Урок математики в 11-м классе "Расположение корней квадратного уравнения в зависимости от параметра"

Цель:

• формировать умение распознавать положение квадратной параболы на плоскости в зависимости от параметра,
• развивать логическое мышление,
• умение работать в проблемной ситуации.

Ход урока

Проверка домашнего задания.

Объяснение нового материала.

Решение многих задач с параметрами, предлагаемых на экзаменах, в частности, на ЕГЭ по математике, требует умения правильно формулировать необходимые и достаточные условия, соответствующие различным случаям расположения корней квадратного трёхчлена на числовой оси.

Пусть квадратный трёхчлен f(x) = ax² + bx + с имеет корни x₁ и x₂, - абсцисса вершины параболы y = ax² + bx + с, d - заданное число. Рассмотрим ряд утверждений, связанных с взаимным расположением x₁ , x₂ и числа d.

Теорема 1. Для того чтобы оба корня квадратного трёхчлена были больше числа d, (рис.1) необходимо и достаточно выполнение условий.

Пример:

При каких значениях параметра а корни уравнения ax²-(2а + 1)х + 3а - 1 = 0 больше единицы?

Решение: 1. При а = 0 х = -1 - не удовлетворяет требованию задачи.

2. При а

Ответ:

Теорема 2. Для того чтобы оба корня квадратного трёхчлена были меньше числа d, (рис.2) необходимо и достаточно выполнение условий

Рассмотрим задачи на применение этих теорем, обращая внимание на алгоритм получения необходимых и достаточных условий, соответствующих данному случаю расположения корней квадратного трёхчлена на числовой оси. Учащиеся должны научиться составлять эти условия, а не пытаться механически их запомнить.

Задачи для самостоятельного решения.

Найдите значение параметра m, при которых уравнение имеет два отрицательных решения.

Ответ: при уравнение имеет два отрицательных решения.

Найти все значения параметра , при которых уравнение имеет два положительных различных решения.

Ответ: при уравнение имеет два положительных различных решения

При каких значениях параметра а корни уравнения больше 1?

Ответ: при корни уравнения больше 1.

При каких значениях параметра а оба корня уравнения меньше 1?

Ответ: при оба корня уравнения меньше 1.

При каких значениях параметра p оба корня квадратного трехчлена отрицательны?

Ответ: при оба корня квадратного трехчлена отрицательны.

Найдите все значения параметра а, при которых оба корня уравнения больше 1?

Ответ: не существует таких значений параметра а, при которых оба корня уравнения больше 1.

Теорема 3. Для того чтобы число d было расположено между корнями квадратного трёхчлена, (рис.3) необходимо и достаточно выполнение условий

Задача для самостоятельного решения

Найти все значения параметра , при которых только один корень квадратного трехчлена больше 2.

Ответ: или .

При каком значении параметра один корень уравнения больше 1, а другой - меньше 1?

Ответ: при один корень уравнения больше 1, а другой - меньше 1.

При каких значениях параметра число 2 находится между корнями квадратного уравнения ?

Ответ: при один корень уравнения больше 2, а другой - меньше .

Найти все значения параметра , при которых только один корень уравнения удовлетворяет неравенству .

Ответ: или .

Теорема 4. Для того чтобы оба корня квадратного трёхчлена лежали в интервале (d: p), (рис.4) необходимо и достаточно выполнение условий

(4)

Пример. При каких значениях параметра а оба корня уравнения удовлетворяют условию 1<x<3?

Решив систему, получим ответ

Задачи для самостоятельного решения

При каких значениях параметра а оба корня уравнения удовлетворяют условию ?

Ответ: .

При каких значениях параметра а, все решения уравнения удовлетворяют условию .

Ответ: при все решения уравнения удовлетворяют условию .

При каких значениях параметра а все решения уравнения удовлетворяют условию ?

Ответ: при все решения уравнения удовлетворяют условию .

При каких значениях параметра корни уравнения принадлежат промежутку (-1; 1)?

Ответ: при корни уравнения лежат на промежутке (-1; 1).

Найти все значения параметра при которых оба корня квадратного уравнения по модулю не превосходят 2.

Ответ: при корни уравнения не превосходят по модулю 2.

При каких значениях параметра все решения уравнения удовлетворяют условию .

Ответ: при или .

Определите все значения параметра k, чтобы один из корней уравнения был меньше нуля, а другой - больше 1?

Ответ: при .

При каких значениях параметра корни уравнения принадлежат промежутку (-1; 1)?

Ответ: при корни уравнения лежат на промежутке (-1; 1).

Найти все значения параметра , при которых оба корня квадратного уравнения по модулю не превосходят 2.

Ответ: при корни уравнения не превосходят по модулю 2.

При каких значениях параметра все решения уравнения удовлетворяют условию .

Ответ: при или .

Теорема 5 . Для того чтобы отрезок [d; p] лежал в интервале (x₁; x₂), (рис.5) необходимо и достаточно выполнение условий

или (5)

Задачи для самостоятельного решения

Найти все значения параметра , при которых один корень уравнения меньше 1, а другой больше 2.

Ответ: при один корень уравнения меньше 1, а другой больше 2.

Найти все значения параметра при которых корни квадратного уравнения удовлетворяют условию .

Ответ: при .

При каких значениях параметра корни уравнения не находятся на промежутке [-1; 1]?

Ответ: при корни уравнения не лежат на промежутке [-1; 1].

Определите все значения параметра k, чтобы один из корней уравнения был меньше нуля, а другой - больше 1?

Ответ: при .

Домашнее задание.

Выбрать и решить пять уравнений из разных разделов.