Решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины

Разделы: Математика

Цели урока:

образовательные:

  • повторение различных способов решения уравнений, содержащих знак модуля;
  • решение уравнений различными способами;
  • решение уравнений, предлагавшихся на вступительных экзаменах в мгу;
  • решение уравнений, содержащих знак модуля и параметр;

воспитательные:

  • развитие внимания;
  • развитие умения правильно и чётко записывать решение;
  • развитие умения слушать объяснение одноклассников;
  • развитие умения проверять собственное решение;

развивающие:

  • развитие умения находить наиболее рациональный способ решения;
  • развитие математического мышления;
  • развитие умения обосновывать своё решение;
  • развитие умения обобщать полученные знания;
  • развитие умения решать уравнения с параметром;

Оборудование:

  • классная доска;
  • раздаточный материал с условиями заданий для работы в группах;
  • компьютер;
  • проектор;
  • экран.

Знания, умения, навыки.

В результате проведения урока учащиеся должны повторить основные приёмы решения уравнений, содержащий знак модуля, научиться решать подобные уравнения уровня школьных выпускных и конкурсных экзаменов, научиться понимать и уметь находить решение уравнений, содержащих параметр.

ХОД УРОКА

1) Повторить определение модуля числа и способы его раскрытия в зависимости от знака аргумента.

2) Повторить основные способы решения уравнений, содержащих модули выражения:

а) решение уравнений путем раскрытия модуля внешним способом;

б) решение уравнений путем раскрытия модуля изнутри;

в) решение уравнений, содержащих модули, методом замены переменной;

г) решение уравнений, содержащих несколько модулей;

д) решение уравнений, содержащих модули и параметры одновременно.

3) Решение уравнений различными методами (работа в группах).

4) Решение уравнений конкурсных экзаменов (с использованием компьютера).

5) Решение уравнений, содержащих модули и параметры одновременно (с использованием классной доски, компьютера и проектора).

6) Подведение итогов урока, выставление оценок.

Материалы к уроку:

1. К каждому из указанных уравнений подобрать метод решения и решить его (решение на доске и в тетрадях).

а) | 5 - 4х | = 1

б) | 6х2 _ 5х + 1 | = 5х - 6х2 - 1

в) х2 + 3|х+1| - 1 = 0

г) | х - 2| + |х + 4| = 8

д) 2|х + 2| + 3 = (х + 2)2

Ответы: а) 1; 1.5; б) [1/3; 1/2]; в) -1; г) -5; 3; д) -5; 1.

2. Работа в группах (каждая группа получает конверт с заданием и карточку для выставления оценки и самооценки выполненной работы).

Вид карточки выставления оценок. (Приложение 2)

Критерий выставления оценки:

“5”- решил 5 уравнений различными способами самостоятельно;

“4”- решил 5 уравнений различными способами и получил одну консультацию у членов группы;

“3”- решил 5 уравнений различными способами и получил две или три консультации у членов группы;

“2”- испытывал трудности при решении уравнений и постоянно консультировался у членов группы;

Оценка выставляется группой после обсуждения и самим учеником, итоговая оценка выставляется учителем.

КАРТОЧКА №1

а) | 3х-3 | = 6;

б) | х2 - 3х - 10 | = 3х - х2 + 10;

в) 1/|х| + 1/(х + 1) = 2;

г) | х2 - 9 | + | х - 2| = 5;

д) | х - 1| + | х - 2| + | х - 3| = х.

КАРТОЧКА №2

а) | 3-2х | = 4;

б) | х2 - 3х + 2 | = 3х - х2 - 2;

в) 2/|х - 1| + 4/(х + 3) = 3;

г) | х2 - 8х | - 9 = 0;

д) | х - 3 | + | х + 2 | - | х - 4 | = 3.

КАРТОЧКА №3

а) | 5х-4 | = 6;

б) х2 + 2| х - 1 | - 1 = 0;

в) | х2 - 2х | - 3 = 0;

г) (х - 3,5)2 + 2| х - 3,5 | = 1,25;

д) | х + 2 | - | х - 3 | + | х - 1 | = 1.

Ответы:

Приложение (Карточки)

3. Решение уравнений конкурсных экзаменов.

а) Решим уравнение: |||| х -3 | - 1 | + 2 | - 3| = 1

Раскроем модуль внешним способом, получим совокупность двух уравнений:

||| х - 3 | - 1 | + 2 | - 3 = 1 и ||| х - 3 | - 1 | + 2 | - 3 = -1, преобразуя которые получаем:

||| х- 3 | - 1 | + 2 | = 4 и ||| х - 3 | - 1 | + 2 | = 2.

Раскроем вновь модуль внешним образом, получаем совокупность из четырех уравнений:

|| х - 3 | - 1 | + 2 = 4; || х - 3 | - 1 | + 2 = -4; || х - 3 | - 1 | + 2 = 2 и

|| х - 3 | - 1 | + 2 = -2.

Вновь преобразуем полученные уравнения:

|| х - 3 | - 1 | = 2; || х - 3 | - 1 | = -6; || х- 3 | - 1 | = 0 и || х - 3 | - 1 | = -4.

Легко видеть, что второе и четвертое из полученных уравнений решения не имеют, так как модуль не может принимать отрицательных значений.

Дальнейшее раскрытие модулей приводит к ответу: х = 0; 2; 4; 6.

б) В качестве домашнего задания предлагается решить следующие уравнения:

|| х - 2 | - 4 | = 3;

|||| х + 1| - 5 | + 1| - 2 | = 2;

|||| х + 3| - 2 | + 1 | - 3| = 3;

|| 2х - 7 | - х | = 7 - х;

|| х - 1 | - х - 3 | + х = 4;

|| 2х - 1 | - х - 3 | = 4 - х.

4. Решение уравнений с параметром.

Предлагается определить количество корней уравнения в зависимости от значения параметра а и решить данное уравнение двумя способами: аналитическим и графическим:

| х2 - 2х - 3 | = а.

а) Графический способ решения уравнения:

Для решения данного уравнения необходимо построить графики следующих функций: у1 = |х2 - 2х - 3| и у2 = а. Графиком первой функции является парабола, у которой область отрицательных значений функции отображена в область положительных значений переменной у относительно оси х. Графиком второй функции является прямая, параллельная оси х.

Легко видеть,что при а‹0 полученный графики не пересекаются, что говорит об отсутствии решений данного уравнения. При а = 0 имеем две точки пересечения графиков, а, следовательно, и два решения: х = -1 и х = 3. При 0‹а‹4 точек пересечения графиков — четыре, а решения имеют вид:

При а = 4 решений три: х1 = 1 – 22 и х2 = 1 + 22 , а х3 = х4 = 1.

При а›4 решений, как и точек пересечения графиков, остается два:

б) Аналитический способ решения уравнения:

Первый вывод можно сделать сразу: а>0, поскольку модуль не может принимать отрицательные значения. Таким образом, при а‹0 решений нет. При а = 0 решаем квадратное уравнение: х2 - 2х - 3 = 0, решением которого являются х1 = -1 и х2 = 3. При а›0 решаемотдельно два уравнения:

х2 - 2х - 3 = а (1) и х2 - 2х - 3 = -а (2).

Уравнение (1) имеет два решения при любых значениях параметра а›0. Уравнение (2) имеет два решения только при 0‹а‹4, при этих значениях параметра дискриминант квадратного уравнения (2) положителен, а корни уравнения аналогичны х3 и х4, найденным при графическом решении. При а = 4 дискриминант уравнения (2) равен 0, решение уравнения (2) одно и равно 1.

В результате решения любым способом получен следующий ответ:

При а‹0 решений нет;

При а = 0 х = -1; 3.

При 0‹а‹4 :

При а = 4: х1 = 1 - 22 и х2 = 1 + 22 , а х3 = х4 = 1.

При а›4 :

в) В качестве домашнего задания предлагается определить количество корней уравнения в зависимости от значений параметра а:

1) | 5 + 2х - х2| = а; 2) х2 - 6|х| + 5 = а; 3) х2 - 3|х| = а.

5. Подведение итогов урока, выставление оценок.