Математическая и физическая модели гармонических колебаний

Разделы: Математика, Физика

Цели урока:

  • повторить графики функций, описывающих гармонические колебания;
  • построение графиков по заданным уравнениям и с помощью цифровой лаборатории «Архимед»;
  • создание единой модели гармонических колебаний;
  • развитие интереса к предметам.

Оборудование:

  • Персональный компьютер;
  • Цифровая лаборатория «Архимед»;
  • Интерактивная доска Star Board с мультимедийным проектором;
  • Презентация «Преобразование тригонометрических функций» Приложение
  • Штатив, набор пружин различной жёсткости – на каждую парту.

Ход урока

I. Математическая часть урока.

1. Колебания – это реальный физический процесс. Одним из важных процессов такого рода являются гармонические колебания. Сегодня на уроке мы займемся созданием математической модели гармонических колебаний.

Алгебра занимается тем, что описывает реальные процессы на математическом языке в виде математических моделей, а затем уже имеет дело не с реальными процессами, а с этими моделями, используя различные правила, свойства, законы, выработанные в алгебре.

Мы изучили тему: ”Графики тригонометрических функций и их преобразования. А тригонометрические функции используются для описания колебательных процессов.

2. Презентация «Графики тригонометрических функций и их преобразования»

3. Выполнение заданий на интерактивной доске

Задание 1 : осуществить следующие преобразования над графиком функции

(словесная модель реального процесса)

  1. Сжать к оси ординат с коэффициентом 2 (у = sin 2х).
  2. Растянуть от оси абсцисс с коэффициентом 3 (у = 3sin 2х).
  3. Сдвиг вдоль оси абсцисс на π/6 влево (у = 3 sin (2х + π /3)).

Полученное уравнение у = 3 sin (2х +π /3) является уравнением (законом) гармонических колебаний (алгебраическая модель), а построенный график – графическая модель гармонических колебаний.

Задание 2: по заданной алгебраической модели гармонических колебаний y = 3/2 sin (x/2 – π/12) построить ее графическую модель. 

Задание 3 ( работа в тетрадях и на доске)

Построить график функции, заданной уравнением y = 0,3 sin(2πx)

х 0  π/6  π/3  π/2  2π/3  5π/6 π
у 0 0,5 0,9 1     0

Таким образом, осуществляя моделирование гармонических колебаний мы создали две математические модели гармонических колебаний: алгебраическую и графическую. Конечно, эти модели - “идеальные” (сглаженные ) модели гармонических колебаний. Колебания - более сложный процесс. Для построения более точной модели, необходимо учитывать больше параметров, влияющих на этот процесс.

4. Выполнение тестового задания:

II. Физическая часть урока.

Физика изучает реальные колебательные процессы. Для их описания, для расчёта параметров этих процессов надо уметь построить график колебательного движения, записать необходимые формулы. Иногда очень трудно рассчитать реальный процесс. Поэтому в физике создаются модели: материальная точка, идеальный газ, колебательная система.

  • Какие колебательные системы вы знаете? (математический и пружинный маятник).
  • Колебательная система совершает гармонические колебания под действием силы, пропорциональной смещению и направленной противоположно смещению. А что такое гармонические колебания?
  • Запишите уравнение гармонических колебаний.

Действительно ли реальные процессы описываются функцией sin или cos? (затухание)

Рассмотрим колебания груза на пружине и выясним, можно ли реальный процесс описать математическими формулами.

Сегодня мы будем работать с цифровой лабораторией «Архимед». Портативный компьютер Nova выполняет функцию регистратора данных. Датчик силы измеряет силу, действующую на пружину. С этим датчиком мы познакомились, измеряя силу трения. В ходе эксперимента исследуется движение груза на пружине, колеблющегося в вертикальном направлении.

Опыт 1 (с малой пружиной) – график колебаний отображается на доске StarBoard.

Проводим анализ результатов:

  1. Выделить участок графика и увеличить его.
  2. Операция «сглаживание» – для устранения случайных ошибок.
  3. Определение периода колебаний с помощью двух курсоров.

Т = 1,3с Fmax = 0,2 H

Запишем уравнение колебаний:

F = 0,2 sin (2πt /1,3) или F = 0,2 sin (1,5πt)

Фронтальный эксперимент – определение периода колебаний и расчёт жёсткости малой пружины. Число колебаний N = 10. Для проверки результата учащимся выданы листы с техническими характеристиками пружин.

Расчёт коэффициента жёсткости (на доске):

Дано: m = 100г = 0.1 кг; Т = 1.3 с. k -?

T = 2π√m/k
T2 = 4π2m/k
k = 4π2m/ T2
k = 2,4 H/м

Опыт 2 – выполняется аналогично с пружиной другой жёсткости.

Т = 0,995с = 1с; Fmax = 0,3 H

Уравнение колебаний: F = 0,3 sin (2πt)

Получено уравнение построенного на доске графика.

Вывод: Построенный на доске график функции F = 0,2 sin (2πt) оказался отображением реального физического процесса.

Почему сегодня на уроке мы исследуем колебания пружинного маятника? Причины две:

  1. Интересно его применение. Прибор для регистрации колебаний грунта, вызванных сейсмическими волнами – сейсмограф – состоит из груза, подвешенного на пружине и устройства для записи колебаний.
    Рессоры автомобиля совершают колебания по такому же закону, а жёсткость рессоры можно определить так же, как жёсткость этой пружины.
  2. Необычные применения математического маятника мы уже рассмотрели на одном из занятий элективного курса. Что можно определить с помощью обыкновенного шарика на нити:
    • объём стола;
    • свой рост;
    • массу бруска.

Некоторые ребята получили домашнее задание:

  • определить период колебаний деревянного подвесного моста;
  • определить свой рост.

Сообщения о выполнении домашнего задания.

III. Итоги урока.