“Рано или поздно всякая правильная
математическая идея находит применение
в том или ином деле”.
А.Н.Крылов.
Я предлагаю на ваше рассмотрение вопрос о сложных процентах, их практическом применении в различных областях и конкретных экономических ситуациях, возникающих при проведении финансовых операций. (Слайд 1).
Совокупность практических задач, возникающих при проведении финансовых операций, иногда называют математикой финансов. В основе большинства финансовых операций лежит древняя, известная уже несколько тысячелетий идея: давать деньги в “рост” или “под проценты”. Различные способы исчисления этого процента и определяют всё многообразие финансовой деятельности.
Существует масса различных историй, связанных с начислением процентов, которые встречаются и в ряде художественных произведений, и в исторических документах, и в преданиях.
(Слайд 2).Так, например, в новелле Оноре де Бальзака “Гобсек” господин Дервиль взял у ростовщика Гобсека сумму в 150000 франков сроком на 10 лет под 15% годовых.
Или в романе Михаила Евграфовича Салтыкова-Щедрина “Господа Головлёвы” сын Порфирия Владимировича Петя проиграл в карты казённые 3000 рублей и попросил у бабушки эту сумму взаймы. Он говорил: “ Я бы хороший процент дал. Пять процентов в месяц”.
Подсчитаем, сколько денег готов был вернуть Петя через год, согласись бабушка на его условия. Если вести счет по простым процентам, то он вернул бы 4800 рублей. Однако, не веря внуку, бабушка денег не дала!
(Слайд 3). Предположим теперь, что
некоторая сумма денег P, называемая начальным
вкладом, помещается в банк. Спрашивается, какова
будет сумма денег S, называемая будущей
стоимостью вклада, через n лет, если годовая
ставка составляет r %. Ответ зависит от того, с
каким процентом мы имеем дело. В случае простого
процента на начальный вклад ежегодно
начисляется одна и та же сумма 
, так что сумма вклада через n
лет составит
.
Если вкладчик не будет снимать деньги со счета,
то он оказывается в невыгодном положении: банк
будет пользоваться суммой накопленных процентов
весь следующий год бесплатно. С ростом n эта
“несправедливость” будет только возрастать.
В финансовых операциях простые проценты используются преимущественно при краткосрочных финансовых сделках. Если же при расчетах используются начисления “процентов на проценты” (в математике это называется сложными процентами), то операцию присоединения начисленных процентов к основному вкладу называют капитализацией процентов. Тогда после первого года будущая стоимость составит
;
после второго 
;
после третьего
и
так далее, через n лет
. Это и есть основная формула для
вычисления сложных процентов. Возвращаясь к
роману Салтыкова-Щедрина “Господа Головлёвы”,
получаем, что если вести расчет по сложным
процентам, то Петя должен был вернуть бабушке 5400
рублей.
(Слайд 4). Из исторических документов известно, что проценты существуют давно. В средние века в Европе очень расширилась торговля и, следовательно, особое внимание обращалось на умение вычислять проценты. Уже тогда приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов. Часто конторы и предприятия для облегчения расчетов разрабатывали особые таблицы вычисления процентов, которые держались в тайне и составляли коммерческий секрет. До нас дошли таблицы, составленные ещё вавилонянами. Эти таблицы позволяли быстро определить сумму процентных денег. Были известны проценты и в Индии. Индийские математики уже в V веке н. э. вычисляли проценты, применяя так называемое тройное правило, т.е. через пропорцию. В Древнем Риме были широко распространены денежные расчеты с процентами. Римский сенат даже установил максимально допустимый процент, взимавшийся с должника. Первые таблицы были опубликованы в 1584 году Симоном Стивеном – инженером из города Брюгге из Нидерландов. Он известен также и другими различными научными открытиями.
(Слайд 5). В настоящие время сложные проценты применяются очень широко: в финансовой деятельности, в статистике при подсчете народонаселения, в расчетах при радиоактивном распаде, при анализе численности популяций различных видов животных, растений, бактерий и в других случаях.
(Слайд 6). Формула сложных процентов связывает четыре величины: начальный вклад, будущую стоимость вклада, годовую процентную ставку и время в годах. Поэтому, зная три величины, всегда можно найти четвертую:
- Так, сколько лет вклад P должен пролежать в банке
под r % годовых, чтобы достигнуть величины S,
найдем по формуле
; - Операция же нахождения первоначального вклада
P, если известно, что через n лет он должен
составить сумму S, называется дисконтированием и
считается по формуле
; - Для определения процентной ставки r необходимо
воспользоваться формулой
В том же романе Салтыкова-Щедрина “Господа Головлёвы” есть такой эпизод: “Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если бы маменька, Арина Петровна, подаренные ему при рождении дедушкой на зубок 100 рублей ассигнациями, не присвоила себе, а положила бы в ломбард на имя малолетнего Порфирия. Выходит, однако, немного: всего 800 рублей ассигнациями”.
(Слайд 7). Предполагая, что Порфирию Владимировичу в момент подсчета было 53 года, установим, по сколько процентов в год платил ломбард. Производя расчеты, получаем, что 4%. Не очень много!
Сложные проценты обладают удивительным свойством: с возрастанием показателя степени n величина скобки достигает колоссальных размеров.
(Слайд 8). Чтобы показать это, рассмотрим знаменитое завещание Бенджамена Франклина (1706-1790г.), государственного деятеля, ученого, одного из авторов Декларации независимости США 1776 года, пионера исследования электричества. Он писал: “ Препоручаю 1000 фунтов стерлингов бостонским жителям. Если примут эту тысячу фунтов, то должны поручить её отборнейшим гражданам, а они будут давать их с процентами по 5% на 100 в год в заём молодым ремесленникам. Сумма эта через 100 лет возвысится до 131000 фунтов. Я желаю, чтобы тогда 100000 фунтов употреблены были на постройку общественных зданий, а остальные 31000 фунтов отданы были в проценты на 100 лет. По истечении второго столетия сумма возрастет до 4061000 фунтов, из коих 1061000 фунтов оставляю в распоряжение бостонских жителей, а 3000000-правлению Массачусетской общины. Далее не осмеливаюсь простирать своих видов”. Мы видим, что, завещав всего 1000 фунтов, Б. Франклин распоряжается миллионами.
Однако мы должны понимать, что нами, как всегда это бывает при применении математики к реалиям окружающего мира, рассмотрена только идеальная математическая модель, не учитывающая ни инфляции, ни денежных реформ, ни деноминации, ни многих других причин. Однако суть явления – рост величины вклада до колоссальных размеров при возрастании срока его хранения – эта модель показывает очень хорошо.
Во всех рассмотренных случаях предполагалось, что проценты начисляются ежегодно. Однако они могут относиться к кварталу, месяцу, и более коротким промежуткам времени (особенно в условиях инфляции и гиперинфляции).
Выясним, что означает фраза: “процентная ставка составляет 12% годовых ежеквартально”.
(Слайд 9). Это отнюдь не значит, что к
первоначальной сумме каждый квартал
прибавляется 12%. По общепринятой терминологии
это означает, что ежеквартально начисляется лишь
четвертая часть годовой ставки в 12%, т.е. 
, и
подразумевается, что процент сложный.
Подсчитаем, на сколько процентов увеличится
через год первоначальный вклад, равный 1, если
процентная ставка составляет 12% годовых
ежеквартально. Для этого воспользуемся основной
формулой, положив P=1, n=4 (число кварталов в году),
r=3% и получим что S=1,1255, т.е. r=12,55%. Это больше
обычных 12% годовых.
Предположим теперь, что процентная
ставка составляет 12% годовых ежемесячно. Тогда 
.
Воспользовавшись основной формулой сложных
процентов, получаем S=1,1268. Рост составляет 12,68%.
Далее можно ввести еженедельные, ежедневные и ежечасные начисления (последние вряд ли могут встретиться на практике). Тогда при еженедельном начислении будем иметь S=1,1273, т.е. r=12,73%; при ежедневном S=1,1275, т.е. r=12,75%; при ежечасном S=1,1275, т.е. r=12,75%.
Сведем полученные данные в таблицу. (Слайд 10).
Даже беглого взгляда достаточно, чтобы заметить: годовой процент начислений растёт с ростом n, и этот рост замедляется по мере увеличения n.
Какой же вклад наиболее выгодный?
Многообразие форм кредитования и инвестирования обуславливает необходимость нахождения критерия наиболее выгодного помещения капитала. Поясню: вам встречаются два рекламных объявления; один банк предлагает 15,5% ежеквартально, а другой – 15,2% ежемесячно. Что лучше? Для того чтобы ответить на этот и подобные вопросы, вводится вспомогательное понятие – эффективная процентная ставка.(Слайд 11). Давайте ответим на поставленный вопрос. В первом случае r=15,5% ежеквартально дает 16,4244% годовых; во втором случае, имея 15,2% ежемесячно, получаем 16,3049% годовых. Т.е. 15,5% ежеквартально даёт больший годовой доход, чем 15,2% ежемесячно. При этом в банк придётся ходить каждые четыре месяца.
(Слайд 12). Предположим, что вы хотите положить в банк 10000 рублей, чтобы на них “росли проценты”. В Сбербанке вам предложат 120% годовых, если вы кладете деньги на 3 месяца, 130% годовых, если кладете на 6 месяцев и 150% годовых при вкладе на год.
(Слайд 13). В банке “Триумф” вам предложат 200% годовых при вкладе на год. Через 5 лет это составит 2430000 рублей.
Может быть, какой-нибудь банк платит ещё больше? Да, сколько угодно! (Слайд 14). Вот банк “Мечта” предлагает вкладчикам 1000% годовых. Это означает, что через 5 лет сумма вклада должна составить 1610510000 рублей. Т.е., через 5 лет, положив 10000 рублей в банке “Мечта”, вы можете получить 1610510000 рублей и станете миллиардером!
Но имейте в виду, что, скорее всего однажды вы увидите на закрытых дверях банка объявление, из которого узнаете, что банк лопнул, а его вкладчики лишились вложенных в него сбережений. И вместе с “Мечтой” лопнула и ваша мечта стать миллиардером. Так что, выбирая между Сбербанком и банком “Триумф”, может быть, стоит отдать предпочтение Сбербанку, как более надежному.
(Слайд 15). Теперь стоит выбрать способ вложения денег: на 3 месяца, на 6 месяцев или на год. Казалось бы, лучше всего положить на год, что дает самый высокий процент годовых – 150%. Но давайте проверим:
(рублей), что в 2,8561 раз больше вложенных денег и
составляет 185,61% годовых, что лишь немного меньше,
чем в банке “Триумф”, но без всякого риска.
Правда, при этом нужно приходить в банк каждые
три месяца, чтобы забирать вклад и снова класть
его на три месяца;
Если положить на полгода из расчета 130% годовых, то через год доход составит:
рублей
– в 2,7225 раз больше вложенной суммы и даёт 172,25%
годовых;
И, наконец, если положить деньги на год под 150% годовых, то получишь 25000 рублей, что, конечно, меньше.
(Слайд16). Но есть ещё форма вклада под
100% годовых с правом снять вклад в любое время с
получением соответствующей доли прибыли. Вот,
наверное, золотая жила! Ведь мы убедились, что чем
чаще кладешь и берешь вклад, тем большей
оказывается прибыль. Если ходить в Сбербанк
каждый день, то каждый раз вклад будет
увеличиваться в 
, а за год увеличение составит 
раз. Наверное,
это очень большое число!
Должна вас разочаровать. Величина 
действительно
увеличивается с увеличением n, но не может
превзойти число e=2,71828….. и стремится к этому
числу с увеличением n. Число e называется числом
Эйлера (неперово число) и играет важную роль во
многих разделах математики.
Итак, бегая в банк даже каждый час, не удастся получить доход больший 172% годовых, если мы примем эту форму вложения денег.
В последнее время много говорят и пишут о финансовых операциях, которые называются финансовыми пирамидами. Такие операции проводят (или проводили) “МММ”, “Хопёр”, “Тибет”, “РДС”, “Телемаркет” и другие. Давайте разберёмся в механизме таких операций.
До появления в нашей стране подобных акционерных обществ, время от времени затевались “денежные игры по почте”. Скажем, вы получаете письмо, в котором говорится, что если выслать по указанным пяти адресам по одному рублю, а затем разослать ещё пятерым такие же письма, вычеркнув первый адрес и дописав свой последним, то через некоторое время вы получите уйму денег.
В письме обосновывается и способ быстрого обогащения. От первых пяти адресатов вы получаете 5 рублей, возвращая затраченные деньги. Они посылают письма уже в 25 адресов, откуда вы получаете 25 рублей. От игроков третьего круга вы получаете ещё 125 рублей, от игроков четвертого круга 625 рублей, а от участников пятого круга 3125 рублей. Итого 3900 рублей. В то время это были большие деньги.
Хотя желающих разбогатеть “по щучьему велению” немало, но в выигрыше оказывались только устроители такой игры. Дело в том, что число участников увеличивается в пять раз с каждым кругом. Если пятерка устроителей разошлет, скажем, 120 писем со своими адресами, то в первом круге участвуют 120 человек, во втором – 600, в третьем – 3000, в четвертом – 15000, в пятом – 75000, в шестом – 375000, в седьмом – 1875000, в восьмом – 937500, в девятом – 46875000, а в десятом – 234375000 – все население страны. Так что участник, включившийся в игру в восьмом или девятом круге, уже не получает ничего.
Итак, с этой игрой все ясно – первые получают деньги за счет последующих, а тем, в конце концов, не от кого будет их получать. Перейдем теперь к акционерным компаниям, которые обещают богатство за счет быстрого повышения курса своих акций.
Здесь вроде бы все в ажуре. Акционеры и хозяева компаний получают прибыль “из воздуха”. Действительно, месяц назад вы купили акцию за 10000 рублей, а сейчас можете ее продать за 15000 рублей, правда и купить ее можно лишь за 17000 рублей, но ведь через месяц их можно продать уже за 20000 рублей. И компания имеет прибыль, покупая акцию за 15000 рублей и тут же продавая за 17000 рублей. Все довольны.
Но вот стоимость акции превысила 100000 рублей и уже не всякий может её купить, как это случилось с “МММ”. Количество сдающих акции стало превышать количество покупающих, и прибыль в компанию перестала поступать. Тут-то эта компания лопается, поскольку, даже если все полученные ранее деньги тратились лишь на выкуп акций, то оставшихся не хватит для оплаты акций всем акционерам по последнему курсу. А ведь огромные деньги были уплачены за рекламу! А реклама необходима, чтобы привлечь, как можно больше, простаков в ряды акционеров.