Геометрический смысл производной

Цели урока:

• Образовательные: закрепление умений и навыков нахождения производных элементарных функций, формирование умений и навыков нахождения углового коэффициента касательной, угла между касательной и положительным направлением оси ох;
• Развивающие: развитие навыков самоконтроля, развитие речи, формирование самостоятельности в мышлении, развитие внимания, умения анализировать, сравнивать и обобщать;
• Воспитательные: воспитание ответственного отношения к учебе, воли и настойчивости для достижения конечных результатов.

Оборудование: интерактивная доска или проектор, карточки с заданиями.

Ход урока

1. Актуализация опорных знаний.

• Вводная беседа (повторение теоретической части по теме “Производная”).

1. Какие новые понятия и определения мы используем в теме “Производная”?
2. Раскройте содержание понятий “приращение” функции, “приращение” аргумента.
3. Дайте определение производной.

• Проверка домашнего задания.

Задача № 1. С помощью определения производной выяснить, имеет ли y = |x| производную в точке x = 0.

стремящемся к нулю, а это означает, что не существует производной данной функции в точке х = 0.

Задача № 2. Для функции y = kx + m найдите:

2. Изучение нового материала.

В № 2 из домашней работы мы решали задание на нахождение производной линейной функции. Какой вывод можно сделать?

(Учащиеся: если f(x)= kx + m, то (x)=k).

Попробуйте определить, чему может равняться линейной функции, используя графическое представление.

Совместно с учащимися делается вывод tgα = , а значит, tgα = k.

Примерная запись решения приводится ниже.

Рис.1

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС.

tgα = .

Вывод: tgα = k, где k – угловой коэффициент прямой.

Какая же будет тема урока? Мне хотелось бы, чтобы вы ее определили сами. Поэтому, пожалуйста, оставьте в тетради строчку для темы урока.

Итак, давайте еще раз вернемся к выводам из №2 домашнего задания (на экране).

Если f(x) = kx + m, то (x) = k, tgα = k.

А что будет, если взять произвольную функцию y = f(x) на промежутке и исследовать значение производной в заданной точке?

Задача. Дан график функции y = f(x) на нем выбрана точка M(x;y). Найдите .

Решение. На графике y = f(x) отметим точки M(x;y) и N(x+ Δx; y+ Δy). Проведем проекции на оси. Получим прямоугольный треугольник MNP, где tgφ = . Рассмотрим, что происходит, если Δx® 0.

Рис.2

Точка N неограниченно приближается к точке М (которая остается неподвижной). Хорда МN будет изменять свое направление, причем в каждый момент этого процесса угловой коэффициент этой хорды tgφ = . Если данная функция имеет производную в точке х, т.е. существует то геометрически это означает, что направление хорды МN стремится при этом к некоторому предельному положению МК, образующему с положительным направлением оси ох угол α, причем

Прямую МК называют касательной к данной кривой в точке М.

Нам удалось решить общую задачу. В результате мы получили важную формулу, при выводе которой использовали геометрическое представление. Давайте теперь вместе попробуем сформулировать тему урока: “Геометрический смысл производной”.

Итак, геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции f(x) в точке x₀ равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в точке (x₀; f(x₀).

k= tgα = (x₀)

Стоит отметить, что направление касательной характеризует направление кривой в данной точке. Как вы это понимаете?

(Учащиеся объясняют, возможно, выходят к доске и иллюстрируют).

Предлагаю вернуться к № 1 из домашней работы и, используя данное замечание, выполнить этот номер. С чего начнем решение?

Рис.3

При х = 0 линия y = |x| имеет определенное направление вправо и определенное направление влево, но эти направления различны между собой.

Вывод: y = |x| не имеет производную в точке х = 0.

3. Первичное закрепление.

Устно решить упражнения (упражнения выводятся на экран) с последующим обсуждением.

№ 1. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у = cos x – 3, проведенной в точке графика с абсциссой .

№ 2. Какой угол образует касательная к графику функции y = x² + 3x + 2 , проведенная в точке графика с абсциссой x₀ = 1, с положительным направлением оси ох?

4. Тренировочные упражнения.

Упражнения № 3, № 4, № 5* выполняются у доски и в тетрадях с последующей проверкой.

№ 3. В какой точке графика функции y = f(x) касательная наклонена к оси ох под углом α, если .

№ 4. Постройте график функции y = x² – 5|x| + 6. Выясните, существует ли производная функции в точках x₀ = 2, x₁ = 3, x₂ = 0. (Ответ объясните).

№ 5*. При каком значении параметра b прямая

5. Итог урока.

Над чем мы сегодня работали? Что нового узнали?

(Высказывание учеников).

6. Домашнее задание.

Приложение 1.