Открытый урок "Целая и дробная части числа"

Цель.

• Углубление знаний по теме “Функции”, расширение математических познаний.
• Развитие учебно-познавательной деятельности обучающихся.

Тип урока: изучение нового

План урока:

1. Организационный момент.
2. Вступительное слово учителя.
3. Актуализация опорных знаний.
4. Формирование нового.
5. Первичное закрепление.
6. Рефлексия.

Приложение 1, Приложение 2

Ход урока

1. Организационный момент. Приветствие и знакомство с классом

2. Вступительное слово

Учитель: В последние годы задачи на решение уравнений с целой частью числа постоянно встречаются на олимпиадах и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения. Такие задачи для нас являются непривычными и сложными. Но это можно преодолеть, если познакомиться с ними поближе.

3. Актуализация опорных знаний

Вы изучали различные функции, среди которых есть, например, линейная функция: у = ах + в.

Ребята, еще какие функции вы знаете?

Квадратичная функция, обратная пропорциональность, дробно-рациональная функция.

Все они имеют графики: прямая, парабола, гипербола, (указать).

Есть еще и другие функции, с которыми вы познакомитесь в старшей школе.

Известно, что многие реальные процессы описываются непрерывными функциями. Например, зависимость пути движения тела от времени его движения, зависимость массы тела от его объема и др.

Но есть некоторые процессы, например, процесс работы электрических часов. Известно, что минутная стрелка этих часов движется скачкообразно: в промежутке между последовательными целыми минутами она находится в покое, а затем мгновенно меняет свое положение. Поэтому если показания минутной стрелки рассматривать как функцию времени, то её график представляет собой ступенчатую фигурку.

4. Формирование нового

Сначала введем определения.

Определение 1. Целой частью [x] числа x называется наибольшее целое число, не превосходящее x.

Согласно определению

Определение 2. Дробной частью числа x называется такое число {x}, что [x] + {x}=x.

Согласно определению

Например,

Если х – целое число,

В математике, целая часть или антье это функция, определённая на множестве вещественных чисел со значениями в целых числах. Целая часть числа обычно обозначается через или и определяется как наибольшее целое число, не превосходящее :

.

Целая часть х всегда удовлетворяет неравенству:

.

Целая часть является полунепрерывной сферху функцией.

Нули функции.

Пересечение:

с осью Ox: следовательно

с осью Oy:

Функция пересекает ось координат, и в промежутке [0;1) лежит на оси абсцисс.

Примеры

Дробная часть числа – функция, определённая на вещественных числах х и равная разности между х и целой частью (антье) числа х.

Дробная часть числа х обычно обозначается знаком . Например:

Свойства функции

Область определения

Область значений .

Функция периодична с периодом  Т = 1.

Выясним теперь, что представляет собой графики функций

рис.1

рис.2

5. Первичное закрепление

Найдите: а)

Решите уравнение:

а) [ x ] = 3. Данное уравнение равносильно неравенству

3 х < 4

Ответ: [ 3 ; 4 )

б) { x } = 0,1 х = 0,1 + m , m Z

6. Рефлексия

1. Что особенно сегодня вам запомнилось?
2. Интересно ли было на уроке?
3. Ваше настроение?