Урок по математике по теме "Функционально-графический метод решения уравнений" (11-й класс)

Костина Ольга Александровна

Класс: 11

Цели:

Систематизировать, обобщить, расширить знания, умения учащихся, связанные с применением функционально-графического метода решения уравнений
Отработка навыков решения уравнений функционально-графическим методом.
Формирование логического мышления, умения самостоятельно и нестандартно мыслить.
Развивать коммуникативные навыки в процессе групповой работы.
Осуществлять продуктивное взаимодействие в группе для достижения максимального общего результата.
Отработка умений слушать товарища. Анализировать его ответ и задавать воросы.

Для проведения этого урока в классе организовались группы ребят, которые получила вспомнить определённый метод решения уравнений, подобрать 5-8 уравнений, решить их и подготовить презентацию.

Оборудование: Компьютер, проектор. Презентация.

В презентацию учителя были вставлены презентации ребят, но у них разный фон.

Ход урока

Сегодня на уроке мы вспомним функционально - графический метод решения уравнений, рассмотрим когда он применяется, какие трудности могут возникнуть при решении и будем выбирать методы решения уравнений.

Вспомним основные методы решения уравнений.(слайд № 2)

Первая группа разбирает графический метод.

Вторая группа рассказывает о методе мажорант.

Метод мажорант - метод нахождения ограниченности функции.

Мажорирование - нахождение точек ограничения функции. М - мажоранта.

Если имеем f(x) = g(x) и известно ОДЗ, и если

, , то

.№1 Решите уравнение:

х = 4 - решение уравнения.

№2 Решить уравнение

Решение: Оценим правую и левую части уравнения:

а) , так как , а ;

б) , так как .

Оценка частей уравнения показывает, что левая часть не меньше, а правая не больше двух при любых допустимых значениях переменной x. Следовательно, данное уравнение равносильно системе

Первое уравнение системы имеет только один корень х=-2. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем верное числовое равенство:

Ответ: х=-2.

№2

№3

Третья группа объясняет использование теоремы об единственности корня.

Если одна из функций(F(x)) убывает, а другая (G(x))возрастает на некоторой области определения, то уравнение F(x)=G(x) имеет не более одного решения.

№1 Решить уравнение

Решение: область определения данного уравнения x>0. Исследуем на монотонность функции . Первая из них - убывающая (так как это - логарифмическая функция с основанием больше нуля, но меньше единицы), а вторая - возрастающая (это линейная функция с положительным коэффициентом при х). Подбором легко находится корень уравнения х=3, который является единственным решением данного уравнения.

Ответ: х=3.

Учитель напоминает. где ещё используется монотонность функции при решении уравнений.

А) - От уравнения вида h(f(x))=h(g(x)) переходим к уравнению вида f(x)=g(x)

При монотонности функции

№1

f(x)=g(x)

№2

2x+3=5x-9

-3x=-12

x=4

Ответ: 4

№ 3

g (x+3) = g 5x

x+3 = 5x

№4

Х+4=4х

№5 sin (4x+?/6) = sin 3x

4x+?/6 = 3x

НЕВЕРНО!(функция периодическая). И тут же проговариваем правильный ответ .

№6.

2x + 7 = 5x -12

НЕВЕРНО!(четная степень) И тут же проговариваем правильный ответ:

Б) Метод использования функциональных уравнений.

Теорема. Если функция y = f(x) - возрастающая (или убывающая) функция на области допустимых значений уравнения f(g(x)) = f(h(x)), то уравнения f(g(x)) = f(h(x)) и g(x)=f(x) равносильны.

№1 Решить уравнение:

Рассмотрим функциональное уравнение f(2x+1) = f(-x), где f(x) = f( )

Найдите производную

Определите её знак.

Т.к. производная всегда положительная, то функция возрастающая на всей числовой прямой, то мы переходим к уравнению

2х+1 = - х

х = - 1/3.

№2

Решите уравнение. Х⁶ - |13 + 12х|³ = 27соs х² - 27соs(13 + 12x).

Решение:

1) уравнение приводится к виду

х6 - 27соs x2 = |13 + 12x|3 - 27соs(13 + 12x),

f(x2) = f(13 + 12x),

где f(t) = |t|3-27соst;

2)Функция f - четная и при t > 0 имеет следующую производную

f'(t)= поэтому f'(t)> 0 при всех

Следовательно, функция f возрастает на положительной полуоси, а значит, каждое свое значение она принимает ровно в двух симметричных относительно нуля точках Данное уравнение равносильно

следующей совокупности: