Графики элементарных функций. Графический способ решения систем уравнений

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Тип: повторение и закрепление свойств графиков элементарных функций и уравнений; графический способ решения систем уравнений.

Цели:

  • систематизировать знания о графиках элементарных функций (линейной, прямой и обратной пропорциональностях, квадратичной, кубической);
  • научиться графически решать системы уравнений;
  • подготовка к новой форме экзамена по алгебре в виде тестирования;
  • развитие логического мышления;
  • тренировка работы с тестами.

Оборудование: таблица «Графики элементарных функций» у всех учеников, черновики, листы с заданиями из тестов мини-ЕГЭ (или задания представлены на интерактивной доске), циркуль.

Ход урока

I. Организационный момент.

Всем ученикам раздать таблицу «Графики элементарных функций».

рис.1

Учитель: Для изучения следующей темы «Графическое решение систем уравнений» нам необходимо вспомнить правила и особенности построения графиков изученных нами элементарных функций.

II. Повторение и обобщение знаний.

Учитель: Перечислите функции, которые мы изучали. (Линейная, прямая и обратная пропорциональность, квадратичная, кубическая, у = рис.2, у = ∣ x∣ ).

Итак, первая функция, с которой мы познакомились – это линейная функция.

Фронтальный опрос:

  1. Какая функция называется линейной? (Функция вида у = kх + b, где х – независимая переменная, k и b – некоторые числа).
  2. Что является графиком линейной функцией? (Графиком линейной функции является прямая).
  3. Как построить эту прямую? (Для построения достаточно найти координаты двух точек).
  4. А если k = 0, то как выглядит прямая? (Она параллельная оси абсцисс).
  5. Какая функция является частным случаем линейной функции? (Прямая пропорциональность).
  6. Какая функция называется прямой пропорциональностью? (Функция вида у = kх называется прямой пропорциональностью).
  7. Что является графиком прямой пропорциональности? (Прямая).
  8. Какова особенность этой прямой? (Эта прямая проходит через начало координат).
  9. Как расположена прямая на координатной плоскости в зависимости от коэффициента k? (При k > 0 прямая находится в Ι и ΙΙΙ координатных четвертях, при k < 0 прямая находится во ΙΙ и ΙV координатных четвертях).
  10. Коэффициент k называют угловым коэффициентом, почему? (При k>0 угол наклона прямой к положительной полуоси абсцисс острый, при k < 0  угол наклона тупой).
  11. Распространяется ли это свойство на линейную функцию? (Да).

III. Решение задач.

Важно при решении каждой задачи выделить все способы решения: стандартные, нестандартные, нерациональные – все, чтобы ученик любой степени подготовки мог выделить для себя подходящий способ.

№1. Дана функция у = −2х + 3. Какой из приведенных ниже графиков является графиком этой функции?

рис.3

Способы решения:

  1. Самостоятельно начертить график указанной функции, сверить с данными чертежами и выбрать подходящий.
  2. Провести рассуждение о зависимости угла наклона прямой к оси Ох и углового коэффициента.
  3. Подставить координат двух точек указанных графиков в уравнение данной прямой, выбрать подходящий график.

В остальных задачах также делать выводы обо всех способах решения.

№2. Соотнесите уравнение прямой с графиком этой прямой.

Ι. х + у = −2;   ΙΙ. х – у = −2; ΙΙΙ. х + у = 2;   ΙV. х – у = 2.

рис.4

№3. Определите формулу для функции, график которой изображен на рисунке.

1) у = −6х – 4             2) у = (2/3)х – 4  3) у = −6х + 4 4) у = − (2/3)х – 4

рис.5

№4. В одной из систем координат построены графики функций  у = −2х и у = 1. Определите по графику координаты точки их пересечения и найдите сумму этих координат.

рис.6

IV. Повторение и обобщение знаний.

Следующая функция, с которой мы познакомились – это обратная пропорциональность.

Фронтальный опрос:

  1. Какая функция называется обратной пропорциональностью? (Функция вида у = k/х)
  2. Что является ее графиком? (Гипербола, которая состоит из двух ветвей)
  3. На что влияет коэффициент k? (Если k > 0, то ветви расположены в Ι и ΙΙΙ координатных четвертях; если k < 0, то ветви расположены во ΙΙ и ΙV координатных четвертях).
  4. Как построить гиперболу? (Надо составить таблицу значений функции).

V. Решение задач.

№5. График какой из функций изображен на рисунке?

А. у = 3х2                    Б. у = 3/x                     В. у = 3х                     Г. у = 3√x

рис.7

№6. На рисунке изображен график функции у = (k/x) + b. Определите знаки коэффициентов k и b.

1) k > 0,  b > 0                 2) k > 0,  b < 0            3) k  < 0, b > 0            4) k < 0,  b < 0

рис.8

№7. На рисунке изображен график функции у = (k/x) + b. Определите знаки коэффициентов k и b.

1) k > 0,  b > 0                 2) k > 0,  b < 0            3) k  < 0, b > 0            4) k < 0,  b < 0.

рис.9

№8. Для какой гиперболы нет соответствующего рисунка?

рис.10

VI. Повторение и обобщение знаний.

Следующая функция, о которой мы вспомним, это квадратичная функция.

Фронтальный опрос:

  1. Какая функция называется квадратичной? (Функция вида у = ах2 + bх + с, где х – независимая переменная, а, b, с – коэффициенты, причем  а ≠ 0).
  2. Что является графиком квадратичной функции? (Графиком квадратичной функции является парабола).
  3. От чего зависит направление ветвей параболы? (При а > 0 ветви направлены вверх, при а < 0 ветви направлены вниз).
  4. Как вычислить координаты вершины параболы? (Координаты вершины (m, n), где m =− (b/2a)).
  5. Назовите уравнение оси симметрии. (Уравнение оси симметрии у = m).
  6. Что вы знаете о графиках функции у = ах2 + n, у = а(х – m)2? (График функции у = ах2 + n получается из графика функции у = х2 параллельным переносом вдоль оси ординат на n единиц вверх при n > 0 и вниз, если n < 0. График функции у = а(х – m)2 получается из графика функции у = х2 параллельным переносом вдоль оси абсцисс на m единиц вправо, если m < 0 и на m влево, если m > 0).

VII. Решение задач.

№9. График какой функции изображен на рисунке?

рис.11

А. у = (х + 2)2                         Б. у = −х2 −2               В. у = −(х + 2)2           Г. у = − (х – 2)2

№10. На рисунке изображен график функции у = 0,5х2 – 3х + 4. Используя график, решите неравенство 0,5х2 – 3х + 4 ≥ 0.

рис.12

№11. По графику квадратичной функции найдите промежутки ее убывания.

1) (0; 4)                       2) [−1; + ∞)                3) [2; + ∞)                   4) (− ∞; 2]

рис.13

№12. По графику квадратичной функции найдите все значения х, при которых у > 0.

1) (0; + ∞)                   2) (0; 4)                       3) (-1; 3)                     4) (1; + ∞)

рис.14

№13. Для какой параболы нет соответствующего рисунка?

Ι. у = х2 + 1         ΙΙ. у = (х + 1)2         ΙΙΙ. у = (х − 1)2               ΙV. У = 1 – х2

А. ΙΙ                Б. ΙΙ                             В. ΙΙΙ               Г. ΙV

рис.15

№14. С какой прямой график параболы у = −х2 + 4х – 3 не имеет общих точек?

А. у = −10                  Б. у = 1                       В. у = 0                       Г. у = х

рис.16

VIII. Повторение и обобщение знаний.

Учитель: Есть еще функции и уравнения фигур, с которыми мы знакомы, но встречались очень редко.

Фронтальный опрос:

  1. Какая функция называется кубической? (Функция вида у = ах3)
  2. Что является ее функцией? (Кубическая парабола).
  3. Где она может находиться в зависимости от коэффициента а? (Если а > 0, то график находится в 1 и 111 координатных четвертях, если а < 0, то график находится во 11 и 1V координатных четвертях).
  4. Как построить график функции у = рис.2? (Если k > 0, то кривая лежит в 1 координатной четверти, если k < 0, то кривая лежит в 3 координатной четверти; .для построения графика надо составить таблицу значений).
  5. Что является графиком функции у = ∣x∣? (Это кусочно-линейная функция, ее графиком является ломаная).
  6. Что вы помните  об уравнении окружности? (Уравнение окружности (х – а)2 + (у – b)2 = R2, где (а; b) – координаты центра окружности, R – радиус окружности).
  7. А если центр окружности лежит в начале координат, то как выглядит это уравнение? (х2 + у2= R2).

IX. Самостоятельная работа (тестирование).

Каждый ученик получает листок с заданием, на котором отвечает правильные ответы. По окончании ученики меняются листами, проверяют ответы друг друга, ставят оценку. На интерактивной доске показаны ответы, по которым сверяются ученики.

Ответы:

№1 – 1В, 2Б, 3Г, 4А. №2 – А4, Б1, В2, Г3. №3 – Iв, IIа, IIIб. №4 – Iб, IIа, IIIв. №5 – 13, 21, 34, 42.

Оценивание: за 5 верно выполненных заданий оценка «5», за 4 – «4», за 3 – «3».

№1. Установите соответствие между графиками функций и формулами.

рис.17

А. у = 3/x                     Б. у = х – 2                 В. у = (х – 2)2             Г. у = −х2

№2.  Установите соответствие между графиками функций и формулами.

А. у = 3/x                    Б. у = 3                       В. у = х2                      Г. у = √x

рис.18

№3. Для каждой функции, заданной формулой, укажите ее график (а, б, в).

Ι. у = (4/x) + 1                  ΙΙ. у = x2/4                   ΙΙΙ. у = (x/4) + 1

рис.19

№4. Для каждой функции, заданной формулой, укажите ее график.

1) у = −х2 + 2                     2) у = х – 2                        3) у = х2 – 2

рис.20

№5. Для каждой функции, заданной формулой, укажите ее график.

1) у = 2/x                 2) у = 2х                 3) у = 2 – х2            4) у = 2х + 2

рис.21

Подводятся итоги самостоятельной работы.

X. Новая тема.

Учитель: Следующая тема, которую мы будем изучать, это «Графическое решение систем уравнений». В чем заключается этот способ  решения систем уравнений? (Построить графики каждого уравнения системы; координаты точки пересечения графиков и есть решение систем уравнений).

  • Что является решением системы уравнений? (Координаты точки пересечения графиков уравнений системы).

XI. Решение задач.

Попробуем графически решить системы уравнений, используя уже готовые чертежи.

№15. На рисунке изображены графики функций у = х2 – 2х и у = −х. Используя графики,  решите систему уравнений рис.22

1) (0; 2)          2) (0; 1)           3) (0; 0), (1; −1)          4) (0; 0), (−1; 1)

рис.23

№16. На  рисунке изображены графики функций у = х3 и у = х. Используя графики, решите систему уравнений рис.24

1) −1; 0 и 1       2) (−1; −1), (0; 0),  (1; 1)        3) (−1; −1) и (1; 1)     4) (−1; 1), (0; 0) и (−1; 1)

рис.25

№17. Используя графики функций у = 12/x и  у = х – 1, решите систему уравнений рис.26

рис.27

№18. Для решений какой системы уравнений выполнен рисунок?

рис.28
рис.29

№19. На координатной плоскости построены графики уравнений ху = 2х – у + 1 и х + у = 1. Используя эти графики,  решите систему уравнений рис.30

1) (−2; 3), (0; 1);       2) (3; −2), (1; 0);       3) (−2; 3), (1; 0);      4) (3; −2), (0; 1).

рис.31

№20. Пользуясь рисунком, укажите систему уравнений, решением которой является пара х = 4, у = 0.

рис.32
рис.33

№21. На рисунке изображена окружность, заданная уравнением х2 + у2 = 4 и три прямые у = х, у = −1, у = −2. Укажите систему уравнений, которая имеет единственное решение.

рис.34
рис.35

№22. На рисунке изображена парабола у = 4 – х2 и прямые х – 2 = 0, х – 5 = 0, у + х = 1 и у = 2. Укажите систему уравнений, которая не имеет решений.

рис.36
рис.37

№23. Укажите рисунок, на котором приведена графическая иллюстрация решения системы уравнений рис.38

рис.39

№24. Для каждой системы уравнений укажите число ее решений. (Для ответа используйте графики; график уравнения х2 + у2 = 4 изображен на рисунке).

рис.40

а) нет решений;       б) одно решение;      в) два решения;         г) три решения.

рис.41

№25. При каком наименьшем натуральном значении с система рис.42 имеет три решения. (Можно дать это задание на дом).

Решение:

1 рисунок. Если с > 3, то система не имеет решений.

2 рисунок. Если с = 3, то система имеет одно решение.

3 рисунок. Если −3 < с < 3, то система имеет два решения.

4 рисунок. Если с = −3, то система имеет 3 решения.

5, 6, 7 рисунки. Если с < −3, то система имеет 2 или 4 решения или не имеет решений (выяснять конкретно значения не обязательно,  так как нам нужен случай, когда система имеет три решения). На рисунке 8 представлено все графическое представление данной системы.

рис.43
рис.44

XII. Итоги. Оценивание.

Итак, мы сегодня вспомнили свойства и особенности построения графиков элементарных функций, а также некоторых уравнений фигур. Попробовали применить эти знания для графического решения систем уравнений.

XIII. Домашнее задание.

XIV. Литература:

  1. «Алгебра–9. Итоговая аттестация», под редакцией Ф.Ф.Лысенко,  издательство «Легион», Ростов-на Дону, 2006 год.
  2. «Алгебра. Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе», Л.В.Кузнецова и другие, 2 издание, Москва, «Просвещение», 2007 год.
  3. «Алгебра–9. Тестовые технологии в итоговой аттестации выпускников школы», А.К. Дьячков, Е.А. Тюрина, В.М. Казак, И.И. Швиндт, Челябинск, инновационный центр «Рост», ООО «ЮжУралИнформ», 1, 2, 3 выпуски, 2004 г., 2005 г., 2006 г.
  4. «Математика. Экспериментальная экзаменационная работа. 9 класс», Л.Д. Лаппо, М.А. Попов, издательство «Экзамен», Москва, 2007 год.