Метод интервалов, который дается в школьном курсе математики 9-го класса, методически очень трудоемок, требует больших временных затрат и не всегда понятен учащимся. Нами сделана попытка подойти к решению этой проблемы с позиции выстраивания логической цепочки рассуждений, которая была бы понятна учащимся, и где используется накопленный опыт работы с функциями и их свойствами. На объяснение и первичное закрепление этого материала можно потратить 2 урока – 80 минут.
Тип урока – урок обобщения и систематизации знаний. На этом уроке выделяются наиболее общие и существенные понятия, законы и закономерности, устанавливаются причинно-следственные связи и отношения между важнейшими явлениями, процессами. Этот урок предполагает осмысление, обобщение отдельных фактов и формирование на основе этого алгоритма решения неравенств методом интервалов.
Тема урока: Решение неравенств методом интервалов.
Цель урока: Используя функционально-графический метод решения неравенств, опираясь на анализ, синтез, сравнение, обобщение, показать учащимся новый универсальный аналитический метод решения неравенств – метод интервалов.
Ход урока
I этап. Оргмомент, постановка цели урока и мотивация учебной деятельности учащихся.
| Деятельность учителя | Деятельность учащихся | Примечание |
| Учитель приветствует учащихся, проверяет по журналу посещаемость, записывает на доске дату, тему урока и называет цели урока. | Учащиеся приветствуют учителя, записывают дату, тему урока в тетради. | Этот этап урока занимает 1-2 минуты, он, как правило, нужен для того, чтобы учащиеся переключились с одного вида деятельности (отдыха) на другой, т.е. настроились на учебную деятельность. |
II этап. Воспроизведение и коррекция опорных знаний (устная работа).
| Деятельность учителя | Деятельность учащихся | Примечание |
| Учитель предлагает учащимся решить устно задания, которые записаны заранее на доске, или проецируются на экран через проектор. | Учащиеся решают следующие упражнения:
1. Укажите точки пересечения с осью Ox и осью Oy а) б) 2. Укажите область определения этих же функций 3. Решите неравенство а) б) в) г) д) е) |
Устные упражнения, как правило, подготавливают учащихся к дальнейшей работе. Здесь важно вспомнить методику выполнения предложенных заданий. Первое задание помогает учащимся строить графики функций по базовым точкам. Третье задание дает возможность учащимся вспомнить аналитический метод решения линейных неравенств, а также графический способ решения неравенств второй степени. Кроме этого повторяются способы нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант и по теореме Виета. На этот этап урока отводится 10-12 минут. После завершения устной работы активно работавшим учащимся за верно решенные задания можно поставить оценки. |
;
.
;
;
;
;
;
.III этап. Воспроизведение и коррекция опорных знаний в аналитической и графической форме.
а) Подготовительный этап к этапу обобщения и систематизации знаний.
| Деятельность учителя | Деятельность учащихся | Примечание | ||
| Учитель предлагает начертить таблицу для решения неравенств. Образец таблицы вычерчивается на доске. | Ученики чертят таблицу в тетради: Методы решения неравенств | На данном этапе работы необходимо обратить внимание учащихся на размерность колонок в таблице, т.к. графический способ, как правило, занимает много места, то вторая колонка будет самой большой. Время работы на данном этапе – 3 минуты. | ||
| Аналити-ческий метод | Графи-ческий метод | Новый метод | ||
б) Этап заполнения таблицы.
| Деятельность учителя | Деятельность учащихся | Примечание |
| Учитель предлагает учащимся класса решить неравенства аналитическим и графическим способом и записать эти решения в соответствующих колонках. | К доске вызываются желающие решить неравенства:
а) б) |
Решая неравенства, учащиеся обнаруживают что линейное неравенство легко решается как аналитически так и графически, а при решении неравенства второй степени учащиеся могут воспользоваться только графическим способом. При заполнении второй колонки (графический способ решения неравенства) необходимо в обязательном порядке учителю подчеркнуть нахождение области определения рассматриваемых функций. Это необходимо для того, чтобы подчеркнуть непрерывность функций на выделенных интервалах. Время работы на данном этапе – 12 минут. |
;
.в) Результаты работы на доске и в тетрадях по окончании III этапа урока видны по заполненной таблице:
| Методы решение неравенств | ||
| Аналитический метод | Графический метод | Новый метод |
а)  ;
|
 ;
|
|
б)  .
Аналитически решить не готовы |
 ;
|
|
;
.
;
; 
;
непрерывна на 
при 
;
;
при 
.
при 
IV этап. Обобщение и систематизация ранее известных приемов решения неравенств для их унифицирования и записи этого решения в форме алгоритма.
| Деятельность учителя | Деятельность учащихся | Примечание |
| Учитель делает акцент на пошаговом решении неравенств графическим способом и прописывает эти шаги в третьей колонке таблицы, здесь же обращается внимание учащихся на то, что при решении неравенств можно не чертить график функции, а отметить только нули функции. Промежутки знакопостоянства функции можно определить, подставив значения x взятые из интервалов, на которые нули функции разбили числовую прямую, в саму функцию. | Учащиеся пошагово записывают в третьей колонке записи с доски, которые делает учитель. | На этом этапе важно подчеркнуть, что пошаговое решение, описанное как для неравенства а), так и для неравенства б), практически одинаковые, а совокупность действий, правил для решения поставленных задач, можно назвать алгоритмом. Время работы на этом этапе – 10 минут. |
Результаты работы на IV этапе работы видны по заполненной таблице:
| Методы решение неравенств | ||
| Аналитический метод | Графический метод | Новый метод |
а)  ;
|
 ;
|
1)  ;
2) 3) 4) 5) - +
-3
6) Ответ:
|
б)  .
Аналитически решить не готовы |
 ;
|
1)  ;
2) 3) 4) 5) + - +
-2 6
6) Ответ: |
;
.
;
; 
;
непрерывна на 
при 
;
;
при 
;
x
; 
.
при 
;
;
при 
.
при 
;
;
при 
.
x
; 
;
при 
.
V этап. Усвоение ведущей идеи урока на основе систематизации знаний, полученных на предыдущих этапах урока.
| Деятельность учителя | Деятельность учащихся | Примечание |
| Учитель предлагает учащимся решить и оформить решение в пошаговом варианте следующие неравенства:
1) 2) 3) 4) |
Учащиеся решают предлагаемые неравенства новым методом. Каждое из предложенных неравенств прорешивается на доске кем-то из учеников. Однако в процессе решения учащиеся встречают нюансы, с которыми они могут и не справиться: при решении неравенства 2) дискриминант меньше нуля, при решении неравенства 3) дискриминант равен нулю, имеется один корень. | При возникновении трудностей в процессе решения необходима своевременная коррекция действий учащихся и комментарий учителя к решениям. Так, для решения второго неравенства необходимо отметить только один интервал, при решении третьего неравенства нужно отметить теоретически возможные интервалы между числами 2 и 2 (здесь работает обобщенный метод интервалов), при решении четвертого неравенства при нахождении области определения функции, где  , можно работать со всеми числами, кроме  . При оформлении решения предложенных неравенств с доски можно убрать первые две колонки, освободив тем самым место для решения этих неравенств. Необходимо оставить 3-ю колонку с записями решения неравенства а) и б) для того, чтобы учащиеся могли воспользоваться образцами решений. Время выполнения данного этапа на уроке – 12 минут. |
;
;
;
.Результаты работы учащихся и их записи в тетради при решении предложенных неравенств могут выглядеть следующим образом:
VI этап. Домашнее задание.
| Деятельность учителя | Деятельность учащихся | Примечание |
| Учитель записывает на доске четыре неравенства, которые предлагается дома решить методом интервалов. | Учащиеся записывают с доски следующие неравенства:
а) б) в) г) |
Учитель вправе подобрать и другие неравенства. Это зависит от уровня готовности выполнения домашнего задания учащимися класса. На выполнение данного этапа отводится 3 минуты. |
;
;
;
.VII этап. Подведение итогов урока.
| Деятельность учителя | Деятельность учащихся | Примечание |
| После записи домашнего задания учитель предлагает учащимся записать алгоритм решения неравенств методом интервалов. После записи алгоритма за работу на уроке учащимся выставляются в журнал оценки. | Учащиеся записывают алгоритм:
1) Исходное неравенство преобразуется к виду 2) Находится 3) Находятся нули функции, т.е. решается уравнение 4) Нули функции, точки не входящие в 5) С учетом 6) Записывается ответ. |
При рассмотрении данного метода у учащихся могут возникать вопросы, связанные с тем, какому из методов решения неравенств нужно отдать предпочтение. Необходимо подчеркнуть, что линейные неравенства нужно решать все же ранее известным аналитическим или графическим методом. Неравенства второй степени – как графически, так и методом интервалов. Более сложные неравенства, которые невозможно решить графически, необходимо решать методом интервалов. Метод интервалов – это такой метод, которым практически можно решать любые виды неравенств (линейные, квадратичные, дробно-рациональные, иррациональные, логарифмические, показательные, тригонометрические). В этом и заключается универсальность данного метода. Время работы на данном этапе – 5-7 минут. |
или (
;
;
), где 
- функция соответствующая левой части неравенства.
.
.
отмечаются на числовой прямой, которая разбивается этими точками на интервалы. Если учтена кратность нулей функции и точек не входящих в
, то отмечаются на числовой прямой все теоретически возможные интервалы. Проверяется знак функции в одном из интервалов, длина которого не равна нулю, и расставляются знаки в интервалах, чередуя их. Если кратность нулей функции и точек не входящих в область определения не учтена, то проверять знак
нужно в каждом интервале. 
или (
;
;
) записываются значения x, являющиеся решениями неравенства.VIII этап. Тренировочная самостоятельная работа.
| Деятельность учителя | Деятельность учащихся | Примечание |
| Учитель предлагает учащимся самостоятельно выполнить работу в двух вариантах | Учащиеся приступают к выполнению этой, работы придерживаясь в оформлении тех форм записи, которые они уже записали в тетради.
В-1 1) 2) 3) 4) В-2 1) 2) 3) 4) |
Тренировочная самостоятельная работа выполняется на листах и после звонка сдается учителю. Данный этап урока и время его продолжения будут зависеть от предыдущих этапов. Временные промежутки предыдущих этапов могут либо уменьшаться, либо увеличиваться в зависимости от тех затруднений, которые могут испытывать учащиеся. Так как учащимся предлагается тренировочная, а не контролирующая самостоятельная работа, то учитель может подойти к ученикам, просмотреть их решения и дать к ним комментарий с целью устранения ошибок. Все замечания учитель может фиксировать на листке с записями решений учащихся красным цветом. При проверке работ эти замечания влияют на выставление оценки. Учитель проверяет работы, анализирует ошибки, которые допустили учащиеся, оценивает их. За хорошо выполненные работы можно выставить оценки в журнал. Время выполнения самостоятельной работы – около 18 минут. Число заданий в работе может уменьшаться. |
;
;
;
.
;
;
;
.