Решение уравнений высоких степеней

Способности развиваются тем успешнее,
чем чаще в своей деятельности человек
добирается до потолка своих возможностей
и постепенно поднимает этот “потолок”
все выше и выше.
Б. Н. Никитин.

Курс для предпрофильной подготовки “Решение уравнений высоких степеней” предназначен для обучения решению уравнений, не входящих в обязательную программу изучения алгебры. Данная программа курса по выбору своим содержанием сможет привлечь внимание учащихся 8–9 классов, которым интересна математика. Предлагаемый курс освещает намеченные, но не проработанные в общем курсе школьной математики вопросы. Выбрав его, учащиеся пройдут путь от простейших линейных уравнений до уравнений высоких степеней, встречающихся в тестах ЕГЭ и на вступительных экзаменах в ВУЗы. Стоит отметить, что навыки в решении таких уравнений совершенно необходимы всякому ученику, желающему хорошо подготовиться и успешно выступить на математических конкурсах и олимпиадах. Материал курса поможет ученику найти свое призвание в профессиональной деятельности, требующей знания точных наук.

Этот курс является развитием системы приобретенных программных знаний, углубляет и расширяет курс математики основной школы. Запланированный данной программой объем знаний необходим для овладения учащимися методами решения некоторых видов тригонометрических, показательных, логарифмических и других уравнений в старшей школе.

Цели курса. Учащийся умеет:

• применять известные способы для разложения на множители многочленов высоких степеней;
• использовать полученные знания для решения уравнений высоких степеней;
• осуществлять поиск рационального способа разложения на множители или введения новой переменной для понижения степени уравнения с помощью удачной подстановки;
• использовать специальную дополнительную литературу при выполнении различных творческих заданий.

Задачи курса.

• Познакомить учащихся с различными способами разложения на множители многочленов высоких степеней, таких как группировки, с помощью формул сокращенного умножения, метода неопределенных коэффициентов, теоремы Безу и ее следствий.
• Изучить с учащимися способы решения возвратных и однородных уравнений различных степеней с помощью специальной подстановки.
• Научит учащихся решать дробные рациональные уравнения, используя метод разложения на множители и различные виды подстановок.
• Познакомить учащихся со специальной научной литературой о жизни великих ученых и по истории математики.

Данный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует формированию у учащихся устойчивого интереса к математике, выявлению и развитию математических способностей, овладению конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической и учебной деятельности. А также способствует интеллектуальному развитию, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности, подготовке к сознательному усвоению систематического курса алгебры и начел анализа. Способствует формированию представлений о математике, как части общечеловеческой культуры и пониманию значимости математики для общественного прогресса. А, кроме того, изучение математики способствует формированию таких качеств личности, как настойчивость, пунктуальность, аккуратность, дисциплинированность, усидчивость и др.

Данный курс обеспечен дидактическим материалом.

Для подтверждения своей успешности учащиеся могут участвовать в ежегодной олимпиаде по математике и конкурсах по решению задач, которые проводятся в нашей школе традиционно. Также вести исследовательскую и самостоятельную работу, по итогам которой оформлять рефераты и выступать с ними на математической конференции старшеклассников, которая проводится в месячник математики.

Основными формами организации занятий являются традиционные формы: лекция и семинар. Однако предусмотрены и такие, как дискуссия, выступления с докладами (в частности, с отчетными докладами по результатам написания рефератов или выполнения индивидуального задания) или с содокладами, дополняющими лекционные выступления учителя. Возможны и разные формы индивидуальной или групповой деятельности учащихся, как “Допишем учебник”, отчетные доклады по результатам “поисковой” работы на страницах книг и журналов, и сайтов в Интернете. Тематика занятий курса позволяет выделить темы для индивидуальной и коллективной исследовательской работы учащихся.

Курс рассчитан на 14 часов и построен таким образом, что его можно проводить для 8-классников после изучения темы “Квадратные уравнения” и в любое время для 9-классников. После первого обзорного занятия предусмотрена стартовая контрольная работа на два уровня сложности. Цель которой проверить умения и навыки в решении линейных и квадратных уравнений и установить готовность учащихся к изучению материала курса. Данная работа носит диагностический характер.

Чтобы оценить динамику усвоения учениками теоретического материала и поставить учащегося перед необходимостью регулярно заниматься, психологически очень важно предоставить подростку достаточно объективную информацию об уровне его знаний и умений, а значит, и об ожидающей его оценке. Кроме того, учителю это поможет вносить определенные коррективы в учебный процесс по мере необходимости. Поэтому каждое занятие включает подборку задач для самостоятельного решения, а каждая глава заканчивается списком тем докладов и рефератов. По окончании изучения курса предусмотрена итоговая контрольная работа. Учащиеся имеют право решать индивидуально или разбиваться на группы. Сама контрольная работа имеет форму защиты собственных решений и проводится в виде дискуссии за круглым столом.

Для аттестации учеников предлагаю использовать рейтинговую систему.

Начиная с первого дня учащийся должен знать что за каждое занятие он может заработать от 0 до 3 баллов, стартовая контрольная работа может быть оценена в 20 баллов за первый вариант и до 30 баллов за второй. Также для промежуточной аттестации учащихся следует рекомендовать им написать рефераты на предложенные учителем темы (список тем может быть сообщен заранее, чтобы ученики могли воспользоваться правом выбора темы или даже сумели предложить свои собственные “свободные” темы; ряд тем приводится в конце каждой главы).

Работа над рефератом может быть сугубо индивидуальной, но не исключаются темы, предназначенные для выполнения небольшой группой учеников. По совету учителя учащийся для работы над рефератом, возможно, должны будут обратиться к различным источникам (журналы “Квант” и “Математика в школе”, различные сборники конкурсных задач, монографическая литература и сайты в Интернете). По результатам работы над рефератом учащимся предлагают выступить с докладом на уроке или принять участие в дискуссии. Все это может быть оценено учителем до 20 баллов. Кроме того, реферат может оказаться дополнением к той или иной теме курса, тогда учащиеся станут участниками такого рода деятельности, как “Допишем учебник”. Таким дополнением к учебному курсу может оказаться цикл задач с решениями или еще один прием решения уравнений высоких степеней. Причем оценка выставляется одна за всю работу на уроке. Изучение курса завершается написанием итоговой контрольной работы, которая может быть оценена до 30 баллов. Оценивается не только правильность решения, но и рациональность, оригинальность, разнообразие предложенных методов решения каждого уравнения.

Наибольшее количество баллов, которое может набрать учащийся за время освоения курса – 100 баллов.

В результате изучения данного курса учащийся должен обладать следующими знаниями и умениями:

• будет уметь раскладывать многочлен высокой степени на множители способами группировки и по формулам сокращенного умножения, или методом неопределенных коэффициентов и с использованием теоремы Безу и схемы Горнера;
• научится различать основные виды уравнений и безошибочно определять способы их решения;
• научится вводить новую переменную для упрощения уравнения или понижения его степени;
• познакомится с научно-популярной литературой и научится вести самостоятельный поиск и отбор информации по теме курса, исторических сведений и интересных фактов из жизни великих ученых;
• будет иметь возможность принять участие в рейтинговой программе накопления баллов.

Приложение 1

Литература для учащихся:

1. Башмаков И. Г., Диофант и диофантовы уравнения, М: Наука, 1972.
2. Башмаков И. Г., Диофант и Ферма, историко-математические исследования, выпуск № 17, М: Наука, 1966.
3. Белл Э. Т., Творцы математики, М: Просвещение, 1979.
4. Бурбаки Н., Очерки по истории математики, перевод Башмаковой И. Г., под редакцией Рыбникова К. А., М, 1963.
5. Веселовский И. Н., Христиан Гюйгенс, М, 1959.
6. Вилейтнер Г., Хрестоматия по истории математики, перевод Юшкевича П. С. и Юшкевича А. П., М-Л, 1935.
7. Виленкин Н. Я., Алгебра для 8 класса, М: Просвещение, 1995.
8. Виленкин Н. Я., Алгебра для 9 класса, М: Просвещение, 1996.
9. Виленкин Н. Я., Алгебра и математический анализ для 10 класса, М: Просвещение, 1992.
10. Ван-дер-Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, перевод Веселовского И. Н., Физматгиз, 1959.
11. Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П., Шибасова З. Ф., За страницами учебника математики 10–11, М: Просвещение, 1996.
12. Галицкий М. Г., Гольдман А. М., Звавич Л. И., Сборник задач по алгебре для 8–9 классов, М: Просвещение, 1995.
13. Гиндикин С. Г., Рассказы о физиках и математиках, М: Наука, 1982.
14. Дорофеев Г. В., Муравин Г. К., Седова Е. А., Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике и алгебре и началам анализа за курс средней школы, 11 класс, М: Дрофа, 2000.
15. Зимина М. Н., “Эта разноликая теорема Виета”, журнал “Математика в школе” № 2–3, 1992.
16. Иванов К. Б., Сборник задач для старшеклассников, Волгоград, 2000.
17. Ивлев Б. М., Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: учебное пособие для 10–11 классов средней школы, М: Просвещение, 1990.
18. Калужнин Л. А., Сущанский В. И., Преобразования и перестановки, М: Наука, 1979.
19. Кордемский Б. А., Великие жизни в математике, Киев “Наукова думка”, 1960.
20. Кузнецова Л. В., Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы, 9 класс, М: Дрофа, 2002.
21. Кышпан Ф., История числа π, М: Наука, 1971.
22. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Алгебра: дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса, М: Просвещение, 1998.
23. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Алгебра: дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса, М: Просвещение, 2000.
24. Минковский В. Л., За страницами учебника математики, М: Просвещение, 1960.
25. Перельман Я. И., Занимательная алгебра, М: Наука, 1978.
26. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы, под редакцией Сканави М. И., Ташкент, 1992.
27. Хрестоматия по истории математики, под редакцией Юшкевича А. П., М: Просвещение, 1976.
28. Цейтен Г. Г., История математики в древности и в средние века, перевод Юшкевича П., ГОНТИ, 1938.
29. Чистякова В. Д., Рассказы о математике, Киев “Наукова думка”, 1960.
30. Шепелева З. В., Шепелев М. Н., “Франсуа Виет”, журнал “Математика в школе”, № 4–5, 1992.
31. Яковлев А. Я., Леонард Эйлер, М: Просвещение, 1983.

Литература для учителя:

1. Башмаков М. И., Уравнения и неравенства, М: Наука, 1976.
2. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд, Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. Методические рекомендации и дидактические материалы. Пособие для учителя, М: Просвещение, 1990.
3. Звавич Л. И., Аверьянов Д. И., Задания для проведения письменного экзамена по математике в 9 классе. Пособие для учителя, М: Просвещение, 1996.
4. Звавич Л. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина М. В., Алгебра и начала анализа 8–11. Дидактические материалы, М: Дрофа, 1999.
5. Кушнир И., Шедевры школьной математики, Киев: Астарта, 1995.
6. Леонтьева М. П., Самостоятельные работы на уроках алгебры, М: Просвещение, 1978.