Уравнения

Уравнение – равенство с переменной или переменными. При одних значениях переменной или переменных это равенство становится верным числовым равенством, а при других значениях – неверным. Те значения переменной или переменных, при которых уравнение обращается в верное равенство, называют корнями уравнения. Решить уравнение – это значит найти его корни.

Как найти неизвестный компонент.

• Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
• Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность.
• Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
• Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.
• Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.
• Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Линейное уравнение с одной переменной.

Определение: уравнение вида ax=b, где x – переменная, a и b – некоторые числа называется линейным уравнением с одной переменной. Линейное уравнение может иметь:

• 1 корень, если a≠0
  6x=8
  x=

• бесконечно много корней, при a=0 и b=0
  3(x+2)+x=6+4x
  3x+6+x=6+4x
  0x=0
  x – любое число

• не имеет корней, при a=0 и b≠0
  2x+5=2(x+6)
  2x+5=2x+12
  0x=7

Квадратные уравнения.

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax²+bx+c=0, где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем a≠0

Дробные рациональные уравнения.

Определение: рациональное уравнение, в котором левая и правая часть является дробным выражением, называют дробным.

 , P(x) и Q(x) – некоторые многочлены

Пример:

Ответ: х=-1.

Иррациональные уравнения.

Иррациональные уравнения.

Определение: уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня называется иррациональным.

Способы решения:

1. возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень;
2. введение новых переменных

При возведении обеих частей иррационального уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании этого метода необходимо провести проверку.

Показательные уравнения.

Определение: уравнение, содержащее переменную в показателе степени называется показательным.

Способы решения:

1. Уравнения вида a^x=aⁿ

 

2. Вынесение общего множителя

3. Уравнения, приводимые к квадратным.

Ответ: х₁=0; х₂=2

4. Деление обеих частей на a^x.

Логарифмические уравнения.

Определение: уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма называется логарифмическим.Необходима область определения (в особо сложных случаях - проверка).

Способы решения:

I. Уравнения, решаемые с помощью определения логарифма.

log₂(3-x)=0

II. Уравнения первой степени относительно логарифма, решаемые потенцированием.

log₂(3-x)+log₂(1-x)=3

III. Уравнения, приводимые к квадратным.

lg²x-lgx-2=0

IV. Уравнения, вида a^x=b

9^x=0,7

V. Уравнения, содержащие неизвестное и в основании и в показателе степени

                               

VI. Переход к другому основанию.

lo₂x+log₄x+log₂x=11

Тригонометрические уравнения.

I. sinx=a, cosx=a, tgx=a.

1. sinx=a, где |а|≤1 x=(-1)^k arcsin a +πk, где k € Z

Частные случаи:

а) sinx=0 при х=πk, где k € Z

б) sinx=1 при х=0,5π+2πk, где k € Z Примеры:

в) sinx= -1 при х= -0,5π+2πk, где k € Z

2. cosx=a, |а|≤1 x=±arccos a +2πk, где k € Z

Частные случаи:

а) cosx=0 при х=0,5π+πk, где k € Z

б) cosx=1 при х=2πk, где k € Z

в) cosx= -1 при х= π+2πk, где k € Z

3.tgx=a x=arctg a +πk, где k € Z

Частные случаи:

а) tgx=0 при х=πk, где k € Z

б) tgx=1 при х=0,25π+πk, где k € Z

в) tgx= -1 при х= -0,25π+πk, где k € Z

4.ctgx=a x=arcctg a +πk, где k € Z

Частные случаи:

а) ctgx=0 при х=0,5π+πk, где k € Z

б) ctgx=1 при х=0,25π+πk, где k € Z

в) ctgx= -1 при х=0,75π+πk, где k € Z

Примеры:

II. Разложение на множители методом группировки.

а) sin⁴x-cos⁴x=0,5

б) sin³x-cos³x=cosx-sinx

III. Применение формул преобразования произведения в сумму и суммы в произведение.

а) cos6x+cos2x=0

б) sin3x+sin7x=2sin5x

в) sinx-sin3x=sin4x-sin2x

г) sin3x cosx=sin5x cos3x

IV. Уравнения, приводимые к квадратным.

а) 4sin²x+4sinx-3=0

б) 2cos²x-7cosx=2sin²x

V. Однородные уравнения первой и второй степени.

а) однородные уравнения первой степени

asin x + bcos x=0 /cos²x

sinx cosx – 2cos²x=0

б) однородные уравнения второй степени

a sin² x + b sin x cos x + c cos²x=0 /cos²x

22cos²x+8sinxcosx=7

VI. Уравнения со скрытыми выражениями

VII. Уравнения на применение формул понижения порядка

а) cos²4x+sin²3x=1

б) cos²(45°+x)=cos²(45°-x)+ cosx

VIII. Уравнения на применение формул двойного аргумента.

а) cos²x sin²x= -0,5

б) sin4x=2cos²x-1

IX. Уравнения с тангенсами и котангенсами.

tgx+2ctgx=3

Презентация.