Решение нестандартных задач

=4(t+) = 4, ;; 4

Пусть = t, тогда ;

Итак, левая часть уравнения а она должна быть точно равна 28. Это возможно лишь в том случае, когда Ответ : х=11 ; у=5.

Решить уравнения и неравенства:

1)=

2)

3)

4)

5)

6) 7) 3

8)

9) )+

2) Переформулировать задачу, свести к задачи стандартного вида(способ моделирования).

Этот метод заключается в том, что для исследования какого-либо явления и объекта выбирают или строят другой объект , в каком-то отношении подобный исследуемому. Построенный или выбранный объект изучают и с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результаты решения этих задач переносят на первоначальное явление или объект.

Рассмотрим 1-й пример.

Задача№1.Некоторая коллекция значков была размещена в коробках, каждая из которых имела 10 отделений. В некоторые отделения коробок были положены значки, по одному в отделение, другие отделения были ещё пустые. Любые две коробки этой коллекции отличались друг от друга хотя бы наличием или отсутствием значка в одном и том же отделении. Очевидно, что наибольшее число значков в коробке 10, а наименьшее 0. Сколько коробок в этой коллекции?

Переформулируем эту задачу.

Задача №2.В квартире 10 лампочек. Сколько существует различных способов освещения квартиры? Два способа освещения считаются различными, если они отличаются состоянием хотя бы одной лампочки. Каждая лампочка может гореть и не гореть. Случай, когда все лампочки не горят,- это тоже способ освещения.

Эта задача более реальна, но и её можно переформулировать.

Задача №3. Имеется прямоугольная таблица , содержащая 10 столбцов. В каждой клеточке этой таблицы поставлен знак "+" или "-". Любые две строки таблицы отличаются знаком в клеточках, стоящих хотя бы в одном и том же столбце. Какое наибольшее число строк имеет эта таблица?

Если решение и этой задачи неочевидно, то можно построить ещё более прозрачную задачу.

Задача №4. Сколько различных десятизначных чисел можно образовать из цифр 0 и 1? При этом числа, в записи которых стоят слева нули (0100001101 или 0000000001), так же рассматриваются.

Решение: так как имеются всего лишь две комбинации цифр на каждом месте и эти комбинации независимы друг от друга, поэтому общее число комбинаций =1024.

Задачи №2 , №3, №4 - являются моделями первой.

Рассмотрим 2-й пример.

Задача. Объём конуса в 2 раза больше вписанного в него шара. Найти угол между образующей и плоскостью основания конуса.

Решение: построим схематическую запись задачи - модель конуса. Получим модель задачи.

Дано: АМВ - осевое сечение конуса;

АМ=МВ; МК АВ; Vk:Vш=2

Найти:

Построенная наглядная модель задачи облегчает поиск и решение задачи.

Построить модель и решить следующие задачи.

1) Одно из оснований правильной треугольной призмы принадлежит большому кругу шара R=, а вершины другого основания принадлежат поверхности шара. Найти высоту призмы, при которой сумма длин всех её рёбер будет наибольшей.

2) Найти наибольший объём конуса, вписанного в шар R=.

3) Найти высоту правильной четырёхугольной призмы наибольшего объёма, вписанной в шар R=

4) В основании пирамиды - ромб с острым углом a =.Боковые грани наклонены к основанию под углом b =.Найти объём пирамиды, если радиус круга, вписанного в основание пирамиды равен 3.

5) В шар вписаны куб и тетраэдр. Во сколько раз объём куба больше объёма тетраэдра?

Итак, для того чтобы легче было осуществлять способы разбиения или моделирования, полезно предварительно построить наглядную вспомогательную модель задачи - схематическую её запись. Сведение нестандартной задачи к стандартным способами разбиения или моделирования есть искусство, которым можно овладеть лишь в результате глубокого постоянного самоанализа действий по решению задач и постоянной тренировки в решении разнообразных задач. И всё же решение нестандартной задачи - очень сложный процесс, для успешного осуществления которого учащийся должен уметь думать, догадываться. Необходимо так же хорошее знание фактического материала, владение общими подходами к решению задач, опыт в решении нестандартных задач. В процессе решения каждой задачи ученику и учителю необходимо различать четыре ступени:

1. Изучение условия задачи.

2. Поиск плана решения и его составление.

3. Осуществление плана, то есть оформление найденного решения.

4. Изучение полученного решения - критический анализ результата решения и отбор полезной информации.

Лучшее, что может сделать учитель для учащихся, состоит в том, чтобы путём неназойливой помощи подсказать ему блестящую идею:Хорошие идеи имеют своим источником прошлый опыт и ранее приобретённые знания. Часто оказывается уместным начать работу с вопроса: известна ли вам какая-нибудь родственная задача? Умело поставленные наводящие вопросы, вспомогательные задачи или система вспомогательных задач помогут найти идею решения.

Рассмотрим некоторые приёмы решения

1) Использование монотонности функций при решении уравнений и неравенств

Основная идея, на которой основываются решения:

а) если функция f(х) возрастает (убывает ) на множестве Х, то уравнение f(х)=b не может иметь на этом множестве более одного корня;

б) если f(х) монотонно возрастает, а k(х) - монотонно убывает, то уравнение f(х)= k(х) имеет не более одного решения, причём если х = - решение этого уравнения, то при х f(х) k(х), а при х будет f(х) k(х);

в) если f(х) - монотонная функция, то из равенства f(х)= f(у) следует, что х=у.

Пример 1-й. Решить уравнение:

Данное уравнение имеет одно решение х=1. Докажем , что других решений нет. Разделим обе части уравнения на , получим =1 .Функция f(х)=монотонно убывающая , значит каждое своё значение она принимает один раз, то есть данное уравнение имеет единственное решение . Ответ : х=1

Пример 2-й. Доказать, что . Рассмотрим функцию f(х)= . f(х)-чётная, ,,рассматриваемая на f(х) = -+х , f''(х)=1- . f'', следовательно f'(х)-неубывающая и f'(0)=0, f'(х)0, f(х) - неубывающая и f(0)=0, f(х)0, то есть ;