Скачать презентацию (689.66 КБ)

Эпиграф: «Любые знания должны быть полезны, мы будем использовать в  своей жизни только то, что мы знаем».

Цели:

• организовать деятельность учащихся по восприятию, осмыслению и запоминанию новых понятий, объектов и свойств по данной теме, а именно: графов, элементов графов;
• организовать исследовательскую деятельность учащихся по определению  графов и его свойств; возможностей применения графов для решения задач и перевода условия задачи  на язык теории графов;
• способствовать развитию математической речи учащихся, умений формулировать проблемы, предлагать пути их решения;
• расширить кругозор учащихся;
• способствовать развитию воображения, мышления;
• развивать познавательный интерес к предмету путем применения информационных технологий.

Оборудование: проектор, примеры графов (модель молекулы, генеалогическое дерево, схема метро, схемы  автодорог), карточки-задания.

Форма работы: парная.

ХОД УРОКА:

I. Организационный этап

– Ребята! Мы должны на уроке получить как можно больше полезной для нас информации, чтобы потом было больше возможностей ее использовать в своей учебной деятельности. Мы подробнее рассмотрим один из  способов решения задач, уже нам известный, но мы расширим возможности его использования для решения некоторых задач и узнаем о нем кое-что новое.

Приветствие учащихся. Проверка учебных принадлежностей, раздаточного материала. Постановка цели урока.

II. Актуализация опорных знаний

Задание №1

Квартет
Проказница Мартышка
Осел,
Козел,
Да косолапый Мишка
Затеяли играть квартет
…
Стой, братцы стой! –
Кричит Мартышка, – погодите!
Как музыке идти?
Ведь вы не так сидите…
И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.
Тут пуще прежнего пошли у низ раздоры
И споры,
Кому и как сидеть…

Вероятно, крыловские музыканты так и не перепробовали всех возможных мест. Однако способов не так уж и много. Сколько? Нарисуйте дерево возможных вариантов.

Задача 1

Между девятью планетами солнечной системы установлено космическое сообщение. Рейсовые ракеты летают по следующим маршрутам: Земля – Меркурий; Плутон – Венера; Земля – Плутон; Плутон – Меркурий; Меркурий – Венера; Уран – Нептун; Нептун – Сатурн; Сатурн – Юпитер; Юпитер – Марс; Марс – Уран.
– Можно ли долететь на рейсовых ракетах с Земли до Марса?

Решение:   Нарисуйте  схему условия:  планеты изобразите  точками, а маршруты ракет –  линиями.

– Итак, мы с вами рассмотрели две задачи. Обе задачи решили с помощью схем. Эти схемы наглядно помогли нам решить задачи. Каждая картинка разная, но они обе состоят из точек, которые соединены линиями. Такие схемы называются графами.
Граф состоит из вершин (точек) и ребер (отрезков).

Слово «ГРАФ» не имеет никакого отношения к аристократическим титулам. От «графо» (греч.) – пишу.

– Наша задача поближе познакомиться с графами, рассмотреть как они используются при решении задач, как эти схемы могут нам помочь записать решение.

III. Этап изучения новых знаний

Задача 2. Аркадий, Борис, Владимир, Григорий и Дмитрий при встрече обменялись рукопожатиями (каждый пожал руку каждому по одному разу). Сколько всего рукопожатий было сделано?

Решение:

В  решении задачи нам поможет граф.
Пусть каждому из молодых людей соответствует точка на плоскости, названная по первой букве имени, а произведенные рукопожатия – отрезок или кривая линия, которая будет  соединять точки, соответствующие именам.

В процессе решения учитель объясняет такие понятия как:

• Нулевой граф
• Неполный граф
• Полный граф

– Итак, мы с вами увидели несколько способов построения графов и увидели, как такие схемы помогли нам в решения задач.

Примеры  графов: генеалогическое дерево, схема метро, молекула, схема автодорог, куб, электрические схемы.

Графы – это математические объекты, которые используют различные науки. С помощью графов можно решать различного рода задачи, в том числе экономического характера (оптимальный расход топлива в зависимости от маршрута, выбор оптимального пути для потоков грузоперевозок и т.д.)
Графы изучает наука  –  теория графов. Это сравнительно молодая наука, хотя генеалогические деревья составляли со времен Ньютона. Первая работа по теории графов принадлежит Л.Эйлеру.

IV. Сообщение: «Некоторые факты из жизни Л.Эйлера» (рассказывает ученица).

– Ребята, вы, наверное, не раз сталкивались с задачами, в которых надо нарисовать какую-либо фигуру не отрывая карандаша от бумаги и проводя два раза по одной линии. Попробуем решить несколько таких задач.

V. Карточка-задание

Обрисовать фигуру,  не отрывая карандаша от бумаги и проводя два раза по одной линии. Обозначьте точки пересечения, в скобках укажите, сколько линий выходит из данной точки. Если число линий четное – то вершина четная, если число линий нечетное – то вершина нечетная.  Пометить вершину, с которой надо начинать обход.

– Ребята, все ли фигуры у вас получилось нарисовать?  Как вы думаете почему? Как это связано с количеством четных и нечетных вершин?
Обсудите в парах и сделайте вывод, какие фигуры можно нарисовать, а какие нельзя.

Вывод:

– Если все вершины графа четные, то нарисовать фигуру возможно, и начать можно с любой вершины.
– Если же из этих вершин две нечетные, то  нарисовать фигуру можно, но только начинать необходимо в одной из этих двух  нечетных вершин, а заканчивать во второй нечетной вершине.
– Если в графе более двух нечетных вершин, то нарисовать фигуру невозможно.
– Графы, которые можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, называют эйлеровыми.

Вопрос о разрешимости таких задач входит в теорию графов. Впервые ее исследовал Л.Эйлер в 1736 г., решая задачу о Кенигсбергских мостах.

Город Кенигсберг расположен на берегах и двух островах реки Прегель. Части города соединены между собой семью мостами. В воскресные дни горожане совершили прогулки по городу. И возник вопрос, можно ли выбрать такой маршрут, чтобы пройти по каждому мосту только один раз и  вернуться в начальную точку пути?

– Давайте попробуем разрешить эту задачу. Но сначала составим план города, как это сделал Л.Эйлер.  Он обозначил части города точками (вершины), а переходы по мостам – линиями (ребра). Получил граф.

Вывод: обход по всем мостам только один раз невозможен, т.к. все вершины графа нечетные.

Задача 3.  

Муха забралась в банку из-под сахара. Банка имеет форму куба. Сможет ли муха последовательно обойти все 12 ребер куба, не проходя дважды по одному ребру. Подпрыгивать и перелетать с места на место не разрешается.

(Обсуждается решение задачи в парах,  выслушиваются все варианты).

VI. Этап подведения итогов

– Чему научились в ходе урока?
– Что узнали нового? Для чего применяются графы?
– Можно ли использовать полученные знания для решения задач?

«Пусть каждый день и каждый час вам новое добудет, пусть будет добрым ум у вас, а сердце умным будет».