Цели урока:

• Образовательные: обобщить знания обучающихся о функциях, продолжить формирование навыков решения линейных, квадратных, функциональных уравнений различного вида, отрабатывать навыки решения поисково-исследовательских задач; развить навыки самостоятельной работы; реализовать дифференциальный подход в образовании с учетом индивидуальных способностей учащихся.
• Воспитательные: воспитывать положительное отношение  к  учению; воспитывать аккуратность в оформлении, формировать  элементы социально-личностной компетентности.
• Развивающие: развивать логическое мышление, прививать интерес  к исследовательской деятельности, развивать  творческие способности. 

Тип урока: исследовательский
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, документ-камера, презентации.
Ход урока
1. Организационный момент (2-3мин.)
Учитель предлагает учащимся  класса поделиться на четыре  группы,  затем сообщает, что на уроке  ученики будут  проводить небольшие исследования -  учиться решать  поисково-исследовательские задачи  по теме  «Функциональные уравнения».
2. Актуализация знаний (3-4мин.)
Повторение основных свойствэлементарных функций  и совершенствование  умений и навыков решения функциональных уравнений.
1)Укажите правильное соответствие, если функции  f(x) и q(x) взаимно обратные.

Таблица №1

Ответ:

3. Решение поисково-исследовательских задач (основной этап урока)
Учитель. Задания для исследования вы можете выбрать самостоятельно, учитывая особенности каждого задания, продумать и сформулировать условие более общей задачи (постановка проблемы.)

Предлагаются задания для исследования:

1. Решить уравнение 0.5f(q(x))+0.5q(f(x))=q(q(x)),  если функции  f(x)и q(x) взаимно обратные , найти решение более общей задачи.
2. Решить уравнение f(x)*f(q(x))=-f(q(x))*q(f(x)),  если функции  f(x) и q(x) взаимно обратные , найти решение более общей задачи.
3. При каких значениях параметра а  корни уравнения x(f(q(x)))2 -ax*q(f(x))=(-3a+9)*f(q(x)),  образуют арифметическую прогрессию, если  f(x)и q(x) взаимно обратные функции,  ?    Найти решение более общей задачи.
4. Решить уравнение f(f(f(x)))=0,  если f(x)- квадратичная функция а)f(x)=x^2+10x+20,  б) f(x)=x²+14x+42, в) f(x)=x²+40x+380, найти решение более общей задачи.
5. При каких значениях параметра k графики функций f(x) и  q(x)совпадают для всех x, если f(x) и q(x) взаимно обратные функции   ?

Мотивационная деятельность и постановка проблемы. Приложение 1
  Деятельность учителя.
Учитель рассказывает о пользе данного исследования (с позиции приобретения  новых знаний, методики, практики). 
Ставится  вопрос: «Какие трудности вы видите для решения задач  и как можно  сформулировать условие общей задачи»?
Если учащиеся  испытывают затруднения, то учитель  наводящими вопросами помогает формулировать условие общей задачи 
Деятельность учащихся I ,II , III и IV групп.
Слушают,   некоторые учащиеся отвечают на вопросы, совещаются, и выбирают задачудля исследования, анализируют условие этой задачи; формулируют общую задачу (ставят цели).

Сбор фактических материалов (решение задач). Приложение 2
Деятельность учителя.
Учитель дает время учащимся подумать, и определить методы и приемы решение  общей задачи.
При затруднении наводящими вопросами помогает определиться с этапами решения общей задачи.      
Просматривает решения общей задачи  и указывает на неточности, допущенные при оформлении.
После того,  как  все учащиеся решили общую задачу, учитель советует подумать:
а) Какую проблему для решения можно поставить?  (и попытаться решить ее, или определить методы и приемы решения).
б) В какой форме сделать сообщение о проделанной работе?
Деятельность учащихся I ,II, III и IV групп.
Учащиеся думают, советуются друг с другом (составляют план решения), затем решают, проверяют,  исправляют неточности  допущенные при решении, готовят сообщение о проделанной работе.

Отчет о проделанной работе и планы на продолжение исследования. Приложение 3
Один или несколько учащихся каждой группы  рассказывают и показывают (используя документ-камеру) о проделанной работе (начинать можно с любой группы,  у которой подготовлен отчет).
 Деятельность учителя.
Слушает,  еще раз проверяет решение общей задачи.
Формулирует  и озвучивает вопросы. Примерные вопросы каждой группе предлагаются заранее (выдаются карточки с вопросами и проецируются на экране).
Определяет число вопросов (учитывая ограниченность времени). Контролирует ответы по  качеству и по времени.   
Если были допущены недочеты,  слабая защита и не определились с этапами  дальнейшего исследования (для тех,  кто не согласен с отметкой «4») предлагается прейти на индивидуальную работу (работа на  дом), по желанию можно поменять задачу для индивидуального исследования. А также для тех, кто хочет получить дополнительную отметку «5», можно продолжить  работу   самостоятельно (консультация   учителя планируется вне урока).
Если учащиеся какой-то группы не успели рассказать (и показать),  о своей работе, то сдают     тетради на проверку.  
Оценивает деятельность учащихся каждой  группы.
Деятельность учащихся I ,II, III и IV групп.
Называют основные этапы решения, полученные результаты;
Отвечают на вопросы;
Дают оценку  деятельности своей группы;
Если определились с этапами дальнейшего исследования.
Делают предположения, (выдвигают гипотезу), указывают методы и приемы  проверки гипотезы (способы доказательства истинности свойств функций, формул и др.).
Деятельность учащихся  II,III,IV,I групп, (соответствующие   оппоненты).
Слушают, проверяют некоторые вычисления, формулируют вопросы;
Озвучивают вопросы (вопросы  можно задавать любому учащемуся из отвечающей группы); Слушают ответы.

Примерные вопросы  учителя  для  I группы

Примерные вопросы  учителя   для  II группы

Примерные вопросы учителя  для  III группы

Примерные вопросы учителя для IV группы

4. Итоги урока,  рефлексия.