Урок математики "Теорема Виета". 8-й класс

Цель урока: изучить теорему Виета и обратную ей, уметь применять при решении квадратных уравнений.

Тип урока: урок изучения нового.

Этапы урока:

1. Проблема.
2. Исследование проблемы.
3. Выводы.
4. Применение новых знаний.

ХОД УРОКА

1. Устная работа

а) Сформулируйте определение квадратного уравнения.

б) Какое уравнение называется приведенным квадратным уравнением?

в) 9х² – 14х + 5 = 0
х² – 7х + 10 = 0

Укажи коэффициенты a, b, c
Укажи коэффициенты p, q.

г) Не решая уравнения, попробуй подобрать его корни: х² – 2011х + 2010 = 0.

2. Двух сильных учеников приглашают работать у доски по карточкам.

1 карточка. Дано: х² + px + q = 0, D > 0, где х₁ и х₂ его корни.

Доказать: х₁ • х₂ = q

2 карточка. Дано: х² + px + q = 0, D > 0, где х₁ и х₂ его корни.

Доказать: х₁ + х₂ = p

3. Остальные ребята выполняют самостоятельную работу в четыре варианта.

• Реши уравнения
• Укажи значения p и q
• Укажи корни х₁ и х₂
• Найди произведение корней х₁ • х₂
• Найди сумму корней: х₁ + х₂

4. Результаты исследования заполняются в таблицу.

5. Вопрос:

– Какова зависимость корней х₁ и х₂ приведенного квадратного уравнения и его коэффициентов p и q?

6. Вывод:

х₁ • х₂ = q
х₁ + х₂ = – p

Докажем, что таким свойством обладает любое приведенное квадратное уравнение, имеющее корни. И поможет нам в этом теорема Виета.

7. Сообщаются тема урока и цели урока

8. Формулируется теорема Виета

Если х₁ и х₂ корни приведенного квадратного уравнения

х² + px + q = 0, то х₁ • х₂ = q, а х₁ + х₂ = – p.

9. Доказательство теоремы проводят ученики, которые работали по индивидуальным карточкам у доски.

Дано: х² + px + q = 0, D > 0, где х₁ и х₂  его корни.

Доказать:

х₁ • х₂ = q
х₁ + х₂ = – p

Доказательство:

10. Вывод записываем в тетрадь

х2 + px + q = 0
aх2 + bx + c = 0

11. Выполнить закрепление теоремы Виета

I. Выполнить устно

Найдите произведение и сумму корней приведенного квадратного уравнения:

1. х² + 41х – 371 = 0
2. y² – 37х + 27 = 0
3. х² – 210х = 0
4. y² – 19 = 0
5. 2х² – 9х – 10 = 0
6. 5y² + 12х + 7 = 0
7. 3y² – 10 = 0

II. Выполнить письменно

х² + px + q = 0.

Составить приведенное квадратное уравнение, если х₁ и х₂ корни уравнения:

а) х₁ • х₂ = – 28
х₁ + х₂ = 2

б) х₁ = 6, х₂ = – 3

х₁ • х₂ =
х₁ + х₂ =

в) х₁ = 2, х₂ = – 5

Решение проверить, используя обратную связь.

III. Выполнить устно:

Не решая уравнения, определите знаки корней в уравнениях:

1. х² – 5х + 14 = 0
2. х² + 5х + 14 = 0
3. х² + 5х – 14 = 0
4. х² – 5х – 14 = 0

12. Рассмотрим теорему, обратную теореме Виета.

Если х₁ и х₂ таковы, что

х₁ • х₂ = q
х₁ + х₂ = – p

то х₁ и х₂ являются корнями уравнения х² + px + q = 0.

Доказательство теоремы, обратной теореме Виета, прочитать дома.

13. Выполнить закрепление теоремы, обратной теореме Виета

I. Выполнить устно.

Подберите корни уравнения по теореме, обратной теореме Виета.

1. х² – 17х – 18 = 0
2. х² + 17х – 18 = 0
3. х² + 11х + 18 = 0
4. х² + 7х – 18 = 0
5. х² + 9х + 18 = 0

II. Выполнить самостоятельно.

1. Подбором найти корни уравнения:

• х² – 13х + 36 = 0
• х² + 15х + 36 = 0
• х² – 16х – 36 = 0

2. Составить квадратное уравнение, если

х₁ = – 2, х₂ = 7
х₁ = – 3, х₂ = – 9

Решение проверить, используя обратную связь. Самопроверка, оценивается « + » или « – ».

5 + , оценка 5
4 + , оценка 4
3 + , оценка 3
2 + , незачет.

14. Исторические сведения. Сообщение делает ученик.

15. Итого урока

– Сформулируйте теорему Виета.
– Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.
– В каких случаях применяют указанные теоремы?

• Для нахождения корней квадратного уравнения, если корни существуют.
• Для определения знаков корней квадратного уравнения, если корни существуют.
• Для проверки решения квадратного уравнения, зная его корни.
• Для составления приведенного квадратного уравнения, если заданы корни.

16. Домашняя работа

№ 575 (a, в, д, е), № 577, № 586. Отвечать на контрольные вопросы 4, 5 (стр. 125).

Доказательство теоремы, обратной теореме Виета, прочитать дома.