Цели игры:
- Развивать познавательный интерес к изучению математики.
- Показать практическое приложение математики.
Подготовка к игре:
1. Подобрать литературу.
2. Предложить учащимся подобрать высказывания о
математике. [Приложение 1]
3. Подобрать портреты писателей: Жюль Верна,
Джонатана Свифта, А.С.Пушкина, Л.Н.Толстова,
Н.В.Гоголя. [Приложение 2]
4. Создать презентацию к занятию.
План
1. Вступление.
2. Герои Жюля Верна.
3. Геометрия Гулливера
4. Ошибка Джека Лондона.
5. Башня Гоголя.
6. Холм Пушкина.
7. Домашнее задание: задача Льва
Толстого.
8. Заключение.
1. Вступление
«В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии»
Н.Е.Жуковский
Математика известна с древних времён. Если
вспомнить такие великие государства прошлого
как Древний Рим, Древняя Греция, Османская
империя в Турции, то можно заметить, что все
архитектурные и художественные шедевры
создавались с использованием математики.
Знания математики требовались не только при
строительстве, но и при создании литературно –
художественных произведений. Не даром А.С.Пушкин
говорил: «Вдохновение нужно в геометрии не
меньше, чем в поэзии».
Грамотное использование математических фактов
делает художественное произведение достоверным
и реальным.
Герои Жуля Верна
2.1. Известный роман Жюля Верна «Таинственный остров» содержит не только интересный, захватывающий сюжет, но и достаточно много математических рассуждений.
В этом романе картинно описан один из способов измерения высоких предметов.
– Сегодня нам надо измерить высоту площадки
Дальнего Вида, – сказал инженер.
– Вам понадобится для этого инструмент? –
спросил Герберт.
– Нет, не понадобится. Мы будем действовать
несколько иначе, обратившись к не менее простому
и точному способу.
Взяв прямой шест, футов 12 длиной, инженер измерил
его возможно точнее, сравнивая со своим ростом,
который был ему хорошо известен. Герберт же нёс
за ним отвес: просто камень, привязанный к концу
верёвки.
Не доходя футов 500 до гранитной стены,
поднимавшейся отвесно, инженер воткнул шест фута
на два в песок и, прочно укрепив его, поставил
вертикально с помощью отвеса.
Затем он отошёл от шеста на такое расстояние,
чтобы лёжа на песке, можно было на одной прямой
линии видеть и конец шеста, и край гребня. Эту
точку он тщательно пометил колышком.
– Тебе знакомы начатки геометрии? – спросил он
Герберта, поднимаясь с земли.
–
Да.
– Помнишь свойства подобных треугольников?
– Их сходные стороны пропорциональны.
– …Если мы измерим два расстояния: расстояние от
колышка до основания шеста и расстояние от
колышка до основания стены, то, зная высоту шеста,
сможем вычислить четвёртый, неизвестный член
пропорции, т. е. высоту стены.
Оба горизонтальных расстояния были измерены:
меньшее равнялось 15 футам, большее – 500 футам.
По окончании измерений инженер составил
следующую запись:
15 : 500 = 10 : х;
500 х 10 = 5000;
5000 : 15 = 333,3.
Значит, высота гранитной стены равнялась 333 футам.
2.2. Ещё один из героев Жюля Верна подсчитывал, какая часть его тела прошла более длинный путь за время кругосветных странствований – голова или ступни ног. Это очень поучительная геометрическая задача, если поставить вопрос определённым образом.
Задача.
Вообразите, что вы обошли земной шар по экватору. Насколько при этом верхушка вашей головы прошла более длинный путь, чем кончик вашей ноги?
Решение:
Ноги прошли путь 2
R, где R – радиус земного шара. Верхушка же
головы прошла при этом 2(R + 1,7), где 1,7 м – рост человека. Разность
путей равна
Итак, голова прошла путь на 10,7 м больше, чем
ноги.
Любопытно, что в окончательный ответ не входит
величина радиуса земного шара. Поэтому результат
получится одинаковый и на Земле, и на Юпитере, и
на самой маленькой планете.
2. Геометрия Гулливера
Автор «Путешествия Гулливера» Джонатан Свифт с большой осмотрительностью избежал опасности запутаться в геометрических отношениях. В стране лилипутов футу соответствовал дюйм, а в стране великанов, наоборот, дюйму – фут. Другими словами, у лилипутов все люди, все вещи, все произведения природы в 12 раз меньше нормальных, у великанов – во столько же раз больше. Эти, на первый взгляд, простые отношения сильно усложнялись, когда приходилось решать следующие вопросы:
- Во сколько раз Гулливер съедал за обедом больше, чем лилипут?
- Во сколько раз Гулливеру требовалось больше сукна на костюм, нежели лилипуту?
- Сколько весило яблоко в стране великанов?
Автор «Путешествия» справился с этими задачами
в большинстве случаев вполне успешно. Он
правильно рассчитал, что раз лилипут ростом
меньше Гулливера в 12 раз, то объём его тела меньше
в 12 х 12 х 12, т. е. в 1728 раз. Следовательно, для
насыщения тела Гулливера нужно в 1728 раз больше
пищи, чем для лилипута.
Правильно рассчитал Свифт и количество
материала на костюм Гулливеру. Поверхность его
тела больше, чем у лилипута, в 12 ? 12 = 144 раза; во
столько же раз нужно ему больше материала.
Надобность производить подобные расчёты
возникала у Свифта чуть не на каждой странице. И,
вообще говоря, он выполнял их правильно. Если у
А.С. Пушкина в «Евгении Онегине», как утверждает
поэт, «время рассчитано по календарю», то в
«Путешествиях» Свифта все размеры согласованы с
правилами геометрии. Лишь изредка надлежащий
масштаб не выдерживался, особенно при описании
страны великанов.
3. Ошибка Джека Лондона
Однако в литературных произведениях
математические рассуждения не всегда бывают
верными.
Роман Джека Лондона «Маленькая хозяйка большого
дома» даёт следующий материал для
геометрического расчёта:
«Посреди поля возвышался стальной шест, врытый
глубоко в землю. С верхушки шеста к краю поля
тянулся трос., прикреплённый к трактору. Механики
нажали рычаг – и мотор заработал.
Машина сама двинулась вперёд, описывая
окружность вокруг шеста, служившего его центром.
– Чтобы окончательно усовершенствовать машину,
– Грэхем, – вам остаётся превратить окружность,
которую она описывает, в квадрат.
– Да, на квадратном поле пропадает при такой
системе очень много земли.
Грэхем произвёл некоторые вычисления, затем
заметил:
– Теряем примерно три акра из каждых десяти.
– Не меньше».
Решение:
Расчёт неверен: теряется меньше, чем 0,3 всей
земли.
Пусть, а – сторона квадрата. Площадь
такого квадрата 
. Диаметр вписанного круга равен
также а, а его площадь 
.
Пропадающая часть квадратного участка
составляет:
Видно, что необработанная часть квадратного поля составляет не 30%, как полагали герои американского романиста, а только 22%.
Ошибки в математических рассуждениях допускали и русские писатели и поэты.
4. Башня Гоголя
Задача. Что увеличивается
быстрее: высота поднятия или дальность
горизонта?
Многие думают, что с возвышением наблюдателя
горизонт возрастает необычайно быстро. Так думал
и Н.В. Гоголь, писавший в статье «Об архитектуре
нашего времени» следующее:
«Башни огромные, колоссальные, необходимы в
городе…У нас обыкновенно ограничиваются
высотой, дающей возможность оглядеть один только
город, между тем как для столицы необходимо
видеть, по крайне мере на полтораста вёрст во все
стороны, и для этого, может быть, один только или
два этажа лишних, – и всё изменяется. Объём
кругозора по мере возвышения распространяется
необыкновенною прогрессией» (1 верста составляет
1,0668 км, 150 верст – 160 км)
Так ли в действительности?
Решение:
Рассмотрим формулу: 
,
где l – дальность горизонта, R – радиус земного шара (» 6400 км), h – возвышение глаза наблюдателя над земной поверхностью.
Из формулы видно, что дальность горизонта растёт медленнее, чем высота поднятия: она пропорциональна квадратному корню из высоты. Когда возвышение наблюдателя увеличивается в 100 раз, горизонт отодвигается всего только в 10 раз дальше.
Поэтому ошибочно утверждать, что «один только
или два этажа лишних, – и всё изменяется».
Что же касается идеи сооружения башни, с которой
можно было бы видеть, «по крайне мере, на
полтораста вёрст», т.е. на 160 км, то она совершенно
несбыточна. Н.В.Гоголь, конечно, не подозревал,
что такая башня должна иметь огромную высоту,
равную 2 км.
Это высота большой горы.
5. Холм Пушкина
Сходную ошибку делает и А.С.Пушкин, говоря в «Скупом рыцаре» о далёком горизонте, открывающемся с вершины «гордого холма»:
«И царь мог с высоты с весельем озирать
И дол, покрытый белыми шатрами,
И море, где бежали корабли…»
Даже полчища Атиллы не могли бы воздвигнуть холм выше 4,5 м.
Глаз наблюдателя, поместившегося на вершине
холма, возвышался бы над почвой на 4,5 + 1,5, т.е. на 6
м, и, следовательно, дальность горизонта равна
была бы 
.
Это всего на 4 км больше того, что можно видеть, стоя на ровной земле.
6. Задача Льва Толстого
Великий русский писатель Лев Николаевич
Толстой проявлял особый интерес к математике и
её преподаванию. Он много лет преподавал начала
математики в основанной им же знаменитой
Яснополянской школе, написал оригинальную
«Арифметику» и «Руководства для учителя».
Своим гостям Л.Н.Толстой нередко предлагал
интересные задачи.
Вот одна из таких задач.
«Косцы должны выкосить два луга. Начав косить с
утра большой луг, они после полудня разделились:
одна половина осталась на первом лугу и к вечеру
его докосила, а другая перешла косить на второй
луг площадью вдвое меньше первого. Сколько
косцов, если известно, что в течение следующего
дня оставшуюся часть работы выполнил один
косец?».
Есть математические рассуждения и в рассказе
Л.Н.Толстого «Много ли человеку земли нужно».
Прочитайте этот рассказ и найдите эти
рассуждения.
7. Заключение
Обзор литературы показал, что знания по
математике нужны не только математикам, но и
писателям и поэтам.
«Математика … выявляет порядок, симметрию и
определённость, а это – важнейшие виды
прекрасного». (Аристотель)
Литература:
- Глейзер Г.И. «История математики в школе, IV – VI классах», изд.Просвещение, М., 1981, с.240.
- Депман И.Я., Виленкин Н.Я. «За страницами учебника математики», изд.Просвещение, М., 1996, с.320.
- Перельман Я.И. «Занимательная геометрия», изд. технико – теоретической литературы, М., 1950, с.296.
- Детская энциклопедия, т. 11, «Язык и литература», изд. Педагогика, М., 1976, с.480.