Использование сведений из истории науки, как средство повышения интереса учащихся к изучению математики

Щелкунова Инна Владимировна

1.Элементы истории математики – эффективное средство возбуждения интереса у учащихся к предмету

Кто хочет ограничиться настоящим,
без знания прошлого, тот никогда
его не поймет…

Лейбниц

Значение влияния интереса к предмету на усвоение программного материала общеизвестно, поэтому создание интереса к изученному разделу, теме, уроку является одной из непременных первостепенных задач учителя. Опытный учитель никогда не начнет изложение новой темы, не говоря уже о новом разделе математики, без надлежащей вводной части, возбуждающей интерес и внимание учащихся. Я считаю, что такой вводной частью может быть 3-5минутный увлекательный рассказ, связанный с историей математики.

Необходимо заметить, что ученые-методисты давно пришли к выводу: элементы истории математики, которые являются эффективным средством возбуждения интереса у учащихся к предмету, является одним из средств патриотического воспитания учащихся.

Действительно, ознакомление учащихся с жизнью и творчеством отечественных ученых, показ их стремления возвеличить науку родной страны имеют огромное воспитательное значение в формировании у школьников чувства патриотизма, понятия дома, преданности Родине. Например, при изучении четных и нечетных чисел в 6-м классе, говоря о роли знаменитых математиков, таких, как Евклид, Эратосфен, в становлении и развитии теории чисел, необходимо рассказать учащимся об огромном вкладе в эту область великого русского математика П.Л.Чебышева (1821-1894)-основателя русской математической школы. Ученики с большим интересом слушают сообщение о том (исхожу из своего опыта), что замечательному патриоту П.Л.Чебышеву наряду с другими открывателями в области теории чисел удалось вывести формулу, позволяющую приближенно найти число простых чисел между 1 и любым натуральным числом. Это работа занимала умы ученых около 2200 лет после Евклида, и своим открытием П.Л.Чебышев прославил русскую науку. О машинах для умножения и деления П.Л.Чебышева можно рассказать в 8-м классе в связи с использованием калькулятора и проведением беседы о развитии вычислительной техники. Говоря о выдающихся работах Л.Эйлера в области теории чисел, нельзя не упомянуть о том, что Россия является его второй Родиной, что он более 30 лет работая в Петербургской академии наук, избран здесь академиком, и вторая Родина воздала Эйлеру должные почести. Об этом, я думаю, следует рассказать подробнее (можно во внеурочное время).

Дальнейшее развитие теории чисел происходит также благодаря нашим ученым И.М.Виноградову, Л.Г.Шпирельману и другим.

В формировании различных мотивов учения и пробуждения интереса к изучению математики большое значение имеет рассказ на первом уроке в 6-м классе о математическом развитии, о практической значимости математики в развитии других наук, о Л.Ф.М...??? , который написал первый русский учебник математики “Арифметика сиречь наука числительная”, изданный в 1703 году.

Вопрос об использовании элементов истории в преподавании математики не новый. Еще в конце XIX века – начале XX он обсуждался на съездах преподавателей математики. Ему были посвящены в нашей стране и за рубежом специальные работы.

В разное время ученые и методисты по-разному определяли цели введения элементов истории математики в преподавание в зависимости от общественного строя той или иной страны и общих задачах школы. Однако общим почти всегда были и остаются поныне следующие цели:

1) повышение интереса учащихся к изучению математики и углубление понимания ими фактического материала;

2) расширение умственного кругозора учащихся и повышение их общей культуры.

В наше время юноша или девушка, оканчивающие среднюю школу, должны иметь представление о месте и роли математики в современной передовой культуре.

Одно сообщение сведений по истории математики далеко не всегда способствует достижению тех целей, о которых говорилось выше. Знакомство учеников с историей математики означает продуманное планомерное использование на уроках фактов из истории науки и их тесное сплетение с систематическим изложением всего материала программы. Залог успеха состоит в умелом использовании элементов истории математики таким образом, чтобы они органически сливались с излагаемым фактическим материалом. (Крутецкий В. А. Основы педагогической психологии. М., 1972. )

Следует широко использовать для ознакомления с историей математики уроки закрепления пройденного, что будет способствовать оживлению этих уроков.

Знакомство учеников с фрагментами истории математики в связи с изучением основ предмета на уроках и факультативных знаниях имеет вполне определенные цели, а именно:

1. Сведения из истории повышают интерес школьников к изучению математики и углубляют понимание ими изучаемого раздела программы;

2.Ознакомление с историческими фактами расширяет умственный кругозор учеников и повышает их общую культуру, позволяет лучше понять роль математики в современном обществе;

Координируя изучение математики с другими предметами, в частности с историей общества, подчеркивая роль и влияния практики на развитие математики, указывая условия (а иногда и причины зарождения и развития тех или иных идей и методов), мы тем самым способствуем развитию у школьников диалектического мышления и мировоззрения, содействуем процессу их умственного созревания сознательному усвоению ими учебного материала. Достигнутое таким образом более глубокое понимание школьного курса математики, безусловно, вызовет у школьников повышение интереса к предмету, с историческим материалом. Однако вопрос о формах использования элементов истории математики на уроках почти полностью подчинён главному вопросу– связи изучаемой в школе математики с историей. Какая бы ни была форма сообщения исторических фактов: краткая беседа, экскурс, лаконичная справка, решение задачи, показ и разъяснение рисунка,– использованное время (5-12 минут) нельзя считать потерянным напрасно, если учитель сумел преподнести исторический факт в тесной связи с изучаемым на уроке теоретическим материалом. Опыт работы учителей подсказывает, что следует использовать для ознакомления с историей математики уроки закрепления пройденного, что способствует повышению интереса учащихся к таким урокам. Главную методическую трудность представляет вопрос о том, как на деле сочетать изучение определённого раздела программы с изложением соответствующего исторического материала. Преодолеть эту трудность можно лишь постепенно в ходе планомерной и скрупулезной работы.

Математика и история – две неразрывные области знания. Сведения из истории математики, исторические задачи сближают эти два школьных предмета. История обогащает математику гуманитарным и эстетическим содержанием, развивает образное мышление учеников. Математика, развивающая логическое и системное мышление, в свою очередь занимает достойное место в истории, помогая лучше ее понять.

3.Знакомство с историческим развитием математики способствует общим целям воспитания подрастающего поколения.

Как добиться того, чтобы ученики с интересом занимались математикой, как научить их решать задачи, как убедить в том, что математика нужна не только в повседневной жизни, но и для изучения других предметов?

Многие школьные учебники математики решают эти проблемы. Для развития интереса к предмету в них есть занимательные задачи, система упражнений, которая формирует необходимые умения и навыки, прикладные вопросы, показывающие связь математики с другими областями знаний. Конечно, в учебниках мы встречаем и исторические страницы. Читая их, узнаем о появлении и развитии математических понятий, возникновении и совершенствовании методов решения задач.

И, тем не менее, творчески работающему учителю тесно в рамках того исторического содержания, которое приводится в учебнике. Сведения из истории науки расширяют кругозор учеников, показывают диалектику предмета. Поэтому так важно, чтобы исторические мотивы искусно вплетались в ткань урока математики, заставляя детей удивляться, думать и восхищаться богатейшей историей этой многогранной науки.

Формы подачи исторического материала могут быть различными: как простые (беседа учителя, короткие сообщения учеников на заданную тему, решение исторических задач, разгадывание софизмов, выпуск стенгазет), так и более глубокие и сложные – такие, как историко-математическая конференция, защита рефератов по вопросам истории математики.

В учебниках математики 5-6-х классов (автор Н.Я.Виленкин и др.) сведения по истории предмета выделены в специальные разделы. Из них ученики узнают о древних единицах измерения длины, площади, массы. Интересны сведения о системе записи чисел у разных народов. Короткие биографии ученых-математиков рассказывают об их важнейших открытиях.

Однако структура размещения таких разделов меняется, начиная с 7-го класса, когда исторические сведения приводятся уже в конце учебника. Это снижает значимость исторического материала, изменяет отношение к нему учеников. Хорошо, если учитель хотя бы иногда дает задание прочитать последние страницы учебника. Но часто, выполняя программу, реализуя математическое содержание, педагог забывает об “историческом”. И стоит ли винить его в этом? Ведь не на каждом математическом факультете педагогического вуза преподается история математики. (Преподавание математики в 5-х и 6-х классах: По учебникам: Математика/Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов и др. методические рекомендации для учителя. М.:Мнемозина, 2001)

И все-таки опытный учитель никогда не начнет изложения новой темы, не говоря о новом разделе математики, без вводной исторической части, вызывающей интерес и внимание учеников. Как, знакомя учеников с начальными понятиями геометрии, не рассказать о греческой математике?

В Древней Греции геометрию причисляли к семи свободным искусствам наряду с грамматикой, риторикой, диалектикой, арифметикой, астрономией и музыкой. Такие ученые, как Пифагор и Платон, считали, что окружающая природа устроена по определенному плану, поэтому красоту окружающего мира, по их мнению, можно было познать с помощью математики. Именно древнегреческий ученый Евклид, систематизируя геометрические знания, написал величайший труд "Начала", который почти на два тысячелетия стал учебником геометрии. Евклиду принадлежат также сочинения по механике, оптике, музыке. Известны его заслуги и в астрономии. Евклиду приписываются также несколько теорем и новых доказательств.

Потом еще не раз на уроках геометрии мы будем возвращаться к Евклиду. Изучая аксиомы геометрии, сравниваем понятия, данные в современном учебнике и в "Началах". Доказывая теорему Пифагора, говорим, что ею заканчивается первая книга "Начал". При построении правильных многоугольников опять звучит это имя. XIII книга "Начал" посвящена Платоновым телам – правильным многогранникам, красотой которых восхищаемся на уроках стереометрии. Рассматривая вопросы дифференциального и интегрального исчислений на уроках анализа, говорим о том, что идеи, положенные в их основу Ньютоном и Лейбницем в XVII в., уходят своими корнями к методу исчерпывания, открытому еще Евклидом и Архимедом.

Так история математики помогает понять не только логику развития предмета, но и показывает яркие примеры ученых, прошедших трудный путь открытия истины.

Известно, что уже при постройке первой египетской пирамиды Джосера в Саккаре (около 2800 лет до н.э.) древние зодчие были знакомы с правилами построения так называемых несоизмеримых отрезков, т.е. таких, длины которых нельзя выразить рациональной дробью.

Вместе с учениками можно выполнить геометрические построения и еще раз, повторяя теорему Пифагора, вычислить длины диагоналей прямоугольников, изображенных на рисунке. Так, вводя на уроке алгебры понятие иррационального числа, можно геометрически и исторически помочь школьникам понять и почувствовать его суть.

Эффективным и занимательным приемом является также математический софизм. Софизм – это доказательство заведомо ложного утверждения. Причем ошибка в доказательстве искусно замаскирована. Группу древнегреческих философов, живущих в V-IV вв. до н.э., называли софистами. Они достигли большого искусства в логике.

Ученикам 7-8-х классов уже можно привести софизм об Ахиллесе и черепахе.

Ахиллес, бегущий в десять раз быстрее черепахи, не сможет ее догнать. Пусть черепаха на сто метров впереди Ахиллеса. Когда Ахиллес пробежит эти сто метров, черепаха будет впереди него на десять метров. Пробежит Ахиллес и эти десять метров, а черепаха окажется впереди на один метр и т.д. Расстояние между ними все время сокращается, но никогда не обращается в нуль. Значит, Ахиллес никогда не догонит черепаху.

Сколько восторгов, мнений, споров, а главное – неподдельного интереса и жажды знаний вызывает у учеников этот исторический софизм. Тут же разбираем и чисто геометрическое ложное утверждение, пытаясь найти искусно скрытую ошибку.

Докажем, что все (!) треугольники равнобедренные. Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Проведем в нем биссектрису угла В и серединный перпендикуляр к стороне АС. Точку их пересечения обозначим через O. Из точки O опустим перпендикуляр ОД на сторону АВ и перпендикуляр ОЕ на сторону ВС. Легко доказывается, что ОА = ОС и ОД = ОЕ. Следовательно, прямоугольные треугольники АОД и СОЕ равны по гипотенузе и катету. Отсюда <ДАО = <ЕСО. Кроме того, <ОАС = <ОСА, так как треугольник АОС – равнобедренный. В итоге получаем: <ВАС = <ДАО + <ОАС = <ЕСО + <ОСА = <ВСА.

Итак, мы доказали, что <ВАС = <ВСА, значит, треугольник АВС равнобедренный и АВ = ВС.

Поиски ошибки привели к долгожданному результату. Ошибка оказалась в чертеже, ведь серединный перпендикуляр к стороне и биссектриса противолежащего ей угла для неравнобедренного треугольника пересекаются вне этого треугольника. Решая геометрические задачи на построение в 7-х, 8-х классах, конечно, знакомимся с тремя классическими задачами древности: о квадратуре круга, трисекции угла и об удвоении куба. Способов приближенного решения квадратуры круга с помощью циркуля и линейки было придумано много. Так, например, еще в Древнем Египте было распространено правило: площадь круга равна площади квадрата со стороной, равной 8/9= 256/81= 3,1604...

С удовольствием и эмоциональным подъемом слушают ученики легенду, связанную с "делосской задачей" об удвоении куба. Свое название она получила от острова Делос в Эгейском море, где, по легенде, чтобы избавить жителей от эпидемии, оракул повелел удвоить алтарь, имеющий форму куба. (Людмилов Д. С. Некоторые вопросы проблемного обучения математике. Пермь, 1975)

Ученики узнают о том, что древние задачи оказались неразрешимыми с помощью циркуля и линейки, но благодаря многолетним поискам их решения совершенствовались математические методы. Исторически развивалась и сама математика.

Открытие логарифмов – еще одна историческая цепочка знаний, которая связана не только с математикой, но и, казалось бы, совсем не имеющей к ней отношение музыкой.

На уроке в 11-м классе, посвященном логарифмам, обращаемся к школе Пифагора (VI-IV вв. до н.э.), открытию в области числовых отношений, связанных с музыкальными звуками. Вся пифагорейская теория музыки основывалась на законах "Пифагора-Архита".

1. Высота тона (частота колебаний f) звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l/f = a/l (а – коэффициент пропорциональности, характеризующий физические свойства струны).

2. Две звучащие струны дают консонанс (приятное созвучие), если их длины относятся, как 1:2, 2:3, 3:4.

Пифагорова гамма была несовершенной, так как не позволяла транспонировать (переводить из тональности в тональность) мелодию. И лишь только в 1700 году немецкий органист А.Веркмайстер осуществил смелое и гениальное решение, разделив октаву (геометрически) на двенадцать равных частей. Какую же роль сыграли здесь логарифмы? Дело в том, что в основе музыкальной гаммы лежит геометрическая прогрессия со знаменателем – [Корень из двух в двенадцатой степени]. является иррациональным числом, при нахождении приближенного значения которого используются логарифмы.

Идея логарифма возникла также в Древней Греции. Так, в сочинении "Псамлигт" Архимеда (287 – 212гг. до н.э.) мы читаем: "Если будет дан ряд чисел, в непрерывной пропорции начиная от 1 и если два его члена перемножить, то произведение будет членом того же ряда, настолько удаленным от большего множителя, насколько меньший удален от единицы, и одним членом меньше против того, насколько удалены оба множителя вместе". Здесь под "непрерывной пропорцией" Архимед разумеет геометрическую прогрессию, которую мы записали бы так: 1, а, [а в квадрате], ... В этих обозначениях правило, сформулированное Архимедом, будет выражено формулой: [a в степени m] * [a в степени n] = [a в степени m+n].

Так вслед за изобретением логарифмов и развитием алгебры иррациональных чисел в музыку вошла равномерная темперация (новый двенадцати звуковой строй).

Еще один пример того, как можно учить, не отпугивая от математики, – интеграция исторических знаний и математических задач, связанных с этими знаниями. Ученикам гораздо интереснее решать именно такие задачи. Особенно это относится к ученикам 5-6-х классов, у которых история вызывает глубокий интерес. В то же время наибольшую трудность у них вызывает математика. Может быть, в какой-то мере интеграция исторических и математических знаний на примерах задач исторического содержания поможет привить интерес и к истории, и к математике.

В 1994 году в издательстве "Педагогика-пресс" вышел нетрадиционный задачник С.С.Перли, Б.С.Перли "Страницы русской истории на уроках математики". Необычность названного пособия в том, что все приведенные математические задачи даны на фоне русской истории начиная от первого упоминания в летописи о Москве и заканчивая Петровской эпохой. Словно следуя словам Петра Великого: "Оградя отечество безопасностью от неприятеля, надлежит стараться находить славу государства через искусство и науки", мы читаем о родной истории, ее богатых обычаях и традициях. Книга хорошо иллюстрирована, написана на ярком историческом материале. Задачник соответствует программе по математике 5-6-х классов. Большое место занимают задачи на составление уравнений, причем уровень сложности их постепенно возрастает. Содержание всех задач связано с русской историей, с ее архитектурными и культурными памятниками. Вот некоторые задачи из этого сборника:

1. В XV в. суммарная площадь Пскова, Великого Новгорода и Нижнего Новгорода была 940 га, из которых 11/47 составляла площадь Пскова. Вычислите площадь каждого из этих трех городов, если известно, что Нижний Новгород имел площадь на 100 га меньше, чем Новгород Великий.

Задача, на нахождение числа по величине его процента, к теме: Размеры русских средневековых городов

2. Теме "Некоторые итоги Петровских преобразований" посвящена задача на составление уравнения. "В 1795 г. бюджет России составлял 9,75 млн. рублей. Из них 2/3 расходовали на содержание армии и флота. Расходы на флот составляли 0,3 от стоимости содержания армии. Сколько стоило России содержание армии и флота в 1725 г.?"⁶

Далее предложены те материалы из истории, которые с успешностью можно использовать на уроках математики, внеклассных занятиях, математических кружках и т.д.

2.1. Страницы истории на уроках математики

МАТЕМАТИКА (греч. mathematike, от mathema — наука), наука, в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения. До начала 17 в. математика — преимущественно наука о числах, скалярных величинах и сравнительно простых геометрических фигурах; изучаемые ею величины (длины, площади, объемы и пр.) рассматриваются как постоянные. К этому периоду относится возникновение арифметики, геометрии, позднее — алгебры и тригонометрии и некоторых частных приемов математического анализа. Областью применения математики являлись: счет, торговля, землемерные работы, астрономия, отчасти архитектура. В 17 и 18 вв. потребности бурно развивавшегося естествознания и техники (мореплавания, астрономии, баллистики, гидравлики и т. д.) привели к введению в математику идей движения и изменения, прежде всего в форме переменных величин и функциональной зависимости между ними. Это повлекло за собой создание аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений. В 18 в. возникают и развиваются теория дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрия и т. д. В 19-20 вв. математика поднимается на новые ступени абстракции. Стремление упростить и ускорить решение ряда трудоемких вычислительных задач привело к созданию вычислительных машин. Потребности развития самой математики, “математизация” различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, быстрый прогресс вычислительной техники привели к появлению целого ряда новых математических дисциплин; таковы, напр., теория игр, теория информации, теория графов, дискретная математика, теория оптимального управления.⁷

История развития понятия “функция”

Функция – одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых, математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5тыс. лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3x2. Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции – теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.

Введение понятия функции через механическое и геометрическое представления (XVII век.) Начиная лишь с XVII века, в связи с проникновением в математику идеи переменных, понятие функции явно и вполне сознательно применяется. Путь к появлению понятия функции заложили в XVII веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение: неизвестных – последними буквами латинского алфавита – x, y, z, известных – начальными буквами того же алфавита – a, b, c, ... и т.д. Под каждой буквой стало возможным понимать не только конкретные данные, но и многие другие; в математику пришла идея изменения. Тем самым появилась возможность записывать общие формулы. В “Геометрии” Декарта и работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых– функция от абсцисс (x); путь и скорость – функция от времени (t) и т.п. В первом случае элементы x множества А называют значениями аргумента, а элементы их множества В– значениями функции; во втором случае x – прообразы, y – образы. В современном смысле рассматривают функции, определенные для множества значений x, которые возможно, и не заполняют отрезка a , x , b, о котором говорится в определении Дирихле. Достаточно указать, например, на функцию-факториал y=n!, заданную на множестве натуральных чисел. Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам. Например, к геометрическим фигурам. При любом геометрическом преобразовании мы имеем дело с функцией. Другими синонимами термина “функция” в различных отделах математики являются: соответствие, отображение, оператор, функционал и др. Дальнейшее развитие математической науки в XIX веке основывалось на общем определении функции Дирихле, ставшим классическим. В общем, виде понятие обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем. В 1936 году, 28-летний советский математик и механик С.Л. Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, и применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики. Важный вклад в развитие теории обобщенной функции внести ученики и последователи Шварца – И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов и др. (Чистяков В.Д. Исторические экскурсы на уроках математики в средней школе. – Минск: “Народная освета”. – 1969. )

2.2. Исторические задачи

Одним из приемов зарождения и пробуждения интереса у младших школьников к математике считаю старинные задачи. Сам язык, которым изложен текст задачи, смысловая нагрузка пробуждают любопытство, обостряют внимание. На своих уроках заметила: при решении таких задач самые нерадивые ученики принимают участие в обсуждении, нестандартные ситуации заставляют думать, размышлять, и нет того бездумного взгляда на доску, с которым просто списывается с доски очередной столбик цифр. Эти задачи подходят как для решения на уроке, во время занимательной десятиминутки, так и для факультативных и кружковых занятий. Наиболее сложные из них можно использовать на олимпиадах или при проведении предметной недели. Вот несколько задач :

1.“Летела стая гусей, а навстречу им один гусь и говорит:”Здравствуйте, сто гусей!” “Нас не сто гусей, – отвечает ему вожак стаи, – если бы нас было столько, сколько теперь, да еще полстолька, да четверть столько, да еще ты гусь, с нами, так было бы нас сто гусей”. Сколько было в стае гусей?”

2.“В клетке находятся фазаны и кролики. У всех животных 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке кроликов и фазанов?”

3.“В городе Афинах был водоем, в котором проведены три трубы. Одна труба может наполнить водоем в один час, другая, более тонкая, в два часа, третья, еще более тонкая, – в три часа. Итак, узнай, в какую часть часа все три трубы вместе наполняют бассейн. (Анамний из Ширака, армянский математик, VII в.)”

4.“Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женой выпьет ту же кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его особо выпьет ту же кадь? (Магницкий)”.

5.“Вол съел копну одним часом, а конь съел копну в два часа, а коза съела копну в три часа. Сколько бы они скоро, все три, – вол, конь и коза – ту копну съели сочти”. (Математические рукописи XVII в)

6.“Четыре плотника у некоего гостя (купца) нанялись двор ставить. И говорит первый плотник так: “Только бы мне одному тот двор ставити, я бы его поставил един год”. А другой молвил: “Я бы его поставил в два года”. А третий молвил: “Я бы его поставил в три года”. А четвертый так рек: “Я бы его поставил в четыре года”. Все те четверо плотника учали тот двор ставити вместе. Сколько долго они ставили, сочти”. (Математические рукописи XVII в)
7.“Один путник идет из града в дом, а ходу его будет 17 дней, а другой от дома во град тот же путь творяще, может пройти в 20 дней, оба же сии человека пойдоша во един и то же час от мест своих, и ведательно есть, в колико дней сойдутся”. (Магницкий)

8.“Юноша некий пошел с Москвы к Вологде и идет на всякий день по 40 верст. А другой пошел его на следующий день, а на всякий день идет по 45 верст. Во сколько дней тот юноша достиг прежнего юношу, сочти”. (Математические рукописи XVII в)

9. “Шла баба в Москву и повстречала 3 мужика. Каждый из них нес по мешку, в каждом мешке по коту. Сколько существ направлялось в Москву?” (Эта задача с видоизменениями встречается в папирусах египтянина Ахмеса (1700 г. до н.э.), у Леонардо Пизанского (1202 г), в “Школьной арифметике” Даниеля Адамса.)

РАЗМЕРЫ РУССКИХ СРЕДНЕВЕКОВЫХ ГОРОДОВ (Решение задач)

Средневековые российские города были обширны и живописны. Они имели обычно укрепленную часть — крепость-кремль, которую окружали посады, нередко окруженные деревянным частоколом. При появлении неприятеля жители посадов сжигали свои дома и укрывались в крепости, помогая ее защитникам отстоять город. Когда же враг отступал, горожане строили заново и свои деревянные дома, и защитные стены вокруг поселения. Размеры посадов ничем не ограничивались, и потому город непрерывно рос. Около домов жители разбивали сады и огороды. Между усадьбами, для сбережения от пожара, оставляли пустыри, где пасли скот. Российские города широко и свободно располагались на земле.

Совсем иначе строили города в Западной Европе. Города обносили каменными стенами, и чем больше жителей становилось в нем, тем гуще, ближе друг к другу стояли в этом городе дома. Поэтому средневековые европейские города были обычно площадью в 50 — 60 га, значительно уступая по территории таким же русским. Так, площадь совсем небольшого городка — Углича в XIV в. внутри оборонительных стен составляла 150 га.

202. В XV в. суммарная площадь Пскова, Великого Новгорода и Нижнего Новгорода составляла 940 га, из которых 11/47 приходилась на долю Пскова. Вычислите площадь каждого из городов, если известно, что Нижний Новгород занимал территорию на 100 га меньшую, чем Новгород Великий.

ОТВЕТ. В XV в. Площадь Пскова была 220 га, Н. Новгорода – 310 га,
Новгорода Великого – 410 га.

После строительства стен Скородома в 1591 г. самым большим городом государства стала Москва. При этом Кремль, Китай-город и Белый город стали частью столицы в границах укреплений Скородома.

203. Площадь Китай-города была на 39 га больше площади Кремля. Площадь Белого города – на 467,5 га больше площади Китай-города. Причем площади Белого города и Кремля вместе составляли 559,5 га. Вычислите площадь Скородома, зная, что суммарная площадь трех указанных частей Москвы составляет 625/1878 от площади столицы в границах Скородома.

ОТВЕТ. Площадь Кремля – 26,5 га, Китай-города – 65,5 га, Белого города 533 га, всего города в границах Скородома – 1878 га.

Москва после возведения Белого города и Скородома поражала иностранных путешественников своими размерами. Польский ученый Матвей Маховский, видевший ее в начале XVI в., писал, что она "вдвое больше чешского города Праги и Флоренции в Тоскане".

Англичанин Ченслер, посетивший столицу в середине XVI в., утверждал, что она "больше Лондона с его предместьями". Француз Маржерет, побывавший в Москве в начале XVII в., считал, что в границах Скородома Москва больше Парижа, а столица Франции в XVII в. в границах укреплений имела площадь 500 га.

Современная Москва давно переросла границы Скородома и за ее границу считают окружную автостраду.

204. Площадь Москвы в границах Скородома была 1878 га, что составляло 2,12% от площади города в границах окружной автострады. Вычислите эту площадь с точностью до 1 кв.м.

ОТВЕТ. 885 кв.м.

205. Длина стен Скородома была 16 км, что составляет 14,7% от длины окружной автострады, считающейся границей Москвы. Вычислите длину автострады с точностью до 1 км.

ОТВЕТ. 109 км.

(Семеро смелых, г. Петрозаводск //Математика в школе, №2 ,1994)

Литература

Современная школьная программа указывает на необходимость знакомства учеников с фактами из истории математики и биографиями великих математиков. Но в программе нет конкретных указаний, какие сведения из истории, когда и как сообщать школьникам. Поэтому, из опыта работы учителей математики понятно, что исторический материал необходимо включать в учебный процесс. Надо позаботиться о том, чтобы на уроках каждый ученик работал активно и увлеченно, и использовать это, как отправную точку для возникновения и развития любознательности, глубокого познавательного интереса. К сожалению, в последнее время почти не выходит литература по истории математики, поэтому нам учителям приходится искать сведения в источниках изданных еще во времена Советской власти. Привожу ниже несколько примеров книг, которые, я использую в своей работе.

Математический энциклопедический словарь. – М.: Сов.энциклопедия. – 1988.
Малыгин К.А. Элементы историзма в преподавании математики в средней школе. – М.:Учпедгиз. – 1958.
Преподавание математики в 5-х и 6-х классах: По учебникам: Математика/Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов и др. методические рекомендации для учителя. М.:Мнемозина, 2001.
Людмилов Д. С. Некоторые вопросы проблемного обучения математике. Пермь, 1975.
Пичурин Л. Ф. За страницами учебника алгебры. М., 1990.
Чистяков В.Д. Исторические экскурсы на уроках математики в средней школе. – Минск: “Народная освета”. – 1969.
Глейзер Г.И. История математики в школе: 7-8-й класс – М.: Просвещение. – 1982.
Глейзер Г.И. История математики в школе: 9-10-й класс – М.: Просвещение. – 1983.
Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика. – 1989.
Е.Г.Сидорова (Карелия) Старинные задачи. – М.,1994 //Мат. в шк.№3.
Семеро смелых, г. Петрозаводск //Математика в школе, №2 ,1994
Колягин Ю. М., Оганесян В. А. Учись решать задачи.
Пичурин Л. Ф. За страницами учебника алгебры. М., 1990.
Якиманская И. С. Развивающее обучение. М., 1979.
За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6кл. средн.шк. И.Я.Депман, Н.Я.Виленкин, -М.:Просвещение,1989.
За страницами учебника математики: Книга для учащихся 10-11кл. общеобразовательных учреждений. Н.Я.Виленкин, Л.П.Шибасов З.Ф. Шибасова -М.: Просвещение.

И конечно большая поддержка в журналах “Математика в школе” и приложении к газете “1 сентября”.

Презентация

21.07.2010