Тригонометрию можно считать самой сложной частью школьного курса алгебры. Поэтому мне пришлось уделить ей так много времени. Надеюсь, что работа моя заинтересует вас, а может и пригодится кому-нибудь. Если начало покажется вам скучным, загляните в X главу.
Решение тригонометрических уравнений состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного тригонометрического уравнения. Первый этап занимает куда больше времени и усилий, так как не все уравнения можно решить стандартными способами. Хотя и умение группировать ответы и объединять их всегда приветствовалось. Существует девять основных методов решения тригонометрических уравнений. Мы рассмотрим стандартные уравнения и способы их решения, а также оригинальные уравнения, неравенства и системы уравнений с различными способами решений.
I. Метод замены переменной.
Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим уравнениям с помощью замены переменной. Решить уравнения:
1) 
Решение:
Обозначим 
.
Получаем квадратное уравнение 
.
Его корнями являются числа 
и 
.
Уравнение сводится к простейшим тригонометрическим уравнениям
Ответ: 
2) 
Решение:
Обозначим 
Тогда уравнение примет вид 
не удовлетворяет условию 
, а 
.
Значит 
;
Ответ: 
3) 
Решение:
Преобразуем левую часть уравнения:
Таким образом, данное исходное уравнение можно записать в виде:
;
.
Обозначив 
, получим 
Решив данное квадратное уравнение имеем: 
Но 
, и решение исходного уравнения: 
Ответ: 
4) 
Решение:
Обозначим 
.
Тогда 
, и 
Исходное уравнение можно переписать так: 
Вернёмся к переменной х:
Второе уравнение не имеет решений, т.к. 
.
Тогда
Ответ: 
5) 
Решение:
Разделим на 
(т.к. 
не является решением данного уравнения).
;
;
.
Обозначим 
.
Уравнение примет вид: 
.
Так как сумма коэффициентов уравнения равна нулю, то корнем уравнения является единица.
Разделим 
на 
.
Получим 
.
Следовательно, 
(второй множитель больше нуля при любых 
).
Тогда 
;
Ответ: 
II. Условия равенства тригонометрических функций.
Решить уравнения:
6) 
Решение:
.
Решая уравнение, находим 
.
Имеем две группы решений: 
Ответ: 
7) 
Решение:
Используя условия равенства тригонометрических функций 
.
Решая эти квадратные уравнения, получаем:
Ответ: 
8) 
Решение:
Ответ: 
9) 
Решение:
Так как 
,то n = k = 0, т.е.
Ответ: 
III. Разложение на множители.
Решить уравнения:
10) 
Решение:
I способ
Преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения:
;
;
;
Ответ: 
II способ
Преобразуем выражение в левой части уравнения:
Ответ: 
11) 
Решение:
; 
;
;
;
Ответ: 
12) 
Решение:
;
;
;
;
Так как второй ответ включает третий, то останется только первый и второй.
Ответ: 
13) 
.
Решение:
;
;
;
;
.
Ответ: 
.
Полностью текст статьи приведен в Приложении.