Элективный курс для предпрофильного обучения "Игры? Задачи? Жизнь!"

Учебно-тематическое планирование

Дидактические материалы курса

Тема 1.  Случайное испытание как объект окружающего нас мира

Наиболее интересные для начинающих задачи теории вероятностей возникли в области азартных игр. Слово «азар» по-арабски означает «трудный». С Древних времен человечество уделяло большое внимание играм. Доказательством этому служат дошедшие до нас рисунки и гравюры.
  Вот астецкий бог цветов и игр наблюдает за астецкой игрой ПАТОЛЛИ.

Рис. 1

А древними римлянами использовался для принятия решений жребий с помощью пальцев.

Рис. 2

И сегодня игра: МОРРА очень популярна в Италии. Два игрока быстрым движением показывают один или больше пальцев правой руки и в то же время каждый называет некоторое число. Побеждает тот, кто назвал суммарное число показанных (обоими) пальцев.

Различные игры, в которых бросаются кости, были известны уже в древнем мире. На рис.3 изображена популярная в средневековой Греции игра, в которой бросали три кости, и подсчитывалась сумма выброшенных очков.

Рис. 3

С XVIII века популярна в Западной Европе азартная игра в РУЛЕТУ. Это круглый диск, разбитый на 37 равных секторов, занумерованных числами от 0 до 36. После приведения в движение диска в противоположном по отношению к его движению направлении в рулету бросается металлический шарик.

Рис. 4

Сектор, на котором остановится шарик после окончания движения рулеты и шарика, является случайно выбранным. По соответствующим правилам его номер считается выигрывающим числом.
В наше время появились новые игры. Это, например «Спортлото».

Рис. 5

В Польше особенно популярна эта игра, для нее заполняются бланки с числами и выигрывает тот, кто угадает выпавшие номера.

Рис. 6

В России популярна игра «Русское лото».

Рис.7

А в магазине «Детский мир» можно купить две интересные (с точки зрения математики) игрушки. Это две вроде бы рулетки: ФОРТУНА и CASINO.

Рис. 8

Большой интерес вызывает в России игра «Поле чудес».

Рис. 9

В повседневной жизни, в практической и научной деятельности мы часто наблюдаем, те или иные явления, проводим определенные эксперименты. Нередко, давая какие-либо прогнозы, мы употребляем выражения «вероятно», «вероятность». Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей.

Статистика – наука, которая занимается получением, обработкой и анализом количественных данных о разнообразных массовых явлениях, происходящих в природе и обществе. Слово «статистика» происходит от латинского слова status, которое означает «состояние, положение вещей».
Соединение теории вероятностей и математической статистики называют стохастикой.

Стохастика – это тот раздел математики, который возник и развивался в тесной связи с практической деятельностью человека.

Жизнь, в том числе и развлечения, ставили и ставят перед человеком разные проблемы. Некоторые из них решены и решаются, при этом открывая новые математические понятия.

Среди явлений и экспериментов выделяются те, исход которых зависит от случая. Будем их называть случайными испытаниями.
Что же такое случайность?

Случайность – это прежде всего непредсказуемость, которая является результатом нашего незнания, нашей слабой осведомленности, результатом отсутствия необходимой информации.
Приведем примеры случайных событий.

Пример 1.Футбольный матч судья начинает бросанием монеты. Нас интересует, какой стороной монета упадет вверх. Если это сторона с орлом, то говорят, что выпал орел, если противоположная сторона – говорят, что выпала решка. Бросание монеты – это случайное событие.

Пример 2. Реквизитом во многих играх является игральная кость, т.е. кубик с очками на гранях (развертка этого кубика показана на рис. 10.). Бросая эту кость, мы наблюдаем (фиксируем) число выпавших очков. Бросание игральной кости – это случайное событие.

Рис.10

Пример 3. В игре «Спортлото» особая машина случайно выбирает 6 раз шар из набора 49 занумерованных шаров. Выбранный шар не возвращается в ящик этой машины. Здесь мы наблюдаем случайный шестикратный выбор шара без возвращения.  

Пример 4. На рис. 11 изображены вращающиеся волчки. Такой волчок состоит из диска, которым является правильный многоугольник, и перпендикулярной ему оси.

Рис. 11

Волчок, приведенный во вращательное движение, падает на одну из сторон многоугольника. То, какая это будет сторона, решает случай.

С помощью вращающегося волчка проводится, таким образом, некоторое случайное испытание. Легко заметить, что с помощью второго волчка на рисунке можно имитировать бросание кубика.

Описанные выше случайные события придумал человек. Встречающиеся в природе многие явления также можно назвать случайными событиями. Приведем примеры.

Пример 5. Пол родившегося ребенка является результатом события, которое можно считать случайным.

Пример 6. Случайное размещение изюминок в полученных кусочках теста при его вымешивании и делении является случайным событием. Сколько изюминок попадет в каждую часть теста, решает случай.

Пример 7. Число рыб, пойманных каждым из нескольких рыболовов в определенное время, – это тоже результат случайного события.

Мы рассмотрели несколько примеров случайных событий, однако вовсе не все события бывают случайными. События, результат которого определен однозначно, называют детерминированным событием.

Пример 8. Результат соединения химических элементов однозначно определен. Он не зависит от случая. Соединения химических элементов, о которых ты слышишь на уроках химии, – это не случайные события. Это детерминированное событие.

В зависимости от того, произойдут они или не произойдут, события могут быть достоверные и невозможные.

Достоверное событие – это событие, которое происходит всегда, и никакая случайность не может изменить исход этого события.

Пример 9. После зимы всегда наступает весна, после ночи всегда приходит утро.

Невозможное событие – это событие, которое никогда не может произойти в данных условиях.

Пример 10. Невозможно перевернуть не закрытый ничем стакан с водой так, чтобы вода не вылилась.

Домашнее задание. Придумать свои примеры достоверных, случайных, невозможных, детерминированных событий. Изготовить вращающиеся волчки и игральную кость.

Задачи для проектов

1. В овощном супе, сваренным в турпоходе, находятся 100 горошин. Суп разливается в 10 тарелок. Как имитировать эту раздачу супа, чтобы оценить, в какой степени вероятно, что в твою тарелку не попадет ни одна горошина? Построй вероятностную модель случайного испытания, каким является эта раздача, и подсчитай в этой модели вероятность данного события.
2. Маша и Миша решили случайно выбрать того из них, кто будет мыть посуду в данный день. Миша предложил попеременно бросать монету, но не больше пяти раз. Посуду моет тот, кто первый выбросит решку. Миша сказал при этом: «Я, как мальчик, буду джентльменом, даю тебе, Маша, право на первый ход. Причем, если решка не выпадет ни разу в этих пяти бросках, то я мою посуду». Должна ли Маша согласиться на это предложение Миши? Является ли Миша настоящим джентльменом? Как обосновать это с помощью математики?
3. В игре в фанты за допущенные ошибки участник отдает под залог какой-нибудь предмет (фант). «Выкупка» фантов происходит в конце игры. Сначала все участники определяют способ, как можно выкупить фант, потом случайно выбирается фант, который надо этим способом выкупить. Как поступить, чтобы у каждого фанта были одинаковые шансы? Удовлетворяет ли этим условиям выбор наугад одного фанта кем-нибудь с закрытыми глазами? Почему?
4.  Тебя пригласили играть. После перетасовки трех карт, двух пиковых и одной червонной, выкладываются на стол две из них. Эти карты могут оказаться одного цвета (это событие А) или разного цвета (это событие В). Перед проведением этого случайного испытания ты делаешь ставку на одно из событий А или В. Если твоя ставка окажется правильной, получаешь очко. Какое решение ты примешь в этой ситуации?
5.  Мать Алеши и Бориса замесила тесто, в которое положила 6 маленьких орешков. Замесив его, она сделала 6одинаковых булочек к обеденному десерту. Алеша утверждает, что очень вероятно, что в каждую булочку попадет один орешек. Борис уверен, что это маловероятно. Кто из них прав?