Цели урока:
- Познакомиться с новыми областями науки.
- Продемонстрировать многогранность такой науки, как геометрия.
- Рассмотреть аксиомы геометрии Лобачевского
- Сделать сравнительный анализ геометрий Евклида и Лобачевского.
- Рассмотреть модели подтверждающие справедливость геометрии Лобачевского
Этапы урока:
1. Просмотр презентации "Краткая история развития геометрии"
2. Вступительное слово учителя. Вспомнить постулаты Евклида
В книге I представлены определения понятий, используемых нами на уроках геометрии в дальнейшем. Они носят интуитивный характер, поскольку определены в терминах физической реальности: "Точка есть то, что не имеет частей". "Линия же - длина без ширины". "Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению, к точкам на ней". "Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину" и т.д.
За этими определениями следуют пять постулатов: "Допустим:
- что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию;
- и что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой;
- и что из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг;
- и что все прямые углы равны между собой;
- и если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых".
Три первых постулата обеспечивают существование прямой и окружности. Пятый, так называемый постулат о параллельных - самый знаменитый. Он всегда интересовал математиков, которые пытались вывести его из четырех предыдущих или вообще отбросить. Происходило это до тех пор, когда в XIX в. обнаружилось, что можно построить другие, неевклидовы геометрии и что пятый постулат имеет право на существование.
Среди аксиом Евклида есть аксиома о параллельности прямых, а точнее пятый постулат о параллельных линиях: если две прямые образуют с третьей по одну ее сторону внутренние углы, сумма которых меньше развернутого угла, то такие прямые пересекаются при достаточном продолжении с одной стороны.
В современной формулировке аксиома фиксирует существование не более одной прямой, проходящей через данную точку вне данной прямой и параллельной этой данной прямой.
Сложность формулировки пятого постулата породила мысль о возможной зависимости его от других постулатов, и потому возникали попытки вывести его из остальных предпосылок геометрии.
3. Сообщение участников школьного научного общества.
1 ученик. "Формулировки аксиом Лобачевского. В чем их сходство и в чем различие с аксиомами Евклида".
Аксиоматика планиметрии Лобачевского отличается от аксиоматики планиметрии Евклида лишь одной аксиомой: аксиома параллельности заменяется ее отрицанием - аксиомой параллельности Лобачевского:
Найдутся такая прямая a и такая не лежащая на ней точка A, что через A проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие a.
Непротиворечивость системы аксиом доказывается представлением модели, в которой реализуются данные аксиомы.
Итак, Лобачевский сформулировал 5 постулатов, которые послужили созданию новой неевклидовой геометрии:
1. Через две точки можно провести одну и только одну прямую.
2. Прямая продолжается бесконечно.
3. Из любого центра можно провести окружность любым радиусом.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную.
2 ученик "Доказательство 5- того постулата".
Проведем доказательство:
Допустим, что пятый постулат неверен: через точку А, не принадлежащую прямой в , можно провести более чем одну прямую, которая не пересекается с прямой в.
1. Пусть прямые а' и а" не пересекаются с b. Тогда будем поворачивать прямую а' по часовой стрелке. В конечном итоге найдется такая прямая с', которая является предельным положением, до которого прямые не пересекают прямую b.
2. Отложим прямую с", симметричную с' относительно перпендикуляра АР, опущенного на b. Все будет аналогично.
3. Лобачевский называет эти прямые параллельными прямой b, причем с' параллельна прямой b вправо.
4. Остальные прямые, проходящие через точку А и не пересекающие прямую b, именуются расходящимися с прямой b.
Лобачевский доказывает, что две параллельные прямые неограниченно сближаются друг с другом в сторону параллельности, но в обратном направлении они неограниченно удаляются друг от друга.
3 ученик "Теорема о сумме углов треугольника".
Сначала мы вспомним классическое доказательство теоремы.
Затем, рассмотрим доказательство этой же теоремы в геометрии Н.И. Лобачевского.
Рассмотрим треугольник, в котором
Точка А - пересечение синей и зелёной прямой, точка В - синей и красной, точка С красной и зелёной. Равные полуокружности - синюю и красную - можно расположить таким образом, что между ними будет прямой угол. Зелёную часть окружности можно выбрать так, что углы А и С будут сколь угодно малы. Из этого следует, что сумма углов данного треугольника будет чуть больше 90 градусов, что меньше 180. Значит всё-таки можно построить треугольник, сумма углов которого больше или меньше 180 градусов, но остаётся вопрос: где это можно сделать? На плоскости, только на какой? Вам могло показаться странным то, что прямые на данном рисунке не прямые. А дело тут вот в чём: на обычной плоскости невозможно изобразить треугольник, сумма углов которого не равна 180 градусам, для этого нам нужна плоскость, имеющая определённую кривизну, к примеру, шар. А если на шаре мы проведём прямую, то она замкнётся, образовав тем самым окружность. Для доказательства данной теоремы мы взяли как бы "развёртку" этого шара и изобразили её на данном рисунке.
4. Рассказ учителя и просмотр презентации "Три модели геометрии Н.И. Лобачевского".
5. Итог урока.
Если геометрия Евклида является только частью геометрии Лобачевского, то выходит, что наш мир - не мир Евклида, как принято считать? Почему же мы не замечаем разницы?
В качестве примера можно привести тот факт, что видимый звездный свод - это не что иное, как предельная плоскость. Астрономам после признания достижений Лобачевского пришлось пересчитывать все расстояния между звездами, и ошибки достигали значительной величины.
Несмотря на все кажущиеся странности, геометрия Лобачевского является настоящей геометрией нашего мира, и Евклидова является только её составной частью. Но в пределах ежедневных измерений Евклидова геометрия дает ничтожно малые ошибки, и мы пользуемся именно ею.