Правильных многогранников вызывающе
мало,
но этот весьма скромный по численности отряд
сумел пробраться в самые глубины различных наук.
Л. Кэрролл
Цели.
Образовательная.
- Познакомить учащихся с новым типом выпуклых многогранников – правильными многогранниками.
- Показать влияние правильных многогранников на возникновение философских теорий и фантастических гипотез.
- Показать связь геометрии и природы.
Развивающая.
- Развивать логическое мышление.
- Пространственное воображение.
- Видеть по рисункам элементы признаков правильных многогранников.
Воспитательная.
Тип урока: урок изучения нового материала.
Вид урока: виртуальное путешествие по выставке “картин”.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация к уроку, образцы многогранников, предметы показывающие связь правильных многогранников со стихиями (свеча, сосуд с водой, песок).
План.
- 1-й зал “Многогранники и выпуклые многогранники”.
- 2-й зал “Правильные выпуклые многогранники или Платоновы тела”.
- 3-й зал “Теорема Декарта – Эйлера”.
- 4-й зал “Правильные многогранники в живой природе”
- 5-й зал “Многогранники и кристаллы”.
- 6-й зал “Многогранники в живописи”.
- 7-й зал “Реставрационная мастерская”.
- Рефлексия.
- Дом. задание.
Ход урока
Учитель: Сегодня мы продолжим путешествие по прекрасной стране Геометрия. Лучше разглядим ее красоту и совершенство. Вас и наших гостей я приглашаю на вернисаж. Знаете ли вы, что это такое? Сегодня вернисаж необычный, он математический и посвящен разделу математики “Геометрия”. К, сожалению, мы не можем посмотреть все работы, представленные на выставке, но отдельные залы, посвященные многогранникам, мы посетим обязательно. Мне хотелось бы начать со слов (слайд 3. Презентация). Бертрана А’ртура Уи’льяма Рассела (англ. математик, философ и общественный деятель): “Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства”.
Открывает вернисаж картина, необычная для непосвященного зрителя. Что здесь изображено? (Cлайд 4). Мы с вами уже знакомились с такими видами многогранников как призма и пирамида. С какими видами призм вы знакомы? (Куб, параллелепипед). Какие виды пирамид вы знаете? (Правильная, усечённая).
На данный момент уже вы имеете представление о таких многогранниках как призма и пирамида. На сегодняшнем уроке у вас есть возможность значительно расширить свои знания о многогранниках, вы узнаете о так называемых правильных выпуклых многогранниках.
Итак, я приглашаю вас в первый зал “Многогранники и выпуклые многогранники”. Слайд 5.
Давайте вспомним их.
- Дайте определение многогранника.
- Какие бывают многогранники? Слайд 6.
- Какой многогранник называется выпуклым?
Нами уже использовались словосочетания “правильные призмы” и “правильные пирамиды”. Оказывается, новая комбинация знакомых понятий образует совершенно новое с геометрической точки зрения понятие. Какие же выпуклые многогранники будем называть правильными? Послушайте внимательно определение. (Учебник)
Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многогранниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. Слайд 7.
Может показаться, что вторая часть определения является лишней и достаточно сказать, что выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многогранниками с одним и тем же числом сторон. Достаточно ли этого на самом деле?
Посмотрите на многогранник. (Демонстрируется модель многогранника, который получается из двух правильных тетраэдров, приклеенных друг к другу одной гранью). Оставляет ли он впечатление правильного многогранника? (Нет!). Посмотрим на его грани - правильные треугольники. Посчитаем число рёбер, сходящихся в каждой вершине. В некоторых вершинах сходятся три ребра, в некоторых – четыре. Вторая часть определения правильного выпуклого многогранника не выполняется и рассматриваемый многогранник, действительно, не является правильным. Таким образом, когда будете давать определение, помните об обеих его частях.
2 зал “Правильные выпуклые многогранники”
Всего существует пять видов правильных выпуклых многогранников. Слайд 8. Их гранями являются правильные треугольники, правильные четырёхугольники (квадраты) и правильные пятиугольники. (Демонстрируются образцы).
Докажем, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и, вообще, n – угольники при n>6. Слайд 9.
Оказывается, что каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трёх, четырёх или пяти равносторонних треугольников, либо квадратов, либо трёх правильных пятиугольников. Других возможностей нет. В соответствии с этим получаем следующие правильные многогранники.
Правильный тетраэдр (рис. 1. Приложение 2) Слайд 10. составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°. Рис. 1
Куб (гексаэдр). Слайд 11. (рис. 2) составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270°. Рис.2
Правильный октаэдр.Слайд 12. (рис. 3) составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240°. Рис. 3
Правильный додекаэдр. Слайд 13. (рис. 4) составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324° . Рис.4.
Правильный икосаэдр. Слайд 14. (рис. 5) составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300°. Рис. 5
Почему правильные многогранники получили такие имена? Это связано с числом их граней. Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней. В переводе с греческого языка: “эдра” - грань, “тетра” - 4, “гекса” - 6, “окта” - 8 , “икоса” - 20, “додека” - 12.
Вам необходимо запомнить названия этих многогранников, уметь охарактеризовать каждый из них и доказать, что других видов правильных многогранников, кроме перечисленных пяти, нет.
Обращаю внимание на слова Л. Кэрролла , которые являются эпиграфом сегодняшнего урока: “Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук”. Слайд 15.
Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.). Рис.6
Платон считал, что мир строится из четырёх “стихий” - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих “стихий” имеют форму четырёх правильных многогранников. Слайд 16.
В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества - твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – символизировал весь мир и почитался главнейшим. Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации. Давайте попробуем определить, к какой из стихий можно отнести правильные многогранники. (Зажигается свеча, которая символизирует огонь). Посмотрите на образцы многогранников и на пламя свечи, какой многогранник олицетворяет огонь? (Тетраэдр, т.к. его вершина устремлена вверх как у разгоревшегося пламени). А теперь возьмите в руку песок сожмите его и разожмите ладонь, песчинки рассыпаются как маленькие что (кубики, куб – самая устойчивая из фигур, поэтому куб олицетворяет землю). Наберите в ладони воду и вылейте её, легко представить, что из наших ладоней вытекают капли воды похожие на что? (Икосаэдр – как самый обтекаемый многогранник, поэтому он олицетворяет воду). Вдохнём в наши лёгкие воздух, и мы почувствуем, как они наполняются маленькими самыми лёгкими и прозрачными октаэдрами, октаэдр как самый лёгкий и прозрачный символизирует воздух. Слайд 17. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался - главнейшим. Слайд 18.
3 зал “Теорема Декарта – Эйлера”.
Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у них граней, сколько рёбер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов Платоновых тел и занесём результаты в таблицу. А проделаем мы всё это в следующем зале вернисажа “Теорема Декарт-Эйлера”. Слайд 19. Рис. 7. (Учащиеся заполняют таблицу на интерактивной доске)
Найдите закономерность между Р и Г+В.
“Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2”, т.е. Г + В = Р + 2. Эту формулу называют Эйлерова характеристика. Слайд 20.
Итак, мы вместе “открыли” формулу, которая была подмечена уже Декартом в 1640 г., а позднее вновь открыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она носит. Рис.8.
Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников. Запомните эту формулу, она пригодится вам для решения некоторых задач.
4-й зал “Правильные многогранники в живой природе”. Слайд 21.
Правильные многогранники встречаются и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии. Рис. 9. (Circogonia icosahedra) по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное пытается себя защитить: из 12 вершин скелета выходят 12 полых игл. На концах игл находятся зубцы, делающие иглу еще более эффективной при защите.
Интересно, что икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы некоторых вирусов. Слайд 22. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось раньше. Для того чтобы определить его форму, брали разные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр.
5-й зал “Многогранники и кристаллы”. Слайд 23.
Удивительно разнообразен мир кристаллов, являющихся природными многогранниками. Кристаллы встречаются повсюду. Мы ходим по кристаллам, строим из кристаллов, обрабатываем кристаллы на заводах, выращиваем кристаллы в лабораториях и в заводских условиях, создаем приборы и изделия из кристаллов, широко применяем кристаллы в науке и технике, едим кристаллы, лечимся кристаллами, находим кристаллы в живых организмах, проникаем в тайны строения кристаллов, выходим на просторы космических дорог с помощью приборов из кристаллов и растим кристаллы в домашних условиях.
Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Слайд 24.
- Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она хорошо растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба.
- При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми квасцами (K[Al(SO4)2]·12H2O), монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра.
- Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.
- В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий (Na5(SbO4(SO4)) – вещество, синтезированное учеными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра.
- А икосаэдр передает форму кристаллов бора (B). В свое время бор использовался для создания полупроводников первого поколения. Рис.10, 11.
6-й зал “Многогранники в живописи”. Слайд 25.
Постоянный интерес к изучению и изображению многогранников испытывали и многие художники разных эпох и стран. Пик этого интереса приходится, конечно, на эпоху Возрождения. Изучая явления природы, художники Возрождения стремились найти опирающиеся на опыт науки способы их изображения. Учения о перспективе, светотени и пропорциях, построенные на математике, оптике, анатомии, становятся основой нового искусства. Они позволяют художнику воссоздавать на плоскости трехмерное пространство, добиваться впечатления рельефности предметов. Для некоторых мастеров Возрождения многогранники являлись просто удобной моделью для тренировки мастерства перспективы. Другие восхищались их симметрией и лаконичной красотой. Третьих, вслед за Платоном, привлекали их философские и мистические символы.
Знаменитым художником эпохи Возрождения, увлекшимся геометрией, был Альбрехт Дюрер (1471-1528). В его известной гравюре “Меланхолия” на переднем плане изображен многогранник, гранями которого являются треугольники и пятиугольники. Рис.12.
Увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах Леонардо да Винчи (1452-1519). Слайд 26. Слайд 27.
В 1525 году он даже написал трактат о пяти правильных многогранниках.
Известный голландский художник Маурица Эшер (1898-1972) написал картину – фантазию на тему “Правильные многогранники”.
А испанский художник Сальвадор Дали использовал символ Вселенной в своей картине “Тайная вечеря”, на которой Христос и его ученики изображены на фоне огромного прозрачного додекаэдра. Слайд 28, 29. Рис.13.
7-й зал “Реставрационная мастерская”. Слайд 30.
На
выставке имеются картины, которые побывали в
реставрационной мастерской. Попробуйте и вы себя
в роли реставраторов.
Задача: Определите количество граней, вершин и рёбер многогранники, изображенного на рисунке. Проверьте выполнимость формулы Эйлера для данного многогранника.
Г=12 В=10 Р=20 Г+В=12+10=22 Р+2=20+2=22. Слайд 31, 32
Рефлексия.
Совершенство форм, красивые математические закономерности, присущие правильным многогранникам, явились причиной того, что им приписывались различные магические свойства и все пять геометрических тел издавна были обязательными спутниками волшебников и звездочётов. И если потрудиться над их изучением и изготовлением, то наверняка они доставят радость и удовольствие, а возможно принесут и удачу.
- Что понравилось на уроке?
- Какой материал был наиболее интересен?
- В каких еще областях деятельности можно встретиться с правильными многогранниками?
Дом. задание. Слайд 33. Однажды обыкновенный английский мальчик Джеймс, увлекшись изготовлением моделей многогранников, написал в письме к отцу: “…я сделал тетраэдр, додекаэдр и ещё два эдра, для которых не знаю правильного названия”. Эти слова ознаменовали рождение в пока ничем не примечательном мальчике великого физика Джеймса Кларка Максвелла. Думаю, что и вас, и ваших родных увлечёт изготовление моделей геометрических тел. Изготовить модель любого правильного многогранника.
Видео (приложение 3)