Построение сечений тетраэдра. 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

Цели урока: (Приложение 1, слайды 1-2)

  • научиться применять аксиомы стереометрии при решении задач;
  • научиться находить положение точек пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра;
  • освоить методы построения этих сечений
  • формировать познавательную активность, умения логически мыслить;
  • создать условия самоконтроля усвоения знаний и умений.

Тип урока: Формирование новых знаний.

Ход урока 

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний учащихся

Фронтальный опрос. (Аксиомы стереометрии, свойства параллельных плоскостей)

Слово учителя

Для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями. (слайд 3) . Назовём секущей плоскостью тетраэдра любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра. Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра. Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырёхугольники. Отметим также, что для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра, после чего остаётся провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани.

На этом уроке вы сможете подробно изучить сечения тетраэдра, освоить методы построения этих сечений. Вы узнаете пять правил построения сечений многогранников, научитесь находить положение точек пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра.

Актуализация опорных понятий

  • Первое правило. Если две точки принадлежат как секущей плоскости, так и плоскости некоторой грани многогранника, то прямая, проходящая через эти две точки, является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью этой грани (следствие аксиомы о пересечении плоскостей).
  • Второе правило. Если секущая плоскость параллельна некоторой плоскости, то эти две плоскости пересекаются с любой гранью по параллельным прямым (свойство двух параллельных плоскостей, пересечённых третьей).
  • Третье правило. Если секущая плоскость параллельна прямой, лежащей в некоторой плоскости (например, плоскости какой-то грани), то линия пересечения секущей плоскости с этой плоскостью (гранью) параллельна этой прямой (свойство прямой, параллельной плоскости).
  • Четвёртое правило. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым (свойство параллельных плоскостей, пересечённых третьей).
  • Пятое правило. Пусть две точки А и В принадлежат секущей плоскости, а точки A1 и B1 являются параллельными проекциями этих точек на некоторую грань. Если прямые АВ и A1B1 параллельны, то секущая плоскость пересекает эту грань по прямой, параллельной A1B1. Если же прямые АВ и A1B1 пересекаются в некоторой точке, то эта точка принадлежит как секущей плоскости, так и плоскости этой грани (первая часть этой теоремы следует из свойства прямой, параллельной плоскости, а вторая вытекает из дополнительных свойств параллельной проекции).

III. Изучение нового материала (формирование знаний, умений)

Коллективное решение задач с объяснением (слайд 4) 

Задача 1. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є АД, М є ДС, Е є ВС.

Внимательно посмотрим на чертёж. Так как точки К и М принадлежат одной плоскости, то мы находим пересечение секущей плоскости с гранью АДС – это отрезок КМ. Точки М и Е также лежат в одной плоскости, значит пересечением секущей плоскости, и грани ВДС является отрезок МЕ. Находим точку пересечения прямых КМ и АС, которые лежат в одной плоскости АДС. Теперь точка Х лежит в грани АВС, то её можно соединить с точкой Е. Проводим прямую ХЕ, которая пересекается с АВ в точке Р. Отрезок РЕ есть пересечение секущей плоскости с гранью АВС, а отрезок КР есть пересечение секущей плоскости с гранью АВС. Следовательно, четырёхугольник КМЕР наше искомое сечение. Запись решения в тетради:

Решение.

  1. КМ = α ∩ АДС
  2. МЕ = α ∩ ВДС
  3. Х = КМ ∩ АС
  4. Р = ХЕ ∩ АВ
  5. РЕ = α ∩ АВС
  6. КР = α ∩ АДВ
  7. КМЕР – искомое сечение

Задача 2. (слайд 5)

Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є АВС, М є ВДС, N є АД

Проанализируем этот рисунок. Здесь нет точек, лежащих в одной грани. В это случае воспользуемся правилом 5. Рассмотрим проекции каких-нибудь двух точек. В тетраэдре проекции точек находят из вершины на плоскость основания, т.е. М→М1, N→А. Находим пересечение прямых NM и AM1 точку Х.Данная точка принадлежит секущей плоскости, так как лежит на прямой NM, принадлежит плоскости АВС, так как лежит на прямой АМ1. Значит, теперь в плоскости АВС у нас есть две точки, которые можно соединить, получаем прямую КХ. Прямая пересекает сторону ВС в точке L, а сторону АВ в точке Н. В грани АВC находим линию пересечения, она проходит через точки Н и К – это НL. В грани АВД линия пересечения – НN, в грани ВДС проводим линию пересечения через точки L и М – это LQ и в грани АДС получаем отрезок NQ. Четырёхугольник HNQL – искомое сечение.

Решение

  1. М → М1 N → А
  2. Х = NМ ∩ АМ1
  3. L = КХ ∩ ВС
  4. H = КХ ∩ АВ
  5. НL = α ∩ АВC, К є НL
  6. НN = α ∩ АВД,
  7. LQ = α ∩ ВДС, М є LQ
  8. NQ = α ∩ АДС
  9. HNQL – искомое сечение

IV. Закрепление знаний

Работа с анимационным объектом «Построение сечения тетраэдра с плоскостью» (диск «Уроки геометрии в 10 классе» урок №16) 

Решение задачи с последующей проверкой

Задача 3. (слайд 6)

Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є ВС , М є АДВ, N є ВДС.

Решение

  1. 1. М → М1 , N → N1
  2. Х = NМ ∩ N1М1
  3. R = КХ ∩ АВ
  4. RL = α ∩ АВД, М є RL
  5. КР = α ∩ ВДС, N є КР
  6. LP = α ∩ АДС
  7. RLPK – искомое сечение

V. Самостоятельная работа (по вариантам)

(слайд 7)

Задача 4. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВ, N є АС, К є АД.

Решение

  1. КМ = α ∩ АВД,
  2. МN = α ∩ АВС,
  3. КN = α ∩ АДС
  4. KMN – искомое сечение

(Проверка по гиперссылке на Приложение 2)

Задача 5. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВ, К є ДС, N є ДВ.

Решение

  1. MN = α ∩ АВД
  2. NK = α ∩ ВДС
  3. Х = NК ∩ ВС
  4. Р = АС ∩ МХ
  5. РК = α ∩ АДС
  6. MNKP – искомое сечение

(Проверка по гиперссылке на Приложение 3)

Задача 6. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВС, К є ВД, N є ДС

Решение

  1. KN = α ∩ ДВС
  2. Х = КN ∩ ВС
  3. Т = МХ ∩ АВР = ТХ ∩ АС
  4. РТ = α ∩ АВС, М є РТ
  5. PN = α ∩ АДС
  6. ТР N K – искомое сечение

(Проверка по гиперссылке на Приложение 4)

VI. Итог урока.

(слайд 8) 

Итак, мы сегодня научились строить простейшие задачи на сечения тетраэдра. Напоминаю, что сечением многогранника называется многоугольник, полученный в результате пересечения многогранника с некоторой плоскостью. Сама плоскость при этом называется секущей плоскостью. Построить сечение значит определить, какие рёбра пересекает секущая плоскость, вид полученного сечения и точное положение точек пересечения секущей плоскости с этими рёбрами. То есть, те цели, которые были поставлены на уроке, решены.

VII. Домашнее задание.

(слайд 9)

Практическая работа «Построить сечения тетраэдра» в электронном виде или бумажном варианте. (Каждому было дано индивидуальное задание).