Эпиграф: «Любые знания должны быть полезны, мы будем использовать в своей жизни только то, что мы знаем».
Цели:
- организовать деятельность учащихся по восприятию, осмыслению и запоминанию новых понятий, объектов и свойств по данной теме, а именно: графов, элементов графов;
- организовать исследовательскую деятельность учащихся по определению графов и его свойств; возможностей применения графов для решения задач и перевода условия задачи на язык теории графов;
- способствовать развитию математической речи учащихся, умений формулировать проблемы, предлагать пути их решения;
- расширить кругозор учащихся;
- способствовать развитию воображения, мышления;
- развивать познавательный интерес к предмету путем применения информационных технологий.
Оборудование: проектор, примеры графов (модель молекулы, генеалогическое дерево, схема метро, схемы автодорог), карточки-задания.
Форма работы: парная.
ХОД УРОКА:
I. Организационный этап
– Ребята! Мы должны на уроке получить как можно больше полезной для нас информации, чтобы потом было больше возможностей ее использовать в своей учебной деятельности. Мы подробнее рассмотрим один из способов решения задач, уже нам известный, но мы расширим возможности его использования для решения некоторых задач и узнаем о нем кое-что новое.
Приветствие учащихся. Проверка учебных принадлежностей, раздаточного материала. Постановка цели урока.
II. Актуализация опорных знаний
Задание №1
Квартет
Проказница Мартышка
Осел,
Козел,
Да косолапый Мишка
Затеяли играть квартет
…
Стой, братцы стой! –
Кричит Мартышка, – погодите!
Как музыке идти?
Ведь вы не так сидите…
И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.
Тут пуще прежнего пошли у низ раздоры
И споры,
Кому и как сидеть…
Вероятно, крыловские музыканты так и не перепробовали всех возможных мест. Однако способов не так уж и много. Сколько? Нарисуйте дерево возможных вариантов.
Задача 1
Между девятью планетами солнечной системы
установлено космическое сообщение. Рейсовые
ракеты летают по следующим маршрутам: Земля –
Меркурий; Плутон – Венера; Земля – Плутон; Плутон
– Меркурий; Меркурий – Венера; Уран – Нептун;
Нептун – Сатурн; Сатурн – Юпитер; Юпитер – Марс;
Марс – Уран.
– Можно ли долететь на рейсовых ракетах с Земли
до Марса?
Решение: Нарисуйте схему условия: планеты изобразите точками, а маршруты ракет – линиями.
– Итак, мы с вами рассмотрели две задачи. Обе
задачи решили с помощью схем. Эти схемы наглядно
помогли нам решить задачи. Каждая картинка
разная, но они обе состоят из точек, которые
соединены линиями. Такие схемы называются графами.
Граф состоит из вершин (точек) и ребер
(отрезков).
Слово «ГРАФ» не имеет никакого отношения к аристократическим титулам. От «графо» (греч.) – пишу.
– Наша задача поближе познакомиться с графами, рассмотреть как они используются при решении задач, как эти схемы могут нам помочь записать решение.
III. Этап изучения новых знаний
Задача 2. Аркадий, Борис, Владимир, Григорий и Дмитрий при встрече обменялись рукопожатиями (каждый пожал руку каждому по одному разу). Сколько всего рукопожатий было сделано?
Решение:
В решении задачи нам поможет граф.
Пусть каждому из молодых людей соответствует
точка на плоскости, названная по первой букве
имени, а произведенные рукопожатия – отрезок или
кривая линия, которая будет соединять точки,
соответствующие именам.
В процессе решения учитель объясняет такие понятия как:
- Нулевой граф
- Неполный граф
- Полный граф
– Итак, мы с вами увидели несколько способов построения графов и увидели, как такие схемы помогли нам в решения задач.
Примеры графов: генеалогическое дерево, схема метро, молекула, схема автодорог, куб, электрические схемы.
Графы – это математические объекты, которые
используют различные науки. С помощью графов
можно решать различного рода задачи, в том числе
экономического характера (оптимальный расход
топлива в зависимости от маршрута, выбор
оптимального пути для потоков грузоперевозок и
т.д.)
Графы изучает наука – теория графов. Это
сравнительно молодая наука, хотя
генеалогические деревья составляли со времен
Ньютона. Первая работа по теории графов
принадлежит Л.Эйлеру.
IV. Сообщение: «Некоторые факты из жизни Л.Эйлера» (рассказывает ученица).
– Ребята, вы, наверное, не раз сталкивались с задачами, в которых надо нарисовать какую-либо фигуру не отрывая карандаша от бумаги и проводя два раза по одной линии. Попробуем решить несколько таких задач.
V. Карточка-задание
Обрисовать фигуру, не отрывая карандаша от бумаги и проводя два раза по одной линии. Обозначьте точки пересечения, в скобках укажите, сколько линий выходит из данной точки. Если число линий четное – то вершина четная, если число линий нечетное – то вершина нечетная. Пометить вершину, с которой надо начинать обход.
– Ребята, все ли фигуры у вас получилось
нарисовать? Как вы думаете почему? Как это
связано с количеством четных и нечетных вершин?
Обсудите в парах и сделайте вывод, какие фигуры
можно нарисовать, а какие нельзя.
Вывод:
– Если все вершины графа четные, то нарисовать
фигуру возможно, и начать можно с любой вершины.
– Если же из этих вершин две нечетные, то
нарисовать фигуру можно, но только начинать
необходимо в одной из этих двух нечетных
вершин, а заканчивать во второй нечетной вершине.
– Если в графе более двух нечетных вершин, то
нарисовать фигуру невозможно.
– Графы, которые можно нарисовать, не отрывая
карандаша от бумаги, называют эйлеровыми.
Вопрос о разрешимости таких задач входит в теорию графов. Впервые ее исследовал Л.Эйлер в 1736 г., решая задачу о Кенигсбергских мостах.
Город Кенигсберг расположен на берегах и двух островах реки Прегель. Части города соединены между собой семью мостами. В воскресные дни горожане совершили прогулки по городу. И возник вопрос, можно ли выбрать такой маршрут, чтобы пройти по каждому мосту только один раз и вернуться в начальную точку пути?
– Давайте попробуем разрешить эту задачу. Но сначала составим план города, как это сделал Л.Эйлер. Он обозначил части города точками (вершины), а переходы по мостам – линиями (ребра). Получил граф.
Вывод: обход по всем мостам только один раз невозможен, т.к. все вершины графа нечетные.
Задача 3.
Муха забралась в банку из-под сахара. Банка имеет форму куба. Сможет ли муха последовательно обойти все 12 ребер куба, не проходя дважды по одному ребру. Подпрыгивать и перелетать с места на место не разрешается.
(Обсуждается решение задачи в парах, выслушиваются все варианты).
VI. Этап подведения итогов
– Чему научились в ходе урока?
– Что узнали нового? Для чего применяются графы?
– Можно ли использовать полученные знания для
решения задач?
«Пусть каждый день и каждый час вам новое добудет, пусть будет добрым ум у вас, а сердце умным будет».