Урок-лаборатория "Построение серединного перпендикуляра к отрезку как геометрического места точек с использованием графической среды компас-3D"

Разделы: Математика

Цели:

  1. Дать представление о новом классе задач - построение геометрических фигур с помощью циркуля и линейки без масштабных делений.
  2. Ввести понятие ГМТ.
  3. Дать определение серединного перпендикуляра научить строить его и доказать терему о серединном перпендикуляре, а так же обратную ей.
  4. С помощью системы компьютерного черчения “Компас-3D” выполнить геометрические построения, которые рекомендуется проводить в курсе геометрии с помощью циркуля и линейки.

Раздаточный материал (Приложение №1)

Задачи на построение циркулем и линейкой без делений решаются чаще всего по определённой схеме:

I. Анализ: Чертят искомую фигуру схематично и устанавливают связи между данными задачи и искомыми элементами.

II. Построение: По намеченному плану выполняют построение циркулем и линейкой.

III. Доказательство: Доказывают, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.

IV. Исследование: Проводят исследование, при любых ли данных задача имеет решение и если имеет, сколько решений (выполняют не во всех задачах).

Вот несколько примеров элементарных задач на построение, которые мы с вами будем рассматривать:

1. Отложить отрезок, равный данному (изучено ранее).

2. Построение серединного перпендикуляра к отрезку:

  • построить середину данного отрезка;
  • построить прямую, проходящую через заданную точку и перпендикулярно заданной прямой (точка может лежать или не лежать на заданной прямой).

3. Построение биссектрисы угла.

4. Построение угла равного данному.

Серединный перпендикуляр к отрезку.

Определение: Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.

Задача: “Построить серединный перпендикуляр к отрезку”. Презентация

I. Анализ (слайд №2)

    (Рисунок 1)

 II. Построение (слайд №3)

    (Рисунок 2)

АВ;

MN AB

MN AB

О – середина АВ

Описание построения (слайд №4):

Луч а; А – начало луча

Окружность (А; r =m)

Окружность    а = В; АВ = m

Окружность1 (А; r1> m/2)

Окружность2 (В; r1)

Окружность1 Окружность2 =

MN ; MN AB =0, (МN = L)

где MN AB, O – середина AB

III. Доказательство (слайд №5, 6)

1. Рассмотрим AMN и BNM:

AM = MB=BN=AN=r2 , следовательно AM = BN , AN = BM MN – общая сторона

(Рисунок 3)

Следовательно, AMN = BNM (по 3-м сторонам),

Следовательно

1= 2 (по определению равных )

3= 4 (по определению равных )

2. MAN и NBM – равнобедренные (по определению) —>

1 = 4 и 3 = 2 (по свойству равнобедренных )

3. Из пунктов 1 и 2 —> 1 = 3 следовательно MO – биссектриса равнобедренного AMB

Следовательно,
по свойству равнобедренных 		MO – медиана, т.е. O – середина AB

MO – высота, т.е. MO AB (MO = MN)

4.  Таким образом мы доказали, что MN – серединный перпендикуляр к отрезку AB

IV. Исследование

Данная задача имеет единственное решение, т.к. любой отрезок имеет только одну середину, и через заданную точку можно провести единственную прямую перпендикулярную данной.

Определение: Геометрическое множество точек (ГМТ) — это множество точек, обладающих некоторым свойством. (Приложение №2)

Известные вам ГМТ:

  1. Серединный перпендикуляр к отрезку – это множество точек, равноудаленных от концов отрезка.
  2. Окружность – это множество точек, равноудаленных от заданной точки – центра окружности.
  3. Биссектриса угла – множество точек, равноудаленных от сторон угла

Итак, докажем теорему:

Теорема: “Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка”.

(Рисунок 4)

Дано: АВ; МО – серединный перпендикуляр

Доказать: АМ = ВМ

Доказательство:

1. МО – серединный перпендикуляр (по условию) —> O – середина отрезка АВ , MOАВ

2. Рассмотрим АМО и ВМО - прямоугольные

МО – общий катет

АО = ВО (О – середина АВ) —> АМО = ВМО (по 2-м катетам) —>АМ=ВМ (по определению равных треугольников, как соответствующие стороны)

Что и требовалось доказать

Домашнее задание: “Доказать теорему, обратную данной”

Теорема: “Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку”.

(Рисунок 5)

 

Дано: АВ; МА=МВ

Доказать: Точка М лежит на серединном перпендикуляре

Доказательство:

  1. Т.к. МА=МВ (по условию) —> АМВ – равнобедренный (по определению).
  2. Проведем МО АВ, т.е. опустим hАВ.
  3. Т.к. АВ – основание равнобедренного АМВ, то МО – медиана —> АО=ОВ (по cвойству равнобедренного треугольника).

Т.о. МО – серединный перпендикуляр, содержащий все точки, равноудаленные от концов отрезка.

Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника

Они пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной окружности около треугольника, мы изучим в восьмом классе.

Практикум

Материально техническое оснащение:

Дистрибутив: 29 574 Кбайт

Статус: freeware

Авторские права: АО АСКОН

ОС: Windows 9x/2000/XP

Сайт: http://www.ascon.ru

Теперь перенесем построение в графическую среду компьютера (слайд №7)

Полученные ранее знания и умения необходимо применить на конкретной задаче. Вы увидите, что построение займет у вас времени не больше, чем построение в тетради. Кроме всего прочего интересно посмотреть, как компьютерная среда выполняет команды человека по построению плоскостных фигур. Перед вами приложение №3, в котором подробным образом расписаны ваши шаги построения. Загрузить программу и открыть новый чертеж (слайд №8, 9).

Начертить геометрические объекты, заданные в условии задачи: луч а с началом в точке А и отрезок равный m – произвольной длины (слайд №10).

Ввести обозначение луча, отрезка, начала луча на чертеже с помощью вкладки "Инструменты" текст.

Построить окружность радиусом равным отрезку m с центром в вершине заданной точкой А (слайд №11).

Построить окружность радиусом равным отрезку больше 1/2 m с центром в вершине заданной точкой А (слайд №12, 13).

Построить окружность радиусом равным отрезку больше 1/2 m для этого выбрать в контекстном меню ПКМ пункт “Между 2 точками” (слайд №14, 15, 16).

Через точки пересечения окружностей M и N провести прямую (слайд №17,18).

Используемая литература:

  1. Угринович Н.Д “Информатика. Базовый курс” 7 класс. - М.: БИНОМ – 2008 – 175 с.
  2. Угринович Н.Д “Практикум по информатике и информационным технологиям”. Учебное пособие. – М.: БИНОМ, 2004-2006. -
  3. Угринович Н.Д “Преподавание курса “Информатика и ИКТ” в основной и старшей школе 8-11 классы М.: БИНОМ Лаборатория знаний, 2008. - 180 с.
  4. Угринович Н.Д Компьютерный практикум на CD-ROM. – М.: БИНОМ, 2004-2006.
  5. Богуславский А.А., Третьяк Т.М. Фарафонов А.А. “Компас – 3D v 5.11-8.0 Практикум для начинающих” – М.: СОЛОН – ПРЕСС, 2006 – 272 с.
  6. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., и др “Геометрия 7-9. Учебник для общеобразовательных школ” – М: Просвещение 2006 – 384 с.
  7. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., и др “Изучение геометрии 7-9 класс. Методические рекомендации к учебнику” – М: Просвещение 1997 г. – 255 с.
  8. Афанасьева Т.Л., Тапилина Л.А. “Поурочные планы по учебнику 8 класса Атанасяна Л.С.” — Волгоград “Учитель” 2010 г., 166 с.

Приложение № 1

План решения задач на построение циркулем и линейкой.

  1. Анализ.
  2. Построение.
  3. Доказательство.
  4. Исследование.

Пояснение

  1. При выполнении анализа схематично чертят искомую фигуру и устанавливают связь между данными задачи и искомыми элементами.
  2. По намеченному плану выполняют построение циркулем и линейкой.
  3. Доказывают, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.
  4. Проводят исследование: при любых ли данных задача имеет решение и если имеет, то сколько решений?

Примеры элементарных задач на построение

  1. Отложить отрезок, равный данному.
  2. Построить серединный перпендикуляр к отрезку.
  3. Построить середину отрезка.
  4. Построить прямую, проходящую через данную точку, перпендикулярно заданной прямой (Точка может лежать или не лежать на заданной прямой).
  5. Построить биссектрису угла.
  6. Построить угол равный данному.

Приложение №2

Геометрическое место точек (ГМТ) - это множество точек, обладающих некоторым свойством.

Примеры ГМТ:

  1. Серединный перпендикуляр к отрезку – это множество точек, равноудалённых от концов отрезка.
  2. Окружность – это множество точек, равноудаленных от заданной точки – центра окружности.
  3. Биссектриса угла – это множество точек, равноудалённых от сторон угла.

Теорема:

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Комментарий:

Дано: отрезок АВ, МО – серединный перпендикуляр.

Доказать: АМ=ВМ

Домашнее задание:

Сформулировать и доказать обратную теорему.

Приложение №3

Геометрическое построение серединного перпендикуляра к отрезку в графической среде “Компас 3D”.

Начертить геометрические объекты, заданные в условии задачи: луч а с началом в точке А и отрезок равный m – произвольной длины.

  1. Построить произвольный горизонтальный луч а.
  2. Построить произвольный отрезок m.
  3. Ввести обозначение луча, отрезка, начала луча на чертеже с помощью вкладки Инструменты “текст”. Построить окружность радиусом равным отрезку m с центром в вершине заданной точкой А.
  4. Выбрать на панели “Геометрия” инструмент “Окружность” и построить окружность радиусом равным отрезку m .для этого выбрать в контекстном меню ПКМ пункт Длина кривой.
  5. Точку пересечения луча а и радиуса окружности обозначить В. Построить окружность радиусом равным отрезку больше 1/2 m с центром в вершине заданной точкой А.
  6. Выбрать на панели Геометрия инструмент Окружность и построить окружность радиусом равным отрезку больше 1/2 m для этого выбрать в контекстном меню ПКМ пункт “Между 2точками”.
  7. Перенести окружность поместив ее в центр А.
  8. Аналогично построить окружность с центром в точке В.
  9. Точки образованные в процессе пересечения двух окружностей обозначить соответственно M, N. Через точки пересечения окружностей M и N провести прямую.
  10. Соединить точки пересечений отрезком MN.
  11. Точку пересечения MN и АВ обозначить точкой О.