Построение и преобразование графиков квадратичной функции

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Цели урока:

  • Образовательные:
    • экспериментальным путем получить алгоритмы построения графиков функций вида:  у = а(х – т)2,  у = ах2 + n, у = а(х – т)2 + n, если известен график функции y = ах2;
    • научиться применять полученные алгоритмы к построению графиков квадратичной функции.
  • Развивающие:
    • способствовать  индивидуализации и дифференциации обучения с помощью применения информационно-коммуникационных технологий на уроках;
    • развивать у учащихся логическое мышление, внимание; формировать потребность в приобретении знаний.
  • Воспитательные:
    • воспитывать навыки самоконтроля, привычки к рефлексии;
    • добиваться изменения роли ученика в учебном процессе от пассивного   наблюдателя до активного исследователя.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Тема нашего урока: «Построение и преобразование графиков квадратичной функции» и мы попытаемся экспериментальным путем получить алгоритм для построения графиков квадратичных функций вида  у = а(х – т)2, у = ах2 + n, у = а(х – т)2 + n, используя график функции y = ах2. Для этого мы воспользуемся помощью компьютера, а конкретно,  программой Excel. Затем закрепим полученные знания с использованием электронных тестов.

2. Актуализация знаний

  1. Как называется график функции y = ах2? Как направлены ветви параболы?
  2. Назовите направление ветвей и вершины следующих парабол: y = 2х2;  y = – 0,5х2.
  3. Укажите промежутки возрастания и убывания функции y = – 2х2.
  4. При каких значениях аргумента функция y = – 2х2 принимает:
    • положительные значения;
    • отрицательные значения?
  5. Сравните значения выражений:
    • х2 и х2 + 3 при х = 1; х = 0;
    • х2 и х2 – 3 при х = – 3; х = 5.

3. Изучение нового материала

Вы знаете свойства и график функции y = ах2, можете назвать координаты вершины параболы, ось симметрии, указать направление ветвей. А что можно сказать о графиках функций вида  у = а(х – т)2, у = ах2 + n, у = а(х – т)2 + n? Как вы думаете, что представляют собой графики этих функций? На эти вопросы вы найдете ответы сегодня на уроке при помощи работы с офисным приложением Excel.

Задание 1

Построить графики функций у = 2х2 + 3, y = – x2 – 3, пользуясь программой Excel и сделать вывод, в результате каких преобразований график функции у = ах2 + n получается из графика функции у = ах2 (Приложение 1)

Учащиеся формулируют вывод: графиком функции у = ах2 + n является парабола, которую можно получить из графика функции у = ах2 с помощью параллельного переноса вдоль оси у на n единиц вверх, если n > 0, или на – n единиц вниз, если n < 0 (слайд 6)

Задание 2

Построить графики функций у = (х – 5)2, y = – (x+ 5)2, пользуясь программой Excel и сделать вывод, в результате каких преобразований график функции у = а(х – т)2 получается из графика функции у = ах2 (Приложение 1)

Вывод, сделанный учащимися: Графиком функции у = а(х – т)2 является парабола, которую можно получить из графика функции у = ах2 с помощью параллельного переноса вдоль оси х на т единиц вправо, если т > 0, или на – т единиц влево, если т < 0 (слайд 10)

Задание 3

Построить графики функций y = – (x+ 2)2 + 4, y = 2(x+ 3)2 – 4, пользуясь программой Excel и сделать вывод, в результате каких преобразований график функции у = а(х – т)2 + n получается из графика функции у = ах2 (Приложение 1)

Вывод:

Графиком функции у = а(х – т)2 + n является парабола, которую можно получить из графика функции у = ах2 с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси х на т единиц вправо, если  т > 0, или на – т единиц влево, если т < 0, и сдвига вдоль оси у на nединиц вверх, если n > 0, или на – n единиц вниз, если n < 0 (слайд 13)

Итак, мы получили алгоритмы для построения графиков квадратичных функций. Как вы считаете, будут ли полезны эти алгоритмы в нашей работе, облегчат ли они нам работу?
Обобщим понятие квадратичной функции (слайд 16)
Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида у = ах2 + вх + с, где х – независимая переменная, а, в, и с – некоторые числа, причем а =/= 0. Графиком функции у = ах2 +  вх+ с является парабола, вершина которой есть точка (т; n), где т = , n = у(т) (слайд 17)
Осью симметрии параболы служит прямая х = т, параллельная оси у.
При а > 0 ветви параболы направлены вверх, а при а < 0 – вниз (слайд 18)

Задание 4

Построить график функции у = x2 – 6x+ 12, используя формулы нахождения координат вершины и оси симметрии параболы.
Получим (3; 3) – координаты вершины, х = 3 – ось симметрии параболы (слайд 20)
А сейчас рассмотрим еще одно свойство квадратичной функции: ограниченность сверху и ограниченность снизу.
Функция называется ограниченной сверху, если существует прямая, параллельная оси х, такая, что вся парабола лежит ниже этой прямой.
Функция называется ограниченной снизу, если существует прямая, параллельная оси х, такая, что вся парабола лежит выше этой прямой.

Задание 5

Определить, является ли  функции у = x2 – 6x + 12 ограниченной сверху или снизу (слайд 19)

Задание 6

Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = x2 – 6x + 12 на отрезке [2; 5]. Для этого строим график функции у = x2 – 6x + 12 и выделяем его часть  на отрезке [2; 5]. По графику отмечаем, что унаим = 3 (достигается при  х = 3), а  унаиб = 7 (достигается при  х = 5) (слайд 20)

4. Первичное закрепление полученных знаний

Задание 7

С помощью полученных выводов постройте графики следующих функций в тетради и опишите их свойства:

  • область определения,
  • множество значений,
  • направление ветвей,
  • координаты вершины параболы,
  • ось симметрии,
  • промежутки возрастания и убывания,
  • ограниченность,
  • наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [1; 3].
  1. у = (3х– 2)2;
  2. у = – х2 + 4;
  3. у =( х – 1)2 + 2;
  4. у = – 2х2 + 8х – 5.

5. Проверка усвоения знаний

Сейчас вам предстоит выполнить тест на компьютере, результаты которого покажут, насколько вы усвоили материал сегодняшнего урока и определят задачи следующих уроков (Приложение 2)

6. Итог урока

  • проводится анализ работ учащихся;
  • отмечаются лучшие работы;
  • организуется самооценка учениками своей деятельности;
  • фиксируется степень соответствия поставленной цели и результатов деятельности;
  • намечаются цели последующей деятельности;
  • комментируется домашнее задание.

7. Домашнее задание

Построить графики функций и описать их свойства: y = 2x2 + 4;   y = 2(x + 3)2 – 5;  y = (x – 6)2;  y = – 3x2 – 6x + 1.