Программа предметного элективного курса по математике "Эти известно-неизвестные прогрессии"

Пояснительная записка.

Тема «Прогрессии» изучается в курсе алгебры 9-го класса в течение 16 часов и имеет основной целью познакомить учащихся с понятиями числовой последовательности, арифметической и геометрической прогрессий, с формулами n-го члена и суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий. Материал, содержащийся в данном элективном курсе, тесно связан с программным материалом, углубляет его и позволяет помочь учащимся научиться уверенно решать как стандартные, так и нестандартные задачи, в том числе, задачи олимпиадного характера. Необходимость введения данного элективного курса обуславливается так же и тем, что задания, связанные с прогрессиями, встречаются в материалах ГИА.

Элективный курс «Эти известно-неизвестные прогрессии» предназначен как для учащихся, проявляющих интерес к изучению математики, так и для учащихся, желающих повысить свой уровень математической подготовки.

На изучение данного элективного курса отводится 17 часов. Курс предназначен для учащихся 9-х классов, а так же может быть использован и при подготовке учащихся 10-11 классов к ЕГЭ.

Цели элективного курса:

1. Создание целостного представления о различных видах числовых последовательностей.
2. Овладение навыками применения теоретических положений данной темы для решения задач прикладного характера.

Основные задачи курса:

• повторить основные понятия и формулы по теме «Прогрессии»;
• добиться эффективности применения знаний по теме «Прогрессии» в решении задач повышенного уровня сложности, задач олимпиадного характера и геометрических задач;
• овладеть элементами исследовательской работы.

Занятия могут быть организованы в виде семинаров и уроков-практикумов по решению задач. Ведущими являются групповые, индивидуальные формы работы. При направляющей роли учителя школьники могут самостоятельно выдвинуть гипотезу решения задания, провести анализ данных и определить пути решения. Всё должно располагать к самостоятельной деятельности и повышать интерес к изучению предмета.

Освоение элективного курса заканчивается итоговой проверочной работой и защитой учащимися своих творческих работ.

В данной программе представлены образцы дидактических материалов по всем темам элективного курса, а также образцы контрольно-измерительных материалов.

Задания, предлагаемые в данном элективном курсе, интересны и оригинальны в решении. Это влияет на повышение учебной мотивации учащихся и помогает им проверить свои способности к математике. Вместе с тем в курсе заложена возможность дифференцированного обучения, что позволяет различным группам школьников решать сложные математические задачи просто, красиво и понятно.

Содержание курса.

Программа содержит вводное занятие, 4 темы и заключительное занятие, связанные единой идеей. В то же время эти темы достаточно независимы друг от друга, что позволит учителю, исходя из уровня математической подготовки класса, использовать все темы или рассмотреть любую из них.

Вводное занятие (1 час). На этом занятии учащимся сообщаются цель, задачи элективного курса, требования к итоговому отчету и итоговой аттестации. Проводится вводная диагностика школьников по выявлению их степени подготовленности к изучению курса (с последующим обсуждением результатов диагностики).

Тема 1 (3 часа). На занятиях повторяются и систематизируются знания учащихся об арифметической и геометрической прогрессиях, рассматриваются задачи, дошедшие до нас с древнейших времен. Именно данный материал позволяет повысить мотивацию учащихся с низким и средним уровнями способностей к изучению математики.

Тема 2 (4 часа). Данная тема посвящена рассмотрению коллекции нестандартных задач на прогрессии и определению основных подходов к решению задач повышенной трудности и задач олимпиадного характера.

Тема 3 (2 часа). На занятиях демонстрируется рациональность использования теоретического материала темы «Прогрессии» для решения определенного круга геометрических задач. Красивые и эффективные выкладки при решении достаточно сложных и непонятных, на первый взгляд, геометрических задач позволят повысить учебный интерес у учащихся любого уровня математической подготовки.

Тема 4 (5 часов). Предусматривает решение заданий на прогрессии, содержащиеся в материалах ГИА и ЕГЭ. Данная тема должна помочь учащимся адекватно оценить собственные знания, умения. Однако следует так построить занятия, чтобы не допустить занижения уровня своей самооценки школьниками.

На итоговых занятиях элективного курса (2 часа) учащимся для проверки усвоения знаний предлагается проверочная работа. Заключительным этапом является защита творческих работ, содержащих самостоятельно сконструированные задачи по различным темам изучаемого элективного курса. Школьники должны своими работами попытаться доказать следующее утверждение: красивая задача = непредсказуемость + неожиданность + простота + фантазия + удивление. Данная программа содержит Приложение, в которое включены задания различного уровня сложности: от простых, для решения которых нужно лишь знание основ по теме «Прогрессии», до задач-«ловушек», требующих углубленного изучения математики и сообразительности.

Методические рекомендации.

В результате изучения данного элективного курса учащиеся должны знать:

• понятие арифметической и геометрической прогрессии;
• формулы n-ого члена и суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий;
• методы решения задач на прогрессии;

уметь:

• применять полученные знания и умения при решении заданий олимпиадного характера, задач геометрической и практической направленности;
• моделировать явления и процессы, самостоятельно составлять задания по аналогии с решенными.

Примерное планирование занятий.

Тема 1. Прогрессии в задачах с древнейших времен до наших дней (3 часа).

Занятие 1. Актуализация и систематизация знаний учащихся о числовых последовательностях, об арифметической и геометрической прогрессиях, формулах n-го члена и суммы n первых членов. Необходимо решить несколько стандартных заданий, что позволит учащимся вспомнить и обобщить свои знания по данной теме и подготовиться к углубленному изучению материала. Итогом является таблица (см. приложение), которая послужит справочным материалом для дальнейших занятий.

Занятие 2. Решение задач на прогрессии, встречающиеся в древних рукописях у разных народов мира.

Занятие 3. Выполнение проверочной работы (см. Приложение) и обсуждение её итогов.

Тема 2. Решение нестандартных задач на прогрессии (4 часа).

Программа для общеобразовательных школ практически не предусматривает решения нестандартных задач. Однако круг этих задач достаточно широк, и учителю нельзя упустить возможность на этих задачах показать всю красоту математики и логики, показать взаимосвязь и взаимопроникновение различных тем математики. Содержание элективного курса призвано помочь учителю ликвидировать этот пробел школьной программы. Последовательность заданий составлена так, что при организации учебного процесса школьники будут приобщаться к исследовательской деятельности. На заключительном занятии проводится проверочная работа (см. Приложение).

Тема 3. Арифметическая и геометрическая прогрессия в геометрических задачах (2 часа).

При рассмотрении данной темы учащимся предлагается ряд геометрических задач (с квадратами, треугольниками, выпуклыми многоугольниками и т.д.), решения которых без использования темы «Прогрессии» довольно громоздки и сложны. Учителю можно продемонстрировать для сравнения два способа решения задач: 1) без использования прогрессий; 2) с использованием формул арифметической и геометрической прогрессии. Это позволит показать красоту краткости математических выкладок, а также установить межпредметные связи между алгеброй и геометрией. Целесообразно на первом занятии предложить ученикам домашнее задание поискового характера: найти в различных учебных пособиях и сборниках по геометрии задачи данного типа. На втором занятии этой темы следует провести «защиту» их оптимального способа решения (с применением темы «Прогрессии»).

Тема 4. Прогрессии в материалах ГИА и ЕГЭ (5 часов).

Занятия 1-4. Школьникам предлагаются для решения задания разного уровня сложности.

Занятие 5. Выполнение проверочной работы (см. Приложение).

Итоговые занятия (2 часа).

Занятие 1. Итоговая диагностика.

Занятие 2. Анализ итоговой диагностики. Защита творческих работ. Подведение итогов.

Программа может считаться усвоенной учеником, если в каждой проверочной работе он решил не менее 50% предложенных задач. Учитель и ученик могут составить «таблицу успешности», куда заносятся результаты выполнения проверочных работ. Причем необходимо учитывать не только те задания, которые были правильно решены полностью, но и те, в которых школьник верно усмотрел путь решения. Особо отмечаются оригинальные способы решения.

Библиография.

Литература для учащихся:

1. Ш.А. Алимов и др. Алгебра: Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений. Москва, Просвещение, 2009.
2. Г.А. Гальперин, А.К. Толпыго «Московские математические олимпиады». Москва, Просвещение, 1986.
3. Единый государственный экзамен. Математика. Москва, Просвещение, 2002-2010.
4. Я.И. Перельман «Занимательная алгебра». Москва, Просвещение, 1970.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы. Под редакцией М.И. Сканави. Москва, Высшая школа, 1988.
6. А.Г. Цыпкин Справочник по математике. Москва, Наука, 1981.

Литература для учителя.

Кроме литературы, рекомендованной для учащихся, учитель может использовать следующую:

1. Б.М. Ивлев, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин, С.И. Шварцбурд «Задачи повышенной трудности». Москва, Просвещение, 1990.
2. Математика. ЕГЭ-2006. Вступительные экзамены. Пособие для самоподготовки. Под ред. Ф.Ф. Лысенко. Ростов-на-Дону: Легион, 2005.
3. И.С. Петраков «Математические кружки». Москва, Просвещение, 1987.
4. Материалы вступительных экзаменов в ВУЗы // Математика в школе. 1989, №2; 1991, №2, №4; 1997, №1; 2000, №10; 2001, №2, №7; 2002, №2; 2003, №1 и др.
5. В.Л.Шагин. Вступительные экзамены по математике в высшей школе экономики 1995-1996. Издательство «Вита-Пресс», 1997.