Учащиеся должны знать определения симметричных систем относительного знака переменных, понимать, что геометрический образ таких аналитических выражений имеет ось симметрии, или плоскость симметрии. Знать алгоритм решения таких систем, если присутствует требование единственности и уметь выполнять его.
Ход урока
Определение: Система называется симметричной относительно знака некоторой переменной, если она сохраняет свой вид при замене знака данной переменной на противоположный.
Сформулировав определения, проверим, поняли ли учащиеся его смысл. Учитель просит ребят выполнить последовательность следующих заданий:
- Придумать систему из двух условий с двумя переменными, симметричную относительно знака одной из переменных.
- Придумать систему, содержащую два условия с двумя переменными, симметричную относительно знака каждой из переменных.
- Что можно сказать о множестве точек координатной плоскости, удовлетворяющих системе с двумя переменными, если система симметрична: относительно знака одной переменной, относительно знака каждой переменной. При ответе на последний вопрос, обратить внимание учащихся на необходимую часть. “Если существуют точки, удовлетворяющие каждому из условий системы, то…”.
Далее. Рассмотрим систему,
симметричную только относительно переменной 
. Тогда точки
координатной плоскости, удовлетворяющие данной
системе, располагаются симметрично относительно
оси ординат. Если среди них нет точек с абсциссой 
, то число этих
точек четно, в противоположном случае оно может
быть любым.
Аналогично рассматривается случай
симметричной системы относительно переменной 
.
Если же система симметрична относительно каждой из двух переменных, то такой системе удовлетворяют точки, обладающие симметрией относительно каждой из осей и центральной симметрией относительно начала координат.
На этом уроке мы будем рассматривать системы показательных уравнений, одновременно соответствующие двум условиям:
- Система состоит из двух уравнений, симметричных
относительно переменной или .
- В системе присутствует требование единственности.
Попробуем найти алгоритм решения такой задачи.
Идет диалог учитель – ученик.
– Что можно сказать о геометрическом образе решений, рассматривая первое условие?
– Геометрический образ такой системы
имеет ось симметрии. Причем, если координаты
точки 
являются решениями системы, то обязательно
найдется еще одна точка 
, координаты которой так же будут
являться решением системы.
– Что произойдет, если поставить требование единственности системы?
– Для выполнения требования
единственности решения необходимо, чтобы точки и совпадали, то есть лежали на
оси симметрии.
Обратить внимание учащихся на то, что это требование не является достаточным: например на оси симметрии может лежать не одна точка.
После этих рассуждений учащиеся составляют алгоритм решения задач такого типа и записывают его в тетрадь.
- Если система симметрична относительно
переменной
,
легко заметить, что если 
– решение системы, то 
так же является
её решением. - Что бы точки и совпадали, необходимо
, 
.
Это решение не является достаточным: наша
система может иметь несколько решений вида 
и, более того,
вообще не иметь решений. Поэтому полученное
решение нужно проверить.