| Цели спецкурса | Примечание |
| - Развитие навыков и практических
приемов мыслительной деятельности; - Развитие общей культуры мышления (умение высказывать суждения, делать умозаключения, выделять существенные признаки, анализировать, обобщать, выдвигать гипотезы, учиться задавать вопросы); - Формирование основ рефлексивной культуры (учиться быть способным к рефлексии, позволяющей разумно и объективно анализировать собственные суждения, поступки, действия). |
В концепции обучения, где целью
является формирование культуры личности, важную
роль играет математика как цельная
развивающаяся и в то же время развивающая
дисциплина общекультурного характера. Математика способствует формированию у учащихся основ рефлексивной культуры мышления, одним из факторов которой является критическое мышление. Критическое мышление представляет собой рациональное, рефлексивное мышление, которое направлено на решение того, чему следует верить или какое действие следует предпринять. При таком понимании критическое мышление включает как способности (умения), так и предрасположенности (склонности). Математика в числе академических предметов уникальна по своим возможностям для раскрытия сути рефлексии, как умения человека осознавать то, что он делает и аргументировать, обосновывать свою деятельность. |
| Принцип обучения | Примечание |
| Реализация принципа рефлексивности [2]. | Рефлексивность (анализ своих умственных действий, операций) как принцип обучения непрерывно связан с культурой мышления, культурой умственного труда, т.е. с умственным развитием человека, которое реализуется через обучение и воспитание |
| Основная методическая установка | Примечание |
| Организация решения нестандартных задач, включая практикум решения задач повышенной сложности по избранным темам программы, так и решение задач на развитие рефлексивного математического мышления. | Методические искания учителей при обучении математике должны быть направлены в сторону развития культуры мышления и, в частности, рефлексивной культуры. Все это, несомненно, станет надежной основой действительного и высокого развития интеллектуальных способностей учащихся. |
| Вид учебной деятельности | Примечание |
| Решение задач | В процессе решения задач развиваются
познавательные творческие способности и
самостоятельность мышления. Понимание постановки задачи - составления плана решения - осуществление плана - взгляд назад (изучение полученного решения) - четыре этапа в решении задачи, которые выделяет Д. Пойа. Четвертый этап решения задачи - это рефлексия. Рефлексия содержит скрытые возможности обучения учащихся решению задач, в том числе и нестандартных. |
| Содержание программы | Примечание |
| 1.Нахождение неизвестных компонентов. 5 класс: - действия с натуральными числами; - действия с десятичными дробями. 6 класс: - действия с обыкновенными дробями; - совместные действия с дробями. 2.Рациональные приемы вычислений и смекалка. 5 класс: - действия с натуральными числами; 6 класс: - действия с обыкновенными дробями. 3. Числовые ребусы 4.Четные и нечетные числа. Делимость чисел 5. Задачи на проценты. 6. Задачи на движение. 7. Языки математики. 8. Логические задачи: - решение с помощью графов; - решение с помощью таблиц; - принцип Дирихле; - решение олимпиадных задач. |
Психолого-педагогическая наука и
педагоги-практики признают творческое развитие
личности учащихся в качестве ведущей цели
образования. Перед современной школой стоит
задача обеспечить все направления творческого
развития личности учащихся, в том числе и
интеллектуальные. Сегодня в учреждениях образования активно обновляются содержание и технологии обучения, ведется поиск педагогических средств развития различных аспектов общей культуры учащихся. Воспитание у учащихся способности мыслить - самый важный компонент образования. Поэтому активизация мыслительной деятельности учащихся в процессе обучения занимает одно из ведущих направлений в совершенствовании учебно-методической работы учителя. Содержание данной программы направлено на то, чтобы учащиеся: - овладели разнообразными приемами мыслительной деятельности; - научились в зависимости от содержания материала выбирать приемы, наиболее удобные для данного конкретного материала. Реализация этой концепции приводит к тому, что усилия учителя направляются на развитие учащихся, на овладение ими определенными приемами мыслительной деятельности [1]. |
| Приложение | Примечание |
| Задачи вида: a. b. c. - a - номер темы; b - номер примера; c - класс. |
Для совершенствования умственного
развития учащихся необходим комплекс
специальных целенаправленных действий учителя,
которые регулируют уровень рефлексии учащихся. Одним из таких действий является подбор системы задач способствующих формированию рефлексивной культуры мышления учащихся. |
Блок типовых задач.
1.1.5. При каком значении С верно равенство:
Ответ: С = 5
1.2.5. При каком значении А верно равенство:
((7 + 0,004А) : 0,9) : 24,7 - 12,3 = 77,7
Ответ: А = 498425
1.3.6. При каком значении М верно равенство:
2.1.5. Вычислить:
Решение:
254*399-(399-254) = 254*399-399+254 = 399*(254-1)+254 = 399*253+254
Ответ: 1.
2.2.6. Вычислить:
используя
3.1.5.
3.2.5.
3.3.6.
3.4.6.
4.1.5. Можно ли соединить 13 городов дорогами так, чтобы из каждого города выходило ровно 5 дорог.
Решение. Т.к. из каждого города выходит 5 дорог, то общее количество дорог - 65. Заметим, что при этом каждую дорогу АВ мы считаем дважды, как выходящую из городов А и В. Т.о., общая сумма дорог должна быть четной. Получаем противоречие.
Ответ: нельзя.
4.2.5. Федя написал на доске равенство: 1*2*3*4*5*6*7*8*9=20 (вместо * на доске в неизвестном порядке написаны знаки + и - ). Докажите, что в равенстве допущена ошибка.
Решение. Т.к. данное выражение содержит нечетное количество нечетных чисел, то результат должен быть нечетным числом, следовательно, это равенство неверно.
4.3.5. В наборе было 23 гири массой 1 кг, 2 кг, 3 кг, :, 23 кг. Можно ли их разложить на две равные по массе кучки, если гирю в 21 кг потеряли?
Решение. Заметим, что (1+23) + (2+22) + : + (11+13) + 12 - число четное. Следовательно, (S-21) на две равные по весу кучки не разложить.
4.4.5. Может ли сумма четырех последовательных натуральных чисел быть простым числом?
Ответ: нет.
4.5.6. Числа А и В - целые. Известно, что А+В=1998. Может ли сумма 7А+3В равняться 6799?
Решение: Т.к. А и В имеют одинаковую четность, то 7А и 3В тоже имеют одинаковую четность, а значит их сумма должна быть четной. Т.к. 6799 нечетное число, то задача решений не имеет.
4.6.6. Ковбой Джо зашел в бар. Он купил бутылку виски за 3 доллара, трубку за 6 долларов, три пачки табака и девять коробок непромокаемых спичек. Бармен сказал: "За все - 11 долларов 80 центов". Вместо ответа Джо выхватил револьвер. Почему он решил, что бармен собирается его надуть?
Решение. Из условия следует, что общая стоимость всей покупки должна делиться на 3, а 11,8 долларов на 3 не делится.
4.7.6. Может ли существовать прямоугольный параллелепипед, длины ребер которого натуральные числа, а площадь поверхности - простые числа?
Решение. Sп.п.=2ав + 2вс + 2ас = 2(ав + вс + ас) - это составное число, т.к. делится на 2.
Ответ: нет.
4.8.6. НОД двух чисел 48, НОК тех же чисел 5040. Найти оба числа, если частное от деления НОК на одного из них 7.
Ответ: 720 и 336.
5.1.5. Петя купил две книги - первая из них была на 50% дороже второй. На сколько процентов вторая книга дешевле первой?
Ответ: Вторая книга на треть дешевле первой, 
5.2.5. Товар подешевел на 20%. На сколько процентов больше можно купить товара за те же деньги?
Ответ: на 25%.
5.3.5. Влажность свежих грибов - 99%, сушеных - 98%. Как изменится вес грибов после подсушивания?
Ответ: уменьшится в 2 раза.
5.4.5. На конференции часть делегатов знают только английский язык, часть - только испанский, часть - оба языка. 85% делегатов конференции знают английский язык, 75% - испанский. Сколько процентов делегатов говорят на обоих языках?
Ответ: 60%.
5.5.5. Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли составляло 2%?
Ответ: 60 кг.
5.6.6. Известно, что 2% положительного числа А больше, чем 3% положительного числа В. Верно ли, что 5% ила А больше, чем 7% числа В?
Решение: 2% числа А > 3% числа В, 4% числа А > 6% числа В, 1% числа А > 6% числа В. Т.о., 5% числа А > 7% числа В. Или 0,02А > 0,03В, откуда 0,05А> 0,075В > 0,07В.
5.7.6. Вера и Аня посещают математический кружок в котором больше 91% мальчиков. Найти наименьшее возможное количество участников кружка.
Ответ: 23.
5.8.6. Из учащихся, выполнявших контрольную работу, 30% получили "5", 40% - "4", 8 человек - "3", а остальные - "2". Средний балл 3,9. Сколько учащихся получили каждую оценку?
Решение: Х учащихся всего.
х = 40
Ответ: 4; 8; 16; 12.
5.9.6. 5 л сливок 35% жирности смешали с 4 л 20% и добавили 1 л воды. Какой жирности получилась смесь?
Ответ: 25,5%.
6.1.5. Автомобиль едет со скоростью 60 км/час. На сколько он должен увеличить скорость, чтобы проезжать один километр пути на минуту быстрее?
Решение: За минуту машина проезжает 1 км. Чтобы преодолеть это расстояние на минуту быстрее, она должна проехать его за 0 сек, что невозможно.
6.2.5. Поезд длиною 18 м проезжает мимо столба за 9 секунд. Сколько времени ему понадобится, чтобы проехать мост длиной 36 м?
Ответ: 27 секунд.
6.3.5. Гребец, проплывая под мостом, потерял шляпу. Через 15 минут он заметил пропажу и поймал шляпу в километре от моста. Какова скорость течения реки?
Решение: Гребец заметил пропажу через 15 минут, значит, и догонит он ее через 15 минут. Т.о., шляпа за 30 минут проплыла 1 километр, а скорость течения реки 2 км/ч.
6.4.6. Машина из пункта А в пункт В едет со скоростью 40 км/ч, а обратно со скоростью 60 км/ч. Какова средняя скорость автомобиля?
Решение: S - расстояние от А до В.
6.5.6. От Нижнего Новгорода до Астрахани пароход идет 5 суток, а обратно - 7 суток. Сколько времени будут плыть плоты от Нижнего Новгорода до Астрахани?
Ответ: 35 суток.
6.6.6. Саша идет от дома до школы 30 минут, а его брат Петя - 40 минут. Петя вышел на 5 минут раньше Саши. Через сколько минут Саша догонит Петю?
Ответ: 15 минут.
6.7.6. Лыжник рассчитал, что если он будет проходить в час 10 км, то прибудет на место назначения часом позже полудня, а если будет бежать со скоростью 15 км/ ч, то прибудет часом раньше полудня. С какой скоростью должен бежать лыжник, чтобы прибыть в полдень? Когда должен отправиться в путь?
Ответ: 12 км/ч; 7 часов утра.
7.1.5. Петя написал на доске пример на умножение
двузначных чисел. Затем он стер все цифры и
заменил их буквами. Получилось равенство: 
Докажите, что он ошибся.
Решение: Равенство получиться не может, т.к. наибольшее
возможное произведение двузначных чисел
99*99<100*100<10000.
7.2.5. Докажите, что если сумма цифр делится на 9, то и число делится на 9.
Решение: 
= 100а + 10в + с = а +
99а + в + 9в + с = (а + в + с) + 99а + 9в = (а + в + с) + 9(11а + в).
Каждое слагаемое делится на 9, значит, и сумма
делится на 9 и авс делится на 9.
7.3.6. Решите уравнение геометрически:
а) |х - 1| = 3;
б) |х - 1| + |х - 2| = 1
Решение: Необходимо решить задачи, сформулировав их "геометрически":
а) найти на числовой оси такую точку х, чтобы расстояние от х до 1 было равно 3.
Ответ: таких точек две: х=4 или х=-2.
б) найти на числовой оси такую точку х, чтобы сумма расстояний от нее до 1 и 2 равнялась 1.
Ответ: 
8.1.5. У ковбоя Джека две лошади: каурой и гнедой масти, два седла: красное и зеленое, две пары шпор: длинные и короткие, два револьвера: "Кольт" и "Смитт-Вессон". Сколькими способами Джек может экипироваться для конной прогулки по прериям?
Ответ: 16 способов.
8.2.5. Встретились три друга: Белов, Чернов и Рыжов. Один из них - блондин, другой брюнет, а третий - рыжий. Брюнет сказал Белову: "Ни у одного из нас цвет волос не соответствует фамилии". Какой цвет волос у каждого из них?
Ответ: Белов - рыжий, Чернов - блондин, Рыжов - брюнет.
8.3.5. В ящике лежат 100 черных и 100 белых шаров. Какое наименьшее число шаров надо вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них наверняка было 2 шара одного цвета? Наверняка было 2 шара белого цвета?
Ответ: 3 шара, 102 шара.
8.4.5. Три сосуда вместимостью 20 л наполнены водой, причем в первом - 11л, во втором - 7 л, а в третьем - 6 л. Как разместить имеющуюся воду поровну, если в сосуд разрешается наливать только такое количество воды, которое в нем уже имеется?
8.5.6. Можно ли увезти из каменоломни пятьдесят камней, веса которых равны 370 кг, 372 кг, :, 468 кг, на семи трехтонках?
Решение: Т.к. камней - 50, то, по крайней мере, на одной из машин будет 8 камней. Однако, вес любых 8 камней больше трех тонн.
8.6.6. На планете Земля океан занимает больше половины площади поверхности. Докажите, что в мировом океане можно указать две диаметрально противоположные точки.
8.7.6. В одной семье было много детей. Семеро из них любили капусту, шестеро - морковь, пятеро - горох. Четверо любили капусту и морковь, трое- капусту и горох, двое - морковь и горох. А охотно один ел и капусту, и морковь, и горох. Сколько детей был в семье?
Ответ: 10 детей.
Заключение.
В воспитании мышления школьника, в обучении мышлению важную роль играет переход от нерефлексивного к осознанному овладению и владению мыслительными приемами и операциями, т.е. к рефлексии.
Опыт работы по ведению данного спецкурса показывает, что предметом мышления учащихся становится не только решение внешне заданных задач, но и сам процесс своего мышления, то есть мышление приобретает рефлексивный характер, становясь необходимым условием для рефлексивного развития.
Литература.
- Груденов Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике. - М.: Педагогика, 1987.-160с.
- Нагорнов Н.Н. Теоретико-методологические проблемы преподавания математики // Совершенствование математического образования учащихся: Тезисы докладов городской научно-практической конференции / УлГПУ им. И.Н. Ульянова, 2000г.
- В помощь учителю, работающему по базисному учебному плану. Сборник вариативных спецкурсов: программы по математике. 5-11 классы. Выпуск 2. Часть 1 / Составители: Ф.С. Мухаметзянова, Т.С. Прокопьев и др. - Ульяновск: ИПК ПРО, 1997, - 88с.