Материалы Единого государственного экзамена, конкурсные задания в вузы содержат «нестандартные задачи», такие задачи, хотя и сформулированы с использованием только обычных понятий элементарной математики, тем не менее, не могут быть решены с помощью стандартных приемов. Методы решения таких задач не достаточно рассматриваются в профильном курсе обучения математики. Выходом из создавшегося положения может служить рассмотрение некоторых вопросов, которые довольно часто встречаются в заданиях экзаменов и которые у многих вызывают затруднения в рамках элективного курса для учащихся 10-11 класса «Практикум решения нестандартных задач по алгебре и началам анализа». Предлагаемый курс является предметно-ориентированным и предназначен для учащихся десятых классов физико-математического профиля, но может быть реализован и в других профилях. Объем аудиторных часов - 34 по одному часу в неделю. Основная цель такого курса - познакомить учащихся с некоторыми методами и приемами решения нестандартных задач по алгебре и началам анализа и сформировать умение применять полученные знания в «измененных» ситуациях, «нетипичных» задачах. Освоение курса предполагает дальнейшее развитие и формирование учебной, информационной, коммуникативной, ценностно-смысловой компетенций. Модульное построение курса обеспечивает системность и практическую направленность знаний и умений учеников, дает возможность учащимся, пропустившим по каким-либо причинам часть курса, спокойно подключиться к работе во втором или третьем модуле. Для наиболее успешного усвоения данного материала используются различные формы работы с учащимися: лекционно-семинарские занятия, групповые, индивидуальные формы работы, выполнение исследовательских и творческих работ. Продвижение, рост ученика фиксироваться через выполнение проверочных, тестовых работ. После изучения каждого модуля учащимися выполняется мини зачёт по теории и практике, либо в виде письменной работы, либо в виде собеседования. Изучение данного курса заканчивается проведением итоговой контрольной работой.
Основной тип занятий — практикум. Формой их проведения являются практические и лабораторные работы, на которых учащиеся самостоятельно упражняются в практическом применении усвоенных теоретических знаний и умений. Средством управления учебной деятельностью учащихся при проведении практикума служит инструкция, которая по определенным правилам последовательно устанавливает действия ученика
Содержание программы курса
Модуль 1. Алгебраические уравнения и неравенства (8ч)
Модуль 2. Задачи, содержащие неизвестное под знаком модуля. (4 ч)
Модуль 3. Методы решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции. (7 ч) Теоретические основы решения уравнений и неравенств, содержащих уравнений и неравенств, содержащих ОТФ. (1ч) Методы обращения к условию равенства обратных тригонометрических функций. (3ч) Метод обращения к условию равенства одноимённых обратных тригонометрических функций. Метод обращения к условию равенства разноимённых обратных тригонометрических функций. Равносильные переходы. Метод интервалов. Решение уравнений и неравенств данного типа, содержащих параметр. Особенности методов обращения к условию равенства обратных тригонометрических функций. Методы замены переменной. (2ч) Методы сведения некоторых уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции к алгебраическим и тригонометрическим уравнениям и неравенствам, сделав соответствующую замену переменной. Применение тождеств, содержащих обратные тригонометрические функции. Равносильныепереходы при решении уравнений содержащих более двух аркфункций. Метод тригонометрической подстановки Метод «геометрической подстановки». Особенности методов замены переменной. Графический метод решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции (1ч) Построение графиков ОТФ. Особенности графических методов решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции. Комбинирование различных способов решения.
Модуль 4. Методы решения уравнений и неравенств с использованием общих свойств функций. (5ч) Модуль 5. Задачи с параметром. (8ч) Итоговое занятие: творческая мастерская по составлению и решению нестандартных уравнений и неравенств или контрольная работа (1ч) Резерв (1ч)
Остановлюсь на одном из уроков-практикумов данного курса.
«Теоретические основы решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции» (модуль №3 первое занятие)
Цели и задачи урока: повторить основные определения, свойства, графики обратных тригонометрических функций; систематизировать, обобщить и проверить знания, умения учащихся, связанные с применением свойств обратных тригонометрических функций при решении простейших уравнений и неравенств. Способствовать развитию математического мышления учащихся.
Оборудование: персональные компьютеры. Презентации учителя к уроку.
На уроке сочетаются фронтальный, парный и индивидуальный виды работы учащихся. У каждого ученика на рабочем месте находиться листы индивидуальной работы, на которых он подписывает свою фамилию, строит график самоанализа своей деятельности на занятии, фиксирует свою работу с таблицами 1,2, выполняет задания теста. Работа учащихся состоит из четырех этапов.Для самоанализа своей деятельности на занятии ученики строят график. На вертикальной оси отмечают самооценку от 1 до 5, а по горизонтальной отмечают этапы урока. Получившаяся ломаная линия показываем им уровень их готовности к началу изучения данного модуля курса.
Ход урока
Организационный момент. После проверки готовности класса к уроку, учитель сообщает тему, цели и задачи занятия и отмечает, что урок проходит с использованием компьютерной презентации, выполненной в Power Point. Учитель проводит инструктирование учащихся по технике безопасности при работе в компьютерном классе.
Этап I. На первом занятии данного модуля курса фронтально учащиеся вспоминают основные определения, фиксируя внимание на особых свойствах:
функции y= аrcsinx , y= аrccosx определены для тех x, которые удовлетворяют условию |х|≤1; обратные тригонометрические функции ограничены; множества значений арксинуса и арккосинуса представляют собой замкнутые промежутки, арктангенса и арккотангенса – открытые.
Все указанные свойства фиксируются в таблице 1 на листах индивидуальной работы учащихся и на магнитной доске из заранее подготовленных карточек по мере обсуждения.
Таблица 1
Анализируя ее, ученики повторяют выделенные в ней черты сходства и различия в определениях обратных тригонометрических функций. Учитель обсуждает с учащимися следующие вопросы: Всякая ли функция имеет обратную функцию? Каким условиям должна удовлетворять обратимая функция? Имеют ли тригонометрические функции, рассматриваемые в их естественной области определения, обратные?
Далее учитель предлагает учащимся сравнить графики обратных тригонометрических функций, обращает их внимание на графическую интерпретацию особых свойств обратных тригонометрических функций.Составить аналогичную таблицу для арксеканса, арккосеканса учащиеся могут получить в качестве индивидуального домашнего задания.
Этап II. Задача этого этапа состоит в выделении четырех групп тождеств, обсуждение идеи их доказательств. В заданиях А-В-C приведены тождества, справедливые на их естественных областях определения. Утверждения D учитель предлагает зафиксировать в виде равносильностей на указанных множествах.
Таблица 2
Обсуждая доказательства этих тождеств, обращаем внимание на то, что главный инструмент для их обоснования - использование определений соответствующих функций. Обращаем особое внимание на логическую структуру утверждений из раздела D.
Этап III. Проводим входной контроль знаний и умений в форме теста, чтобы определить уровень готовности учащихся к дальнейшей работе Задания теста проверяют умения учащихся применять свойства обратных тригонометрических функций. При необходимости проводиться коррекция знаний путем дополнительного объяснения.
Задание №1.Тест с взаимопроверкой - работа в парах.
Задание №2. Найдите пары: “Функция – ее график”.
Критерии оценки:
- ”5”– 3 верных ответа,
- “4”– 2 ,
- “3”– 1 ,
- “2”– 0.
Задание №3. «Крестики-нолики»: вычеркните прямой линией три уравнения, которые не имеют решения. Укажите столбец или строку таблицы, где сумма корней уравнений наименьшая.
Ответы: 1.а) д) и); 2.строка Е.
Критерии оценки:
- ”5” верный и полный ответ ,
- “4”– ответ с ошибками на второй вопрос,
- “3”– ответ с ошибками на первый вопрос ,
- “2”– ответ с ошибками.
Задание №4. Выберите лишнее неравенство, ответ обоснуйте.
а) arccosx<0; б) arccosx >= π; в) arcsinx > π/2.
Ответ: Поскольку область значения арккосинуса - это отрезок [0;π], то неравенство 4, б) имеет единственное решениеx=-1; неравенства 4, а), в)не имеют решений.
Критерии оценки:
- ”5”– 3 верных и полных ответа,
- “4”– 3 верных ответа без обоснования,
- “3”–2 верных ответа,
- “2”– 1 верный ответ.
Задание №5. При каких значениях параметра а, уравнения arccosx=а иarcsinx=π/2 - а равносильны? Ответ: Если каждое из данных уравнений не имеет решений, то они равносильны. Каждое из уравнений не имеет решений, когда 
, то единственными решениями этих уравнений по определению будет число
cos а. Поэтому эти уравнения равносильны при любом а.
Критерии оценки:
- ”5” верный и полный ответ ,
- “4”– верный, но неполный ответ,
- “3”– ответ без обоснования ,
“2”– неверный ответ.
Листы индивидуальной работы с тестовыми заданиями сдаются учителю на проверку. Отмечаем, что свойства монотонности и ограниченности являются ключевыми при решении многих уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции. Подобные упражнения можно предложить для домашней работы.
Этап IV. Итог урока. Домашнее задание к следующему уроку включает: повторение определений, свойств арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса, выполнение упражнений на применение свойств, тождеств обратных тригонометрических функций. Провести классификацию ОТФ по группам свойств (свойства нечетности; свойства ОТФ, взятых от некоторых тригонометрических функций; свойства тригонометрических функций, взятых от ОТФ; основные соотношения, связанные с ОТФ). Зафиксировать свойства арксеканса, арккосеканса в таблице аналогичной таблице №1 учащиеся могут получить в качестве индивидуального домашнего задания. Задание поискового характера: найти ответ на вопрос, кто первый и когда ввел современные обозначения для обратных тригонометрических функций.