числа, причем а0. Его удобно решать с помощью следующего алгоритма:

• разделить левую и правую части уравнения на х² (при этом не происходит потери решения, т.к. х = 0 не является корнем исходного уравнения при а0);
• группировкой привести полученное уравнение к виду а + с = 0;
• ввести новую переменную t = , тогда выполнено t² = , т.е. = t² – 2. В новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным: аt² + bt + c – 2а = 0;
• решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

Пример №1. Решите уравнение х⁴ – 5х³ + 6х² – 5х + 1 = 0.

Решение. Разделим обе части уравнения на х². После группировки получаем + 6 = 0. Замена t = позволяет свести это уравнение к квадратному уравнению t² – 5t + 4 = 0. Сумма коэффициентов уравнения равна нулю (1-5+4=0), то t₁ = 1, t₂ = c/a = 4.

Для возвратных уравнений более высоких степеней верны следующие утверждения:

• вдвое меньшей степени подстановкой = t;
• возвратное уравнение нечетной степени обязательно имеет корень х = – 1 и после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения, на двучлен х + 1, приводится к возвратному уравнению четной степени.

Пример № 2. Решите уравнение 6х⁴ + 35х³ + 62х² + 35х + 6 = 0.

Решение. Разделим обе части уравнения на х². После группировки получаем

VII. Подведение итогов урока.