I. Введение в теорию пределов.
§1. Действительные числа.
Множество всех рациональных и иррациональных чисел называют множеством действительных чисел. Абсолютной величиной действительного числа X называется неотрицательное число:
│X│= 
Справедливы следующие свойства абсолютных величин действительных чисел:
1. Для любого XєR (R– обозначение множества действительных чисел.
-│X│≤ X ≤ │X│
2. Для любых XєR и YєR
│X+Y│≤│X│+│Y│
3. │X-Y│≥│X│-│Y│
4. │XY│=│X││Y│
6. Неравенство │X│≤ Y эквивалентно двум неравенствам –Y ≤ X ≤ Y.
§2. Кванторы 
и
.
В дальнейшем во многих определениях и теоремах мы будем пользоваться
символами
и , которые называют
кванторами.
– квантор существования,
– квантор общности.
Например, запись xєX
: x ≥ 3 (1) читается так: “ Любой элемент х, принадлежащий
множеству Х, удовлетворяет неравенству х ≥ 3”.
Высказывание хєХ:
х ≠ 0 (2), читается так: “Существует элемент х, принадлежащий
множеству Х, отличный от 0.
Существует закон, связывающий эти кванторы со знаком отрицания. Например, отрицание высказывания (1) будет строиться следующим образом:
=
хєX :х < 3 (существует
хєX меньше 3)
Или отрицание (2):
=
хєХ: х = 0 (любой
хєХ равен 0).
§3. Ограниченность множеств.
Определение. Множество Х ограниченно сверху(называется ограниченным сверху), если существует такое число М, что для любого хєХ выполняется неравенство х ≤ М или с помощью кванторов записывается так:
§4. Предел последовательности.
Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие некоторое число xn чт, то множество x1,x2,...,xn,... называется числовой последовательностью и обозначается {xn}
Последовательность {xn}называется
ограниченной, если
и неограниченной, если
.
Определение. Число а называется пределом последовательности {xn}если
Последовательность, имеющая предел называется сходящейся. Последовательность не имеющая предел , называется расходящейся.
Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Теорема 2. Сходящаяся последовательность ограниченна.
Примеры:
Сформулировать на языке "ε – N" определение того, что число а не является пределом последовательности {xn}
Пользуясь правилом построения отрицания, получим:
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
Свойства сходящихся последовательностей.
§5. Понятие функции.
Говорят, что на множестве действительных чисел Х задана функция, если каждому
х
X по определенному
закону ставится в соответствии одно и только одно значение yY , где Х – множество определения функции, Y – множество значений функции и
обозначается y = f(x).
Функция y = f(x) называется монотонно возрастающей на Х, если
Функция y = f(x) называется строго возрастающей (строго убывающей) если
Пусть y = f(x) определена на множестве Х, а Y – множество ее значений. Тогда в
Х найдется такое значение x0 для которого y0
= f(x0) Если каждому y0Y ставится в
соответствие одно значение x0, для которого y0
= f(x0) то тем самым на
множестве Y определена функция x = f--1(y), которая называется
обратной по отношению к y = f(x).
Если функция y = f(x) строго монотонна, то обратная функция является строго монотонной.
Функция y = f(x) называется ограниченной на Х, если
и неограниченной, если
§6. Предел функции.
Определение. Точка a называется предельной точкой множества Х, если любая окрестность точки a содержит точки множества Х отличные от a.
Определение 1. (Коши)
Число А называется пределом функции y = f(x) в точке a (A= limx→af(x)), если
, то есть,
для любого ε большего
нуля, существует δ
,зависящая от ε ,
большая нуля, для любого х из множества определения функции f(x),
x ≠ a таких что, для х
принадлежащих δ –
окрестности точки а, следует , что f(x) принадлежит
ε – окрестности точки А.
Определение 2. (Гейне)
Число А называется пределом функции y = f(x) в
точке a (A= limx→af(x)),
если
то есть, если для
любой последовательности {xn} из множества Х, xn
≠ a сходящейся к a,
последовательность соответствующих значений функций {f(xn)} сходится к числу А.
Отметим, что в самой точке a функция y = f(x) может быть и не определена.
Составим отрицание определения по Коши:
Число А не является пределом функции y= f(x) в точке a (A= limx→af(x)), если
Односторонние пределы.
Число А1 называется пределом функции y = f(x) слева (левосторонний предел) в точке а :
A1= limx→a– 0f(x) = f(a – 0)
Число А2 называется пределом функции y = f(x) справа (правосторонний предел) в точке а :
A2= limx→a– 0f(x) = f(a + 0)
Для существования предела функции y = f(x) в точке a необходимо и достаточно, чтобы
f(a – 0) = f(a + 0).
Бесконечные пределы и пределы на бесконечности.
Арифметические свойства предела функции в точке.
Если функции f1(x) и f2(x) имеет точке х0 предел А1 и А2, то функции f1(x) + f2(x), f1(x) f2(x), f1(x) / f2(x) имеют пределы А1 + А2, А1А2, А1/ А2.
Примеры на вычисление пределов.
Умножим на
числитель и знаменатель первоначальной дроби (на сопряженное числителю).
Замечательные пределы.
§7. Непрерывность функции.
Пусть f(x) определена на Х и х0 – предельная точка Х.
Определение. Функция называется непрерывной в точке х0, если она определена в этой точке, существует предел функции в этой точке и предел равен значению функции в этой точке.
Определение. Функция называется непрерывной на множестве(интервале, сегменте и т.д.), если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Для непрерывности функции в точке х0 необходимо и достаточно , чтобы левосторонний предел функции в точке х0 был равен значению функции в точке х0 и был равен правостороннему пределу функции в точке х0: f(x0 + 0) = f(x0) = f(x0 - 0)
§8. Производная функции.
Определение. Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки х0.
Приращением функции в точке х0 называется функция аргумента
Определение . Производной функции y=f(x) в точке х0
называется предел
,
если этот предел существует и обозначается f'(x0) или
y'(x0)
Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Приведем таблицу производных элементарных функций:
Геометрический смысл производной.
f'(x0)
– есть угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке (x0, f(x0)).Уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке (x0, f(x0)) имеет вид:
y – f(x0) = f'(x0)(x – x0). (y = kx +b)
Основные правила дифференцирования.
Если С – постоянная (константа) , а функции u = u(x) и v =v(x) имеют производные, то :
Производная сложной функции.
Если функция u =g(x) имеет в точке х0 производную g'(x0) функция y = f(u) имеет в точке u0 = g(x0) производную f'(u0), то сложная функция y =f[g(x)]=F(x) имеет в точке х0 имеет производную и F'(x0) = f'(u0)g'(x0).
Примеры.
