График как результат исследования функции

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Форма урока: повторительно-обобщающий урок-беседа с применением ИКТ.

Цели урока:

• Образовательные:
  • выявление уровня овладения ЗУН, полученными на предыдущих занятиях ;
  • формирование навыков прикладного использования аппарата производной;
  • обобщение материала как системы знаний.
• Развивающие:
  • развитие умений обобщать, абстрагировать и, наоборот, конкретизировать знания в     процессе исследовательской работы;
  • развивать навыки коррекции собственной деятельности через применением ИКТ.
• Воспитательные:
  • воспитание эстетического восприятия окружающего мира;
  • создание условий для реальной самооценки своих знаний.

Задачи урока:

• Сформировать у учащихся мотивацию к изучению этой темы.
• Вовлечь учащихся в активную деятельность по включению частей в целое, по выявлению внутрипредметных связей
• Развивать у школьников умение пользоваться опорными знаниями для их применения в новых ситуациях.
• Развивать у учащихся математическое мышление (умение анализировать и пользоваться результатами анализа).

Необходимое оборудование: компьютеры, мультимедийный проектор и экран.

Предполагаемые виды деятельности:

• беседа;
• выполнение устных заданий;
• самостоятельная работа учащихся;
• совместная работа с учителем;
• работа на компьютерах (ЭУМ);
• частично-поисковая деятельность (уравнение с параметром).

Конспект урока:

Первый этап, включающий в себя организационный момент и актуализацию темы, начинает учитель цитатой М Твена «Кто не знает, куда идет, может сильно удивиться, попав не туда». После чего объявляет тему урока и сообщает о большом значении изучаемой темы в курсе математики и в дальнейшей производственной деятельности. Кроме того, рассказывает о популярности этого вопроса в тестах ЕГЭ, где очень много заданий различного уровня, связанных с понятием функции.
А один из учащихся делает очень краткое сообщение на тему «Функции в экономике».

Примерное краткое содержание:

Современная экономика с ее огромным количеством разнообразных взаимосвязей между основными ее структурами представляет широкую возможность для использования одного из основных понятий математики – понятия функции. Дело в том, что многочисленные величины, характеризующие экономические процессы, существуют не изолированно друг от друга, а,наоборот, очень тесно друг с другом связаны. Таковы цена товара и спрос на него, прибыль фирмы и объем ее производства, затраты ресурсов и объем выпуска продукции (или стоимость этой продукции), размер кредита, выданного банком, и плата за его использование, и т.д. Во многих ситуациях, где возникают тесно связанные между собой переменные величины, как правило, найдется место для функции. Вот далеко не полный перечень функций, которые постоянно используются при изучении экономических процессов:

• Функция спроса.
• Функция предложения.
• Производственные функции.
• Функции издержек.
• Функции выручки и прибыли.
• Функции, связанные с банковскими операциями.
• Функции потребления и сбережения.
• Функции полезности.

Очень хорошо сказал о функциональных зависимостях А.Я.Хинчин. Понятие функциональной зависимости «как ни одно другое, воплощает в себе диалектические черты современного математического мышления; именно оно приучает мыслить величины в их живой изменчивости, а не в искусственно препарированной неподвижности, в их взаимной связи и обусловленности, а не в искусственном отрыве их друг от друга».
После чего делается вывод о необходимости  изучения данной темы, вывод о том, что знания,  полученные при изучении этого вопроса в будущем непременно пригодятся и в учебной, и в производственной деятельности.
И в завершении ученик говорит о том, что графики сложных функций получаются очень красивыми и необычными, поэтому изучение этого материала приносит не только практическую пользу, но и просто эстетическое удовольствие.

Далее, на втором этапе, продолжается актуализация ЗУН, повторение необходимых знаний и навыков для дальнейшего применения в самостоятельной работе. И на этом этапе начинается активное использование презентации. А для контроля знаний и умений каждый ученик получает оценочный лист, где самостоятельно будет выставлять заработанные баллы и свою оценку. (Приложение 1)

Номер слайда, название	Деятельность учителя (примерные направляющие вопросы)	Деятельность ученика (ожидаемые ответы и действия)
№3 – область определения функции.	а) Что называется областью определения функции? б) Как обозначается область определения функции? в) Как это выглядит геометрически? г) Определите область определения функции, график которой изображен на слайде?	а) Область определения функции это множество значений функции, при которых функция задана. б) D(f) в) Проекция графика на ось ОХ. г)  [0; )
№4 – множество значений функции.	а) Что называется множеством значений функции? б) Как обозначается? в) Как это выглядит геометрически? г) Определите множество значений функции, график которой изображен на слайде?	а) Множество значений функции – это множество чисел, состоящих из всех значений функции? б) E(f). в) Проекция графика на ось OY. г) (– ; 2]
№ 5 и № 6 – четность функции.	а) Дайте определения четной (нечетной)  функции. б) Как это выглядит геометрически? И как это свойство применяется на практике?	а) Функция  f(x) называется четной, если при всех значениях аргумента f(– x) = f(x). б) Геометрически это означает осевую симметрию графика функции относительно оси ОХ (OY)
№ 7 – периодичность функции.	а) Какие функции мы называем периодическими? б) Как это выглядит геометрически? в) Как это можно использовать при построении графиков?	а) Функция y = f(x) называется периодической, если существует такое число Т 0, что равенство f(x + T) = f(x) выполняется тождественно при всех значениях х.
№ 8 – промежутки знакопостоянства, корни.	а) Назовите промежутки знакопостоянства. Что мы называем промежутками постоянного знака? б) Как это выглядит графически? в) Как называются точки, в которых функция обращаются в ноль? (Решение уравнения f(x) = 0) г) Как они выглядят геометрически?	а) Промежутки, на которых функция положительна (отрицательна), или иначе решения неравенства f(x) > 0 (f(x) < 0). б) Участки оси Х,  соответствующие точкам графика, лежащим выше (ниже) оси Х. в) Корни. г) Точки пересечения графика с осью ОХ.
№ 9, №1 0, № 11 – промежутки монотонности.	а) Что мы называем промежутками монотонности? б) Назовите промежутки монотонности. в) Графическая интерпретация промежутков монотонности.	а) Промежутки, на которых функция или возрастает, или убывает. б) Убывает на [– 6; – 3] и [1; 4], возрастает на [– 3;1] и [4; 6]. в) Участки оси ОХ, где график идет вверх или вниз.
№12 –  max и min функции	а) Объясните, в чем различие максимума (минимума) функции от наибольшего (наименьшего) значений функции. Дайте определение точек экстремума. Как это выглядит графически?	а) Max (min) функции – это значение функции в точках экстремума. (Точки, лежащие внутри области определения, в которых функция принимает самое большое (максимум) или самое маленькое (минимум) значение по сравнению со значениями в близких точках). Наибольшее и наименьшее значения функции это значения функции, которые находятся в сравнении со всеми возможными в отличии от экстремумов, где сравнение ведется только с близкими точками. «Вершины» на графике функции. Ординаты самой высокой и самой низкой точек графика.

3 этап. Активное повторение основных понятий, связанных с производной

Ученикам сообщается, что, если до этого мы читали готовые графики, т.е. находили свойства функции по графику, то следующим нашим шагом будет подготовка к обратной задаче – научиться строить графики, зная (т.е. находя) необходимые для этого свойства.

С помощью слайдов № 14 и № 15 быстро повторяем формулы и правила дифференцирования, затем учащиеся самостоятельно в течении 5 минут выполняют задание на карточках (или со слайда № 16). После чего происходит обсуждение полученных результатов с демонстрацией одного из возможных вариантов ответов.( Слайд ответов находится по гиперссылке).

После работы с формулировками признаков монотонности и условийmax иmin функции на слайдах № 17-24 с помощью рабочего слайда №25  ученики вспоминают упрощенную формулировку признаков монотонности: «Если производная меняет знак с «+» на «–» …» и разбирают условие экстремумов функции.

Слайд №27 будет использоваться для применения теоретического материала на практике. Работа будет вестись коллективно, ребята находят пары «График функции – график производной». А один, или несколько учеников,обьясняют, основываясь на какие теоремы образовалась пара.

Далее задания усложняются. На слайде № 28 изображены графики функций. Для каждого из них нужно построить график производной. (Это задание ученики выполняют в тетрадях, предварительно прослушав обьяснение учителя по готовому чертежу на слайде №27).

4 этап. Построение графиков функций с помощью производной

Проводится физкультминутка для глаз, так как за это время глаза получили нагрузку при работе с презентацией.

4 этап начинает учитель, работая со слайдом №31, постепенно вовлекая учеников, выслушивая их комментарии и отражая результаты на слайде.

Далее ход урока может варьироваться в зависимости от оснащенности класса компьютерами.

1 вариант: класс делится на две группы, где первая группа работает со слайдом №35 (работа с ЭУМ), а вторая со слайдом №37 (имеется возможность выбора понравившейся функции).

2 вариант: все работают индивидуально, сначала выполняя один вид работы, затем – другой.

Результаты своей деятельности ученики отражают в оценочных листах. (Для работы ЭУМ необходимо установить программу stratum2000 на компьютер, указать путь гиперссылки 74.exe на слайде №35). (Приложение 2 и Приложение 3).

Ну, и, наконец, для успешно справившихся со всеми предложенными заданиями учеников, дополнительное задание с элементами частично-поисковой деятельности. Определение количества корней уравнения с параметром в зависимости от значения параметра a.

5 этап. Комментарии к домашнему заданию.  Итоги урока. Настрой на дальнейшую работу

Домашнее задание. Ученикам предлагается скопировать презентацию на свои носители. Тогда домашнее задание можно увидеть на слайдах №39 и №37. В противном случае ученики получают печатный вариант.

Итоги урока. Учитель благодарит за работу. Подробный итог урока – на следующем занятии(после тщательного анализа оценочных листов).

Выводы. Настрой на дальнейшую работу. Учитель отмечает, что навыки, которые мы отрабатывали сегодня, пригодятся нам при решении самых разнообразных задач, например, задач на  «оптимизацию».

Используемая литература:

1. Алгебра и начала анализа. Учебник для общеобразовательных учреждений.(профильный уровень), 10 издание, стереотипное – М.: Мнемозина, 2009 год.
2. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 кл. ср. шк.– М.: Просвещение, 1992.
3. Приложение «Математика», №35, 1995.
4. Физминутка для глаз. Галкина И.А. luchiki.ucoz.ru/load/ehlektronnye_fizminutki_dlja…
5. ЭУМ 74.exe из единой коллекции ЦОР.
6. Экономика на уроках математики.Смирнов А.С. уч.изд. – М.: Школа-Пресс, 1999.