Цели урока:
- обобщить, расширить и систематизировать знания и умения учащихся; научить использовать знания при решении сложных задач;
- способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при решении задач;
- развивать логическое мышление и математическую речь учащихся, умение анализировать, сравнивать и обобщать;
- воспитывать у учащихся уверенность в себе, трудолюбие; умение работать в коллективе.
Задачи урока:
- Образовательная: повторить теоремы Менелая и Чевы; применить их при решении задач.
- Развивающая: учить выдвигать гипотезу и умело доказательно отстаивать свое мнение; проверить умение обобщать и систематизировать свои знания.
- Воспитательная: повысить интерес к предмету и подготовить к решению более сложных задач.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Оборудование: карточки для коллективной работы на уроке по данной теме, индивидуальные карточки для самостоятельной работы, компьютер, мультимедийный проектор, экран.
Ход урока
I этап. Организационный момент (1 мин.)
Учитель сообщает тему и цель урока.
II этап. Актуализация опорных знаний и умений (10 мин.)
Учитель: На уроке вспомним теоремы Менелая и Чевы для того, чтобы успешно перейти к решению задач. Давайте вместе с вами посмотрим на экран, где представлен. Для какой теоремы дан этот рисунок? (теорема Менелая). Постарайтесь четко сформулировать теорему.
Рисунок 1
Пусть точка A1 лежит на стороне BC треугольника АВС, точка C1 – на стороне AB, точка B1 – на продолжении стороны АС за точку С. Точки A1, B1и C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство 
Учитель: Давайте вместе рассмотрим следующий рисунок. Сформулируйте теорему для этого рисунка.
Рисунок 2
Прямая AD пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ВМС.
По теореме Менелая 
Прямая МВ пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника АDС.
По теореме Менелая
Учитель: Какой теореме соответствует рисунок? (теорема Чевы). Сформулируйте теорему.
Рисунок 3
Пусть в треугольнике АВС точка A1лежит на стороне ВС, точка B1 – на стороне АС, точка C1 – на стороне АВ. Отрезки AA1, BB1и CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство 
III этап. Решение задач. (22 мин.)
Класс разбивается на 3 команды, каждая получает карточку с двумя различными задачами. Дается время на решение, затем на экране появляются <Рисунки 4-9>. По готовым чертежам к задачам представители команд поочередно объясняют свое решение. После каждого объяснения следует обсуждение, ответы на вопросы и проверка правильности решения на экране. В обсуждении принимают участие все члены команд. Чем активнее команда, тем выше она оценивается при подведении итогов.
Карточка 1.
1. В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите отношение 
2. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Решение 1
Рисунок 4
По условию задачи МА = АС, NC = 3BN. ПустьMA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Прямая MNпересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей.
По теореме Менелая 
Ответ: 
Доказательство 2
Рисунок 5
Пусть AM1, BM2, СM3 – медианы треугольника АВС. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что 
Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки AM1, BM2 и СM3 пересекаются в одной точке.
Имеем: 
Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Карточка 2.
1. На стороне PQтреугольника PQR взята точка N, а на стороне PR – точка L, причем NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит QL в отношении m:n, считая от точки Q. Найдите 
2. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Решение 1
Рисунок 6
По условию NQ = LR, 
ПустьNA = LR =a, QF = km, LF = kn. Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей.
По теореме Менелая 
Ответ: 
Доказательство 2
Рисунок 7
Покажем, что 
Тогда по теореме Чевы (обратной) AL1, BL2, CL3 пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника 
Перемножая почленно полученные равенства, получаем 
Для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке.
Карточка 3.
1. В треугольнике АВС AD – медиана, точка O – середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К. В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А?
2. Докажите, если в треугольник вписана окружность, то отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке.
Решение 1
Рисунок 8
Пусть BD = DC = a, AO = OD = m. Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ADC.
По теореме Менелая 
Ответ: 
Доказательство 2
Рисунок 9
Пусть A1, B1и C1 – точки касания вписанной окружности треугольника АВС. Для того чтобы доказать, что отрезки AA1, BB1и CC1 пересекаются в одной точке, достаточно показать, что выполняется равенство Чевы: 
Используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения: C1B = BA1 = x, AC1 = CB1 = y, BA1 = AC1 = z.
Равенство Чевы выполняется, значит, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
IV этап. Решение задач (самостоятельная работа) (8 мин.)
Учитель: Работа команд закончена и сейчас приступим к самостоятельной работе по индивидуальным карточкам для 2-х вариантов.
Материалы к уроку для самостоятельной работы учащихся
Вариант 1. В треугольнике АВС, площадь которого равна 6, на стороне AB взята точка К, делящая эту сторону в отношении АК:BK = 2:3, а на стороне АС – точка L, делящая АС в отношении AL:LC = 5:3. Точка Qпересечения прямых СК и BL удалена от прямой AB на расстоянии 
. Найдите длину стороны АВ. (Ответ: 4.)
Вариант 2. На стороне АС в треугольнике АВС взята точка К. АК = 1, КС = 3. На стороне АВ взята точка L. AL:LВ = 2:3, Q – точка пересечения прямых ВК и СL. 
Найдите длину высоты треугольника АВС, опущенной из вершины В. (Ответ: 1,5.)
Работы сдаются учителю для проверки.
V этап. Итог урока (2 мин.)
Анализируются допущенные ошибки, отмечаются оригинальные ответы и замечания. Подводятся итоги работы каждой команды и выставляются оценки.
VI этап. Домашнее задание (1 мин.)
Домашнее задание составлено из задач №11, 12 стр. 289-290, №10 стр. 301 [1].
Заключительное слово учителя (1 мин).
Сегодня вы услышали со стороны математическую речь друг друга и оценили свои возможности. В дальнейшем, будем применять такие обсуждения для большего понимания предмета. Аргументы на уроке дружили с фактами, а теория с практикой. Вам всем спасибо.
Литература:
- Ткачук В.В. Математика абитуриенту. – М.: МЦНМО, 2005.