Анализ тригонометрических функций с помощью электронных таблиц Excel

Разделы: Информатика

Электронные таблицы EXCEL можно использовать при изучении многих разделов физики, математики и других предметов. Одной из тем, является математическая тема: «Анализ тригонометрических функций». Данная работа будет посвящена использованию электронных таблиц EXCEL в анализе тригонометрических функций. В ней, используя знания и навыки работы с мастером функций и диаграмм Excel, будет проведен анализ тригонометрических функций с проведением расчетов по формулам и с построением графиков, используя ссылки.
Для анализа элементарных функций необходимо уметь решать следующие задачи:

  • определение возрастания или убывания функции на заданном интервале,
  • определение максимума (минимума) данной функции на заданном интервале,
  • определение четности данной функции на заданном интервале,
  • определение периодичности данной функции на заданном интервале,

            Каждая из этих задач может быть решена разным способом. В данной работе рассмотрен один из вариантов их решения.

ЗАДАЧА №1. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ВОЗРАСТАНИЕ.

Признаком возрастания или убывания заданной функции на заданном отрезке можно предложить результат действия функции EXCEL – ЗНАК(…) –, определяющей знак числа: =ЗНАК(f(x2) – f(x1)),
где
x1, x2 – значения концов заданного интервала,
f(x2) – последующее значение функции,
f(x1) – предыдущее значение функции.
При результате действия функции ЗНАК(…) равном 1 функция возрастает; а если результат равен (–1), то функция убывает на заданном отрезке.

ЗАДАЧА №2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ.

Исследования поведения любой функции Y=f(X) проводится в определенном интервале [A,B]. Для этого в EXCEL имеются соответствующие функции.
Для этого воспользуемся следующим алгоритмом:

  • выделить ячейку для результата,
  • задать соответствующую функцию в мастере функций,
  • замаркировать диапазон значений, для которых определяем максимальное или минимальное значение,
  • запустить на выполнение.

ЗАДАЧА №3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ЧЕТНОСТЬ И НЕЧЕТНОСТЬ.

Предлагается определение четности или нечетности данной функции в EXCEL проводится в два этапа:

  • проверка равенства модулей f(x) и f(–x) для всех значений аргумента,
  • определение четности или нечетности заданной функции.

Проверку равенства модулей можно проводить на основе следующей формулы: ABS(ABS(f(x)) – ABS( f(–x)))
Значение данной сумы для всех без исключения строк должно быть равно «0», в противном случае не может быть речи о четности или нечетности заданной функции.
Очевидно, что для четной или нечетной функции автосумма столбца значений данной функции равна «0».
Для определения четности заданной функции воспользуемся формулой:
ABS (f(x) – f(–x))
И определим для полученных по этой формуле значений автосумму. Если автосумма равна нулю, то заданная функция – четная, иначе – не четная.
Просматривая результаты расчетов, можно сделать вывод, что функция  Y=SIN(X) НЕЧЕТНАЯ.

ЗАДАЧА №4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ПЕРИОДИЧНОСТЬ.

Для полученных значений определяем для каждого значения аргумента значение формулы: =ABS(Sin(x) – Sin(x+Pi))

И для всех, полученных по данной формуле значений, определяем автосумму. Если автосумма равна нулю, то данная функция действительно имеет период равный 2*Pi.
Просматривая результаты расчетов, можно сделать вывод, что функция  Y=SIN(X) ПЕРИОДИЧЕСКАЯ, период этой функции T=2*PI .

Практические задания для выполнения в электронных таблицах

ЗАДАНИЕ N 1: "АНАЛИЗ ФУНКЦИИ Y=SIN(X) НА МАКСИМУМ, МИНИМУМ"

Фамилия             Класс

Написать на 1 листе, начиная в ячейке A1, А2 тему урока, A3 задание, в А4 фамилию, класс.
В пятой строке сделать надписи:Номер; Угол X; SIN(X).
С помощью автозаполнения с шестой строки ввести в столбец A номера точек (17) от 0 до 16, в столбец B значение углов X от –360 градусов до +360 через 45 градусов, по которым будут рассчитаны значения функции в этих точках и построен график функции Y=SIN(X).
В ячейке E24 сделать надпись: Конст. ПИ, в F24 ввести значение константы ПИ, выбрав его с помощью мастера функций из категории "Математические".
В столбце С посчитать значения функции Y=SIN(X) , задав относительные ссылки (B6, B7,..., B22) на значения угла в градусах для столбца В, и абсолютную  ссылку  $F$24  на  ячейку  F24,при  переводе значений углов из градусов в радианы.
Пример формулы расчета  в ячейке С6:  =SIN(B6*$F$24/180)
В ячейке B23 сделать надпись МАКС=, в C23 определить значение максимума для функции SIN(X) по столбцу С от  C6  до C22.
В ячейке B24 сделать надпись МИН=, в C24 определить значение минимума для функции SIN(X) по столбцу С от  C6  до C22.
Внизу    под    вычислениями    построить    точечный график функции Y=SIN(X)  по диапазону B6:C22.

А B C D E  
Номер               Nн– X  SIN(X)      
0 –360 2,4503E–16      
1 –315 0,707106781      
2 –270 1      
3 –225 0,707106781      
4 –180 –1,2251E–16      
5 –135 –0,70710678      
6 –90 –1      
7 –45 –0,70710678      
8 0 0      
9 45 0,707106781      
10 90 1      
11 135 0,707106781      
12 180 1,22515E–16      
13 225 –0,70710678      
14 270 –1      
15 315 –0,70710678      
16 360 –2,4503E–16      

МАКСИМУМ

  1      

МИНИМУМ

  –1   КОНС.PI 3,141593

ЗАДАНИЕ N 2: « АНАЛИЗ ФУНКЦИИ Y=SIN(X) НА ПЕРИОДИЧНОСТЬ».

Фамилия                            Класс

Скопировать с 1 листа на 2 лист,начиная с A1 тему урока, задание, фамилию,класс.В задании исправить МАКСИМУМ, МИНИМУМ на  ПЕРИОДИЧНОСТЬ
В пятой строке сделать надписи:
Номер; Угол X; SIN(X); SIN(X+2*ПИ); SIN(X)–SIN(X+2*ПИ) Скопировать с 1 листа на 2 лист значения, формулы, расчеты для диапазона A6:C24 c помощью команды "Специальная вставка",опция "ВСЕ". Удалить на листе 2 надписи и значения для расчета максимума и минимума в B23:C24.
В столбце D посчитать значения функции Y=SIN(X+2*ПИ), скопировав формулу из С6 в D6, и добавив в скобках к аргументу X значение +2*ПИ. Формула расчета в ячейке D6: =SIN(B6*$F$24/180+2*ПИ)
В столбце E посчитать значения разности по модулю двух функций SIN(X) и SIN(X+2*ПИ).   Формула расчета в ячейке E6: =ABS(C6–D6) .
В ячейке D23 сделать надпись:"Сумма разностей",в E23 сосчитать сумму разностей по столбцу E в диапазоне E6:E22.Формула =СУММ(E6:E22)
Внизу под вычислениями построить совместный точечный график функции Y=SIN(X) и график функции Y=SIN(X+2*ПИ) по диапазону B6:D22.

           X  SIN(X) Sin(X+2*ПИ) Sin(X)–Sin(X+2*ПИ)  
–360 2,4503E–16 4,90059E–16 2,4503E–16  
–315 0,707106781 0,707106781 7,77156E–16  
–270 1 1 0  
–225 0,707106781 0,707106781 4,44089E–16  
–180 –1,22515E–16 –3,67545E–16 2,4503E–16  
–135 –0,707106781 –0,707106781 7,77156E–16  
–90 –1 –1 0  
–45 –0,707106781 –0,707106781 1,11022E–16  
0 0 2,4503E–16 2,4503E–16  
45 0,707106781 0,707106781 2,22045E–16  
90 1 1 0  
135 0,707106781 0,707106781 1,11022E–16  
180 1,22515E–16 –1,22515E–16 2,4503E–16  
225 –0,707106781 –0,707106781 1,11022E–16  
270 –1 –1 0  
315 –0,707106781 –0,707106781 2,22045E–16  
360 –2,4503E–16 0 2,4503E–16  
    Сумма разностей 4,00071E–15  
      КОНС.PI 3,14159265

ЗАДАНИЕ N 3: «АНАЛИЗ ФУНКЦИИ Y=SIN(X) НА ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ».

Фамилия                            Класс

Скопировать с 1 листа на 3 лист,начиная с A1 тему урока, задание, фамилию,класс.В задании исправить МАКСИМУМ, МИНИМУМ на ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ.
В пятой строке сделать надписи:
Номер; Угол X; SIN(X); ЗНАК РАЗНОСТИ; ВОЗРАСТАНИЕ ИЛИ УБЫВАНИЕ
Скопировать с 1 листа на 3 лист значения,формулы,расчеты для диапазона A6:C24 c помощью команды "Специальная вставка",опция "ВСЕ". Удалить на листе 3 надписи и значения для расчета максимума и минимума в B23:C24.
В столбце D посчитать значения функции ЗНАК ,начиная со второй ячейке столбца функций D7, вычитая из  предыдущего  значения  функции последующее значение функции.Формула расчета в ячейке D7:=ЗНАК(C7–C6) Если значение разности>0,то результат  вычисления  1,  если  значение разности<0,то результат вычисления –1.
В столбце E написать слово возрастает,если результат вычисления 1, в соответствующей ячейки столбца D, иначе написать слово убывает, если результат вычисления –1 .
Внизу под вычислениями построить точечный график функции Y=SIN(X) и график функции ЗНАК по диапазону B6:D22.

N  X  SIN(X) знак разности    
0 –360 2,4503E–16      
1 –315 0,70710678 1 возрастает  
2 –270 1 1 экстремум  
3 –225 0,70710678 –1 убывает  
4 –180 –1,225E–16 –1 убывает  
5 –135 –0,7071068 –1 убывает  
6 –90 –1 –1 экстремум  
7 –45 –0,7071068 1 возрастает  
8 0 0 1 возрастает  
9 45 0,70710678 1 возрастает  
10 90 1 1 экстремум  
11 135 0,70710678 –1 убывает  
12 180 1,2251E–16 –1 убывает  
13 225 –0,7071068 –1 убывает  
14 270 –1 –1 экстремум  
15 315 –0,7071068 1 возрастает  
16 360 –2,45E–16 1 возрастает  
           
        КОНС.PI 3,141593

ЗАДАНИЕ N 4: «АНАЛИЗ ФУНКЦИИ Y=SIN(X) НА ЧЕТНОСТЬ».

Фамилия                            Класс

Скопировать с 1 листа на 3 лист,начиная с A1 тему урока, задание, фамилию,класс.В задании исправить МАКСИМУМ, МИНИМУМ на НА ЧЕТНОСТЬ
В пятой строке сделать надписи: Номер; Угол X; SIN(X); SIN(–X); ABS(SIN(X)–SIN(–X));ABS(SIN(X))–ABS(SIN(–X))
Скопировать с 1 листа на 3 лист значения,формулы,расчеты для диапазона A6:C24 c помощью команды "Специальная вставка",опция "ВСЕ". Удалить на листе 3 надписи и значения для расчета максимума и минимума в B23:C24.
В столбце D посчитать значения функции Y=SIN(–X), скопировав формулу из С6 в D6, и добавив в скобках к аргументу X ЗНАК – . Формула расчета в ячейке D6: =SIN(–B6*$F$24/180)
В столбце E посчитать значения функции Y=ABS(SIN(X)–SIN(–X)) , т.е. модуль разности функции Y=SIN(X) и функции Y=SIN(–X).
Формула расчета в ячейке E6:  =ABS(C6–D6) .
В столбце F посчитать значения функции Y=ABS(SIN(X))–ABS(SIN(–X)) т.е. разность модулей  функции  Y=SIN(X) и функции  Y=SIN(–X). Формула расчета в ячейке E6:  =ABS(C6)–ABS(D6) .
В ячейке С23 сделать надпись:"Контрольные суммы",в E23 сосчитать сумму по столбцу E в диапазоне E6:E22.Формула =СУММ(E6:E22), в F23 сосчитать сумму по столбцу F в диапазоне F6:F22.Формула =СУММ(F6:F22).
Внизу под вычислениями построить точечный график функции Y=SIN(X) и график функции Y=SIN(–X) по диапазону B6:D22.

N  X  SIN(X) SIN(–X) ABS(SIN(X)–SIN(–X)) ABS(SIN(X))– ABS(SIN(–X))
0 –360 2,4503E–16 –2,4503E–16   0
1 –315 0,70710678 –0,707106781 1,414213562 0
2 –270 1 –1 2 0
3 –225 0,70710678 –0,707106781 1,414213562 0
4 –180 –1,225E–16 1,22515E–16 2,4503E–16 0
5 –135 –0,7071068 0,707106781 1,414213562 0
6 –90 –1 1 2 0
7 –45 –0,7071068 0,707106781 1,414213562 0
8 0 0 0 0 0
9 45 0,70710678 –0,707106781 1,414213562 0
10 90 1 –1 2 0
11 135 0,70710678 –0,707106781 1,414213562 0
12 180 1,2251E–16 –1,22515E–16 2,4503E–16 0
13 225 –0,7071068 0,707106781 1,414213562 0
14 270 –1 1 2 0
15 315 –0,7071068 0,707106781 1,414213562 0
16 360 –2,45E–16 2,4503E–16 4,90059E–16 0
  Контрольные суммы     19,3137085 0
        КОНС.PI 3,141592654

Данная работа посвящена исследованию тригонометрических функций. Именно на примере функции SIN(X) продемонстрированы возможности электронных таблиц Excel для анализа функций. Было показано, как можно определить участки возрастания или убывания функции, как определить их максимальное и минимальное значения на заданном интервале аргумента, как можно определить периодичность функции, ее четность или нечетность.

В школе  был проведен открытый интегрированный урок: Информатика – Математика по теме: «Исследование тригонометрических функций с помощью электронных таблиц». На этом уроке участники каждой группы с помощью демонстрационной презентации рассказали о постановке своих задач, а в Excel показали, как они решаются.
Данная работа может использоваться в школах, как дополнительное пособие при изучении соответствующих разделов математики и информатики.