Цели:
- Ввести понятие приведенного квадратного уравнения;
- “открыть” зависимость между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения;
- развивать интерес к математике, показав на примере жизни Виета, что математика может быть увлечением.
1. Проверка домашнего задания
№ 309(г) [1] х1=7, х2=
№ 311(г) [1] х1=2, х2=-1
№ 312 (г) [1] корней нет
2. Повторение изученного материала
У каждого на столе находится таблица. Найдите соответствие между левым и правым столбиками таблицы.
| Словесная формулировка | Буквенное выражение |
| 1. Квадратный трехчлен | А. ах2=0 |
| 2. Дискриминант | Б. ах2+с=0, с< 0 |
| 3. Неполное квадратное уравнение, имеющее один корень равный 0. | В. Д > 0 |
| 4. Неполное квадратное уравнение , один корень которого 0, а другой не равен 0. | Г. Д < 0 |
| 5. Не полное квадратное уравнение, корни которого равны по модулю, но противоположны по знаку. | Д. ах2+вх+с=0 |
| 6. Не полное квадратное уравнение, не имеющее действительных корней. | Е. Д=в2+4ас |
| 7. Общий вид квадратного уравнения. | Ж. х2+рх+q=0 |
| 8. Условие, при котором квадратное уравнение имеет два корня | З. ах2+вх+с |
| 9. Условие, при котором квадратное уравнение не имеет корней | И. ах2+с=0, с > 0 |
| 10. Условие, при котором квадратное уравнение имеет два равных корня | К. ах2+вх=0 |
| 11. Приведенное квадратное уравнение. | Л. Д = 0 |
Правильные ответы занесите в таблицу.
1-З; 2-Е; 3-А; 4-К; 5-Б; 6-И; 7-Д; 8-В; 9-Г; 10-Л; 11-Ж.
3. Закрепление изученного материала
Решите уравнения:
а) -5х2 + 8х -3=0;
Решение:
Д=64 – 4(-5)(-3) = 4,
х1 =
х2=
=
а + в + с =-5+8-3=0
б) 2 х2 +6х – 8 = 0;
Решение:
Д=36 – 4•2•(-8)= 100,
х1 =
=
х2=
а + в + с = 2+6-8=0
в) 2009 х2 +х – 2010 =0
Решение:
а + в + с = 2009+1 + (-2010) =0 , то х1 =1 х2 =
4. Расширение школьного курса
ах2+вх+с=0, если а+в+с=0, то х1=1 х2 =
Рассмотрим решение уравнений
а) 2х2 + 5х +3 = 0
Решение:
Д= 25 -24 =1 х1=
х2 =
а – в + с = 2-5+3=0
б) -4х2 -5х -1 =0
Решение:
Д =25 – 16 = 9 х1= – 1 х2=
а –в + с = -4-(-5) – 1=0
в) 1150х2 +1135х -15 = 0
Решение:
а – в+с = 1150-1135 +(-15) = 0 х1 = – 1 х2 =
ах2+вх+с=0, если а-в+с=0, то х1= – 1 х2 =
5. Новая тема
Проверим выполнение вами первого задания. С какими новыми понятиями вывстретились. 11 – ж, т. е.
Приведенное квадратное уравнение – х2+рх+q=0.
Тема нашего урока.
Заполним следующую таблицу.
Левый столбик сами в тетрадях и один ученик у
доски.
Решение уравнения ах2+вх+с=0
Правый столбик, более подготовленный ученик у
доски
Решение уравнения х2+ рх + q = 0, при а = 1, в =
р, с = q
Учитель (при необходимости) помогает, остальные в тетрадях.
6. Практическая часть
№ 321
Х2 – 6х + 8 = 0,
Д = 9 – 8 = 1,
х1 = 3 – 1 = 2
х2 = 3 + 1 = 4
Х2 + 6х + 8 = 0,
Д = 9 – 8 = 0,
х1 = -3 – 1 = -4
х2 = -3 + 1 = -2
Х2 + 20х + 51 = 0,
Д = 100 – 51 = 49
х1 = 10 – 7 = 3
х2 = 10 + 7 = 17
Х2 – 20х – 69 = 0,
Д = 100 – 69 = 31
х1 = 10 –
х2 = 10 +
По результатам наших вычислений заполним таблицу.
№ уравнения р х1+ х2 q х1 х2 1 2
3
4
-6 6
20
– 20
6 – 6
– 20
20
8 8
51
– 69
8 8
51
– 69
Сравним полученные результаты с
коэффициентами квадратных уравнений .
Какой вывод можно сделать?
7. Историческая справка
Впервые зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения установил знаменитый французский ученый Франсуа Виет (1540–1603).
Франсуа Виет был по профессии адвокатом и много лет работал советником короля. И хотя математика была его увлечением, или как говорят хобби, благодаря упорному труду он добился в ней больших результатов. Виет в 1591 г. ввел буквенное обозначения для неизвестных и коэффициентов уравнений. Что дало возможность записывать общими формулами корни и другие свойства уравнения.
Недостатком алгебры Виета было то, что он признавал только положительные числа. Чтобы избежать отрицательных решений, он заменял уравнения или искал искусственные приемы решения, что отнимало много времени, усложняло решение и часто приводило к ошибкам.
Много разных открытий сделал Виет, но сам он больше всего дорожил установлением зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, то есть той зависимостью, которая называется “теоремой Виета”.
Эту теорему мы будем рассматривать на следующем уроке.
8. Обобщение знаний
Вопросы:
- Какое уравнение называют приведенным квадратным уравнением?
- По какой формуле можно найти корни приведенного квадратного уравнения ?
- От чего зависит число корней приведенного квадратного уравнения?
- Что называют дискриминантом приведенного квадратного уравнения?
- Как связаны корни приведенного квадратного уравнения и его коэффициенты?
- Кто установил эту связь?
9. Домашняя работа
п. 4.5, №321(б,е) №322(а,г,ж,з)
Заполните таблицу.
Уравнение Корни Сумма корней Произведение корней Х2 – 8х + 7 = 0 1 и 7 8 7
Литература
С.М. Никольский и др., “Алгебра 8” учебник серии “МГУ-школе” – М.: Просвещение, 2007.