Системы двух линейных уравнений с двумя переменными как математические модели реальных ситуаций

Тип урока: урок формирования и усвоения компетенций в области математического моделирования.

Образовательные.

Формировать:

• навыки прикладного использования аппарата систем линейных уравнений;
• выявить уровень овладения учащимися комплексом знаний и умений по решению систем линейных уравнений, ликвидировать пробелы в знаниях в соответствии с требованиями к математической подготовке учащихся.

Развивающие.

Развивать:

• способности к самостоятельному планированию и организации работы
• навыки коррекции собственной деятельности через применение информационных технологий;
• умение обобщать, абстрагировать и конкретизировать знания.

Воспитательные.

Воспитывать:

• познавательный интерес к математике;
• информационную культуру и культуру общения;
• самостоятельность, способность к коллективной работе.

Оборудование:

1. Компьютеры
2. Интерактивная доска
3. Мультимедиа проектор
4. Презентация по теме " Системы двух линейных уравнений с двумя переменными как математические модели реальных ситуаций ", выполненная в программе PowerPoint (Презентация)
5. Электронный обучающий ресурс “Вычислительная математика и программирование”
6. Интерактивный тренажёр “Я умею решать уравнения”

Мобилизация учебной деятельности учащихся: доброжелательный настрой учителя и учащихся, быстрое включение класса в деловой ритм, организация внимания всех учащихся, полная готовность класса и оборудования к работе. Повторение правил техники безопасности работы на компьютере.

Ролевая игра: для подготовки компьютерного класса, загрузки учебной презентации, инсталлирования программ, смены дидактических материалов на компьютерах из числа учащихся выбирается подготовленный системный администратор.

II. Постановка цели урока.

Учитель подводит учащихся к теме урока и вместе с ними формулирует учебную цель.

3-й слайд презентации “Системы двух линейных уравнений с двумя переменными как математические модели реальных ситуаций”

III. Проверка домашнего задания. (слайд 4)

Форма организации подготовки домашнего задания – дифференцированно-групповая (моделирование практической деятельности исследовательской лаборатории.)

Для выполнения домашнего задания учащиеся класса были разделены на 2 группы по решению проблемы: “Анализ методов решения системы двух линейных уравнений”. Каждая группа, работая над проектом, создаёт электронную презентацию метода. Докладывает результаты анализа и представляет презентацию один из группы. Другие учащиеся дополняют его.

Подведение итогов работы учащихся над проектами

IV. Актуализация учебных компетенций, необходимых для творческого применения знаний.

Выяснение уровня готовности учащихся к применению знаний, умений и навыков по теме проводится фронтально с элементами индивидуального опроса.

1. Вопросы показаны на слайде № 6 презентации “Показательные функции, уравнения, неравенства”.

Блиц-опрос:

1. Дать определение решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

2. Что представляет собой график линейного уравнения и как его построить?

3. Как графически изображается решение системы двух линейных уравнений?

4. Сколько общих точек могут иметь две прямые, которые лежат в одной плоскости?

5. Какова взаимосвязь между предыдущим вопросом и количеством решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными?

2. Задание на интерактивной доске. Найди пару. На беспорядочно расставленных клавишах представлены левая и правая части формул. Правильно подобранные пары при нажатии приобретают одинаковый цвет. (Используется функция “триггер”). (Слайд № 7)

Рисунок 1

Рисунок 2

3. Задание на интерактивной доске

(Выявление согласованности в понимании выполняемых заданий)

Метод проведения – групповая организационно-деятельностная игра

Задания показаны на слайде № 8 презентации. Каждой из двух групп учащихся предлагается отличный от домашнего задания метод решения уравнения. Перетащить картинку с уравнением в соответствующий блок. Побеждает группа, которая быстрее правильно выполнит задание.

Работа производится на интерактивной доске с использованием функции перемещения объекта:

Рисунок 3

4. Работа с электронным учебным пособием "Вычислительная математика и программирование” (слайд 9) в разделе “Моделирование и формализация” с целью повторения и обобщения опорных знаний по теме “Что такое математическая модель”.

Метод проведения – коллективная беседа с элементами проблемной постановки вопроса.

Подведение итогов интеллектуальной разминки, игры.

Указать на практические применение материала данной темы, его значение в курсе математики, его важность, возбудить интерес к изучаемому материалу, сообщить план занятия. Задания носят прикладной характер. Кроме непосредственной подготовки учащихся к осознанному исследованию реальных явлений природы, эти задачи дают возможность раскрывать методологические вопросы взаимосвязи теории с практикой при изучении математики, формировать у учащихся научное мировоззрение. С помощью их учитель может активизировать познавательную деятельность учащихся, повышать их интерес к предмету, обеспечивать развитие способностей к техническому творчеству, выполнять профориентационную работу, совершенствовать подготовку к ЕГЭ.

VI. Восприятие и усвоение учащимися нового материала.

Осмысливание взаимосвязей между изучаемыми понятиями.

Метод обучения – проблемный II уровня: учитель указывает проблему: “Вам уже известно, что реальная ситуация может быть описана на математическом языке в виде математической модели. Предлагается составить математическую модель, представляющую собой систему двух линейных уравнений с двумя переменными”. Учащиеся формулируют проблему и решают её, при этом конечный результат им заранее не известен.

Организация проблемной ситуации с учётом мотивации и заинтересованности учащихся.

Учитель формулирует определение экономического понятия: “Производительность труда – способность рабочего изготовить в течение данного рабочего времени (час, рабочий день и т.п.) определённое количество продукции”; выполняет 1-й этап моделирования – постановка задачи (слайд 10, 11). Он включает в себя:

• описание задачи;
• определение целей моделирования;
• анализ объекта или процесса.

2-й этап. Составление математической модели (слайд 12) выполняют учащиеся в ходе проблемной беседы:

У ч и т е л ь. В результате чего бригады увеличили производительность труда?

У ч а щ и й с я. За счет усовершенствования технологии производства.

У ч и т е л ь. На сколько увеличили производительность труда?

У ч а щ и й с я. Первая бригада увеличила на 20, а вторая — на 10%.

У ч и т е л ь. На сколько деталей увеличилась совместная производительность труда?

У ч а щ и й с я. На 106 деталей.

У ч и т е л ь. Сколько искомых величин нужно найти?

У ч а щ и й с я. Нужно найти две искомые величины.

У ч и т е л ь. Какие. Отвечать надо обстоятельно, чтобы было понятно, о чем вы говорите.

У ч а щ и й с я. Нужно найти производительность труда каждого рабочего первой и второй бригад до и после усовершенствования технологии производства.

У ч и т е л ь. Правильно. С двумя или с одной неизвестной можно решить эту задачу?

У ч а щ и й с я. Задачу можно решить и с одной и с двумя неизвестными.

Пусть х деталей — производительность труда за смену рабочего первой бригады, а у деталей — производительность труда за смену рабочего второй бригады, тогда 10х + 12у = 710.

Производительность труда соответственно возросла на 20 и 10%. Получаем второе уравнение:

Итак,

3-й этап. Работа с математической моделью (слайд 13, 14). Выбор метода и решение системы уравнений выполняют учащиеся в ходе коллективного обсуждения. Один учащийся у доски, остальные с места дополняют и анализируют ход решения.

Например, учащимися был выбран метод алгебраического сложения:

– умножить все члены второго уравнения на 10. Получим

– вычесть первое уравнение из второго

-

---------------------------------------------

– подставить найденное значение х = 35 в первое уравнение системы:

Значит, производительность труда до усовершенствования была в первой и второй бригадах соответственно – 35 и 30 деталей.

Тогда после усовершенствования производительность труда первой бригады увеличилась на 20%, что составит 7 деталей, а бригада стала выпускать 42 детали.

Производительность труда второй бригады увеличилась на 10%, что составит 3 детали, а бригада стала выпускать 33 детали.

4-й этап. Ответ на вопрос задачи (слайд 14).

Производительность труда до усовершенствования – 35 и 30 дет.

Производительность труда после усовершенствования – 42 и 33 дет.

VII. Осмысливание знаний.

Достигается как результат мыслительных операций: анализа, сравнения, обобщения и т.д.

1. Метод проведения – деятельностно-ролевая игра. Класс разбивается на две группы, каждой из которых предлагается решение задачи с последовательным выполнением основных четырёх этапов моделирования. Для выполнения каждого этапа из числа учащихся выбираются: “постановщики задачи”, “математики-аналитики”, “математики-расчётчики”.

После выполнения задания один учащийся из каждой группы представляет анализ и решение задачи.

1. (Слайд 16) Коэффициент трения F ременных передач в зависимости от скорости V скольжения ремня определяют по формуле f = a + bV. Определите постоянные a и b, если на опыте было найдено, что при скорости скольжения V = 0,1 м/с коэффициент трения f₁ = 0, а при скорости скольжения V = 0,5 м/с – f₂ = 0,5.

О т в е т. а = 0,375, b = 0,25.

2. (Слайд 17) Расстояние между двумя пристанями равно 90 км. Это расстояние по течению реки катер проходит за 3 часа, а против течения – за 4,5 часа. Найдите скорость катера и скорость течения реки.

У к а з а н и е.

Где v – собственная скорость катера, u – скорость течения реки.

2. Метод проведения – самостоятельная работа на компьютерах по индивидуальным заданиям интерактивного тренажёра “Я умею решать уравнения”

(Слайд 18)

Рисунок 4

VIII. Итог урока.

Сегодня мы с вами повторили и обобщили знания методов решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными. Научились описывать реальные ситуации на математическом языке в виде математической модели, представляющей собой систему двух линейных уравнений с двумя переменными.

IX. Домашнее задание.

Обеспечение понимание цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.

Алгебра. 7 класс. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений./

А.Г. Мордкович.– М.: Мнемозина, 2009, § 14

Алгебра. 7 класс. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений./

А.Г. Мордкович.– М.: Мнемозина, 2009.

№ 472, № 474

1. Возняк Г.М. Взаимосвязь теории с практикой в процессе изучения математики: Пособие для учителя.– К.: Рад. шк., 1989.
2. Электронное учебное пособие “Вычислительная математика и программирование” по системе программ “1C:Предприятие”. МО РФ. 2004 г.
3. Интерактивный тренажёр “Я умею решать уравнения”, 1С:ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ КОЛЛЕКЦИЯ
4. Коллекция 80000 анимаций. – www.animashky.ru