Цель урока: Выработать у учащихся представление о практической значимости изучения геометрии, о выдающемся вкладе учёных математиков во внедрение теоретических разработок по теме "Правильные многоугольники" в жизнь людей. Исследовать возможность применения в жизни знаний о правильных многоугольниках.
Обучающая цель: Обобщить знания учащихся о правильных многоугольниках, способах их построения с помощью циркуля и линейки, о возможности построения правильных многоугольников, вписанных в окружность и описанных около окружности.
Развивающая цель: Совершенствовать вычислительные навыки, умения строить правильные многоугольники с помощью циркуля и линейки, развивать самостоятельность в приобретении знаний при проведении исследовательской работы.
Воспитательная цель: Воспитывать стремление к самостоятельной творческой деятельности; умение работать в группах по заданной теме; способность подчинять себя общим интересам.
Ход урока
1. Слово учителя геометрии.
Когда-то в построение правильных многоугольников вкладывали мистический смысл.
Так, пифагорейцы, последователи религиозно-философского учения, основанного Пифагором. и жившие в древней Греции (VI-IV вв. до н. э.), приняли в качестве знака своего союза звездчатый многоугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника.<Приложение 1, слайд 2>
Правила строгого геометрического построения некоторых правильных многоугольников изложены в книге "Начала" древнегреческого математика Евклида, жившего в III в. до н.э. Для выполнения этих построений Евклид предлагал пользоваться только линейкой и циркулем, который в то время был без шарнирного устройства соединения ножек (такое ограничение в инструментах было непреложным требованием античной математики).
Однако помимо чисто научных трудов, построение правильных многоугольников было неотъемлемой частью книг для строителей, ремесленников, художников. Умение изображать эти фигуры издавна требовалось и в архитектуре, и в ювелирном деле, и в изобразительном искусстве.
В египетских и вавилонских старинных памятниках встречаются правильные четырехугольники, шестиугольники и восьмиугольники в виде изображений на стенах и украшений, высеченных из камня.
Древнегреческие ученые стали проявлять большой интерес к правильным фигурам еще со времен Пифагора. Деление окружности на некоторое число равных частей для построения правильных многоугольников имело важное значение для пифагорейцев, которые утверждали, что числа лежат в основе всех явлений мира. Учение о правильных многоугольниках, начатое в школе Пифагора, продолженное и развитое в V-IV вв. до н. э., было систематизировано Евклидом и изложено в IV книге "Начал". Кроме построения правильного треугольника, четырехугольника, пятиугольника и шестиугольника, Евклид: решает и задачу построения правильного пятнадцатиугольника при помощи только циркуля и линейки. Эта фигура привлекала внимание древних, так как было замечено, что дуга угла наклонения эклиптики к экватору представляет собой всей окружности, т. е. стягивается стороной правильного пятнадцатиугольника.
Зная, как построить правильный n-угольник, легко можно построить правильный 2n- угольник. Долгое время математики тщетно искали способы построения правильного семиугольника, девятиугольника, одиннадцатиугольника и т. д., не зная даже, возможно ли вообще построение таких многоугольников с по мощью только циркуля и линейки. Эта проблема была решена лишь в конце ХVIII в. 19-летним К. Ф. Гауссом, великим немецким математиком,
После открытия Гаусса стало ясно, что, помимо ранее известных правильных многоугольников с 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 15; 16; 20; 24; 30; 32; 40; ... сторонами, можно построить с помощью циркуля и линейки правильные многоугольники с 17; 34; 68; 126; 252; 257; 65537: сторонами.
30 марта 1796 г. 214 лет назад Карл Гаусс догадался, как построить правильный 17-угольник.
<Приложение 1, слайды № 2-3>
С другой стороны, невозможно циркулем и линейкой построить правильные многоугольники со следующим числом сторон: 7; 9; 11; 13; 14;18; 19; 21; 22; 23; 25; 27; 28;
Еще в древности практиковалось для разных нужд приближенное построение любого правильного многоугольника: Так, например, Герон Александрийский находит приближенное значение стороны правильного девяти угольника.
Задача построения правильного n-угольника сводится к делению окружности на n равных частей. Один практический прием такого деления предложил французский математик Н. Бион.
2. Слово учителя черчения.
В "Десяти книгах о зодчестве" римского архитектора Витрувия (жившего примерно в 63 -14 гг. до н. э.) говорится, что городские стены должны иметь в плане вид правильного многоугольника, а башни крепости "следует делать круглыми или многоугольными, ибо четырехугольник скорее разрушается осадными орудиями".
Планировка городов очень интересовала Витрувия, который считал, что нужно спланировать улицы так, чтобы вдоль них не дули основные ветры. Предполагалось, что таких ветров восемь и что они дуют в определенных направлениях.
В эпоху Возрождения построение правильных многоугольников, и в частности пятиугольника, представляло не простую математическую игру, а являлось необходимой предпосылкой для построения крепостей.
Правильный шестиугольник явился предметом специального исследования великого немецкого астронома и математика Иоганна Кеплера (1571-1630), о котором он рассказывает в своей книге "Новогодний подарок, или о шестиугольных снежинках". Рассуждал о причинах того, почему снежинки имеют шестиугольную форму, он отмечает, в частности, следующее: "...плоскость можно покрыть без зазоров лишь следующими фигурами: равносторонними треугольниками, квадратами и правильными шестиугольниками. Среди этих фигур правильный шестиугольник покрывает наибольшую площадь"
0дним из наиболее известных ученых, занимавшихся геометрическими построениями, был великий немецкий художник и математик Альбрехт Дюрер (1471 -1528), который посвятил им значительную часть своей книги "Руководства...". Он предложил правила построения правильных многоугольников с 3. 4, 5... 16-ю сторонами. Методы деления окружности, предложенные Дюрером, не универсальны, в каждом конкретном случае используется индивидуальный прием.
Дюрер применял методы построения правильных многоугольников в художественной практике, например, при создании разного рода орнаментов и узоров для паркета. На броски таких узоров были сделаны им во время поездки в Нидерланды, где паркетные полы встречались во многих домах.
Дюрер составлял орнаменты из правильных многоугольников, которые соединены в кольца (кольца из шести равносторонних треугольников, четырех четырехугольников, трех или шести шестиугольников, четырнадцати семиугольников, четырех восьмиугольников).
3. Учитель геометрии.
А. Ребята, давайте обобщим все компоненты знаний о правильных многоугольниках.
1.Определение.
2.Формула суммы внутренних углов.
3.Определения вписанного и описанного многоугольников.
4.Формулы радиусов вписанной и описанной окружностей.
5.Формула площади правильного многоугольника.
Б. Сейчас вы заполните таблицу практического содержания, затем проверим результаты работы, используя проверочный слайд.
< Приложение 1, слайд 4>
Первая группа проводила изыскания по теме
"Построения циркулем и линейкой правильных
многоугольников". Были рассмотрены вопросы:
1.История построения в трудах великих учёных
Карла Гаусса и Пифагора.
2.Построение правильных многоугольников с чётным числом сторон и за рамками программы - правильных 5-ти и 7-ми угольников.
3.Составлена презентация по теме "Правильные многоугольники в мире людей".
Правильные многоугольники находят широкое применение при изготовлении технических деталей, например, болтов, гаек - это удобно. А при изготовлении паркетов, узоров и орнаментов это красиво.
Согласно теореме Гаусса - Ванцеля, правильный семиугольник невозможно построить с помощью циркуля и линейки, но можно построить с помощью циркуля и размеченной линейки то есть линейки, на которой можно делать отметки и с помощью которой можно проводить прямые, проходящие через какую-нибудь точку, причём отмеченные на линейке точки будут принадлежать данным линиям (прямым или окружностям).
Существует два звёздчатых семиугольника (гептаграммы): 7/2 и 7/3. Методы их построения аналогичны построению обычного семиугольника, только вершины нужно соединять через одну (7/2) или через две (7/3).
4. Применение.
В Великобритании используются две монеты в форме семиугольника: 50 пенсов и 20 пенсов. Строго говоря, форма монет - криволинейный семиугольник, образующий кривую постоянной ширины, чтобы монеты плавно проходили в автоматы.
Семиугольная звезда 7/2 являлась национальным символом Грузии и применялась, как элемент герба Грузии, в том числе и в советское время. В настоящее время не применяется.
Семиугольная звезда 7/3 является эмблемой компании A.P. Moller-Maersk Group.
К доске приглашаются:______________
Коллективная работа. Строим правильные 5-ти и 7-ми угольники.
<Приложение 1, слайд 5>
Самостоятельная работа на картах - слепышах.
5. Учитель геометрии.
Вторая группа проводила исследования по теме "Что такое паркеты из правильных многоугольников". Были рассмотрены вопросы:
1.Виды паркетов.
2.Теорема о построении паркета.
3. Практическая работа "Построение правильного 6-ти угольника и 3 угольника".
К доске приглашаются:______________________ <Приложение 1, слайд 6>
Определение. Правильным паркетом (мозаикой, архимедовым разбиением) называется разбиение плоскости на правильные многоугольники, такое что многоугольники примыкают друг к другу только по целой стороне и все вершины ("звёзды") паркета устроены одинаково, т.е. к каждой вершине сходятся одни и те же многоугольники в одном и том же порядке.
Существуют (с точностью до подобия) ровно 11 различных правильных паркетов.<Приложение 1, слайд 7>
Поговорим о пчелиных сотах. Почему пчёлы строят соты именно из правильных шестиугольников?<Приложение 1, слайд 8>
Проф. М.С. Полатоз, занимаясь строением пчелиных сот, отвечал на вопросы:
Где научились пчелы делить самым бережным образом одну большую площадь на несколько мелких частей?
Как они осознали устойчивость, преимущества шестиугольника перед равносторонним треугольником и квадратом.
Как должна пчелами применяться геометрия для того, чтобы не растратить попусту воск, используемый при закупорке открытого конца сотов, представляющих собой шестиугольную призму.
Вправе ли мы отождествлять принцип предельной экономии пчел с понятием "инстинкт", являясь свидетелями их удивительных действий в области архитектуры и знания геометрии? А может это Божественный Дар?
Оказывается, в каждой точке сходится не более трёх шестиугольников, а на построение уходит меньше воска. Поэтому, чтобы разбить поле на участки так, чтобы на ограждения ушло меньше материала, участкам надо придать форму правильных шестиугольников.
В математике число 6 является совершенным числом. Примеры : в Древней Греции на 6-м месте на пиру возлежал самый уважаемый и почётный гость; в Древнем Вавилоне круг делили на 6 частей; в Библии говорится, что мир создан за 6 дней. 6 - самое маленькое, самое первое совершенное число, не даром его исследовали Пифагор, Евклид, Ферма и Эйлер.
Показ слайдов, работ учащихся.<Приложение 1, слайд 9>
6. Учитель черчения.Третья группа работала по теме "Правильные многоугольники в архитектуре" по вопросам:
1.Где в архитектуре встречаются правильные многоугольники?
2.Построение правильных 8 угольников и 4 угольников.
3.Создание орнаментов и витражей.
К доске приглашаются:_____________ <Приложение 1, слайд 10>
Средневековые зодчие на несколько столетий опередили своих европейских коллег.
Это открытие, как и многие в современной науке, произошло совершенно случайно. В 2005 году аспирант Гарвардского университета Питер Лу приехал в качестве туриста в Узбекистан. Любуясь настенным декором мавзолея Абдуллахана в Бухаре, он усмотрел в нем аналог сложных геометрических построений, изучавшихся в университете. Причудливые формы узоров на орнаментах лишь подтверждали правильность его догадки. По возвращении домой он рассказал о своем открытии руководителю студенческой дипломной работы профессору Принстонского университета Паулу Стейнхардту.
Тщательное исследование структуры настенных росписей и орнамента средневековых мусульманских архитектурных памятников в Узбекистане, Афганистане, Иране, Ираке, Турции и Индии подтвердило правильность догадки Питера Лу и стало темой упомянутой сенсационной статьи.
Для того чтобы понять смысл открытия Питера Лу и Паула Стейнхардта, следует познакомиться с такими понятиями, как задача о паркетах, квазикристаллическая структура, "золотое" число и т.д.
.Показ слайдов и практическая работа. Собрать листы.<Приложение 1, слайды № 11-19>
Оценка процесса и результата работы класса по теме.
Оценки учащимся за практические работы и за особые успехи в исследовательской работе.
7. Рефлексия.
Ребята, пожалуйста, продолжите предложение, чтобы оценить уровень вашей удовлетворённости проведённой работы при подготовке и во время урока, Спасибо всем за активность, заинтересованность, самостоятельность и за работу в группах!
Меня заинтересовало то, что:.
Работа по теме помогла мне:..
<Приложение 1, слайд № 20>