Метод решения неравенств с одной переменной (Метод интервалов) основан на свойстве непрерывных функций.
1. Свойство:
Если на интервале (a; b) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак.
Пусть функция f непрерывна на интервале I и обращается в нуль в конечном числе точек этого интервала. По сформулированному выше свойству непрерывных функций этими точками I разбивается на интервалы, в каждом из которых непрерывная функция F сохраняет постоянный знак.
Чтобы определить этот знак, достаточно вычислить значение функции f в какой-либо одной точке из каждого такого интервала.
2. Стандартные предпосылки для решения неравенств.
Алгоритм решения неравенств методом интервалов1) При переходе через “0” – функция меняет знак;
2)
,
;
3)
,
;
4)
,
;
5) Стандартный вид
Универсальность метода интервалов заложена уже в его содержании. Находим область определения функции, затем отмечаем в этой области нули функции, которые разбивают область определения на несколько промежутков, внутри каждого из которых функция определена, непрерывна и сохраняет знак. Для определения знака функции на конкретном промежутке находим знак в любой (удобной) точке этого промежутка.
Иллюстрацию изменения знаков функции будем осуществлять с помощью координатной прямой.
Общий алгоритм:
1). Стандартный вид
(x-a)(x-b)(x+c) v 0
2). Вводим функцию
f(x)=(x-a)(x-b)(x+c)
D(f)3). Нули функции
f(x)=0;
;
;
;
Ответ.
Новизна:
Чтобы ускорить процедуру расстановки знаков функции на промежутках предлагаем приводить начальное неравенство к стандартному виду, тогда знак A функции ставим, начиная с правого крайнего промежутка.
Если множитель в четной степени, то знак функции слева и справа от данного нуля функции будет одинаковым. Поэтому, чтобы не менять алгоритм решения будем подрисовывать “ушко” и проставлять знаки так же справа налево, учитывая “ушко”.
Обозначения:
- нестандартный вид.
Пример 1. решить неравенство.
Далее решаем по алгоритму:
1) Вводим функцию:
f(x)=(x-2)(x-4)
D(f)=R2) Нули функции:
f(x)=0 x=2; x=4.
3)
Пример 2. решить неравенство.
Разделили левую и правую часть на выражение 
Далее решаем по алгоритму:
1) Вводим функцию:
F(x)=
D(f):R
2). Нули функции: x=3, x=7, x=-5.
Пример 3: решить неравенство.
Далее решаем по алгоритму:
1) Вводим функцию:F(x)=
, D(f):R
2) Нули функции:
Далее решаем по алгоритму:
1) Вводим функцию:
f(x)=
Нельзя сократить на выражение (х+5), т.к. оно может равняться нулю.
– общая степень (х+5) – четная.
Далее решаем по алгоритму:
1) Вводим функцию:
f(x)=
2) Нули функции:
х =1
Неравенство содержит арифметический квадратный корень в числителе.
Пример 6: решить неравенство.
;
Далее решаем по алгоритму:
1) Вводим функцию:
f(x)=
D(f):
2). Нули функции:
х=3, х=-3, х=5
Далее решаем по алгоритму:
Неравенство содержит арифметический квадратный корень в знаменателе.
Пример 8: решить неравенство.
Далее решаем по алгоритму:
1). Вводим функцию:
