Урок по теме "Решение однородных тригонометрических уравнений"

Цели и задачи урока:

• сформировать у учащихся умение решать однородные тригонометрические уравнения, закрепить навыки решения всех видов тригонометрических уравнений;
• развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся знания в измененной ситуации; развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщение;
• воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности.

Оборудование урока:

• мультимедийный проектор
• экран.
• доска.

На доске записана тема урока.

Ход урока (Приложение). Презентация

Ход урока

I. Организационный момент.

Учитель сообщает цели урока, проводит вводную беседу. (В течение 5 уроков мы с вами решали тригонометрические уравнения, используя различные методы их решения). Выяснили, что правильно выбранный метод позволяет упростить решение. Сегодня мы познакомимся с еще одним видом тригонометрических уравнений, а пока перед вами стоит задача – показать свои знания и умения в решении тригонометрических уравнений.

II. Воспроизведение и коррекция опорных знаний.

Устная работа.

А) Какое уравнение мы называем тригонометрическим?

Б) Назовите алгоритм решения уравнения cost = а?

1. Проверить условие | a | < 1

2. Отметить точку, а на оси абсцисс.

3. Построить перпендикуляр в этой точке.

4. Отметить точки пересечения перпендикуляра с окружностью

5. Полученные точки – решение уравнения cost = a.

6. Записать общее решение уравнения:

t = arccosa +2, k.

7. Какие особые случаи решения уравнения вы знаете?

а) cost=1, t= 2 , б) cost= -1, t= + 2 cost = 0, t =

8. Если, а отрицательное число, как записать решение этого уравнения?

t = ( - arccosa) +2, k.

В. Назовите алгоритм решения уравнения sin t = а?

1. Проверить условие | a | < 1

2. Отметить точку, а на оси ординат.

3. Построить перпендикуляр в этой точке.

4. Отметить точки пересечения перпендикуляра с окружностью.

5. Полученные точки – решение уравнения sint = a.

6. Записать общее решение уравнения.

t₁ = arcsina +2, k.

t₂ = - arcsina +2,объединяя эти решения имеем:

t = (-1)^k arcsina +,

7. Какие особые случаи решения уравнения вы знаете?

а) sint=1 t= б) sint = -1, t= -в) sint=0 t=n

8. Если а отрицательное число, как записать решение этого уравнения?

t = (-1)^k+1 arcsina +, k.

III. Устно.

Решить уравнения:

а)sin x =; б)2sin x =2; в)sin 2x =0; г)3cosx = -3; д) tgx =1; е) cosx= 2,5.

Вычислить:

arccos;   arcos(-); arccos; arccos1; arcsin;  arcsin(-); arctg1; arctg(-).

Имеют ли смысл выражения:

а) arccos 5; arccos ; arctg3; arcsin(-2); arcсtg(-7).?

IV. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала.

Расскажите способ решения уравнения:

а) 2 sin² x +5 sin x -3 =0 (Замена на sin x =а, где IaI 1)

б) 3tgx +5ctgx -8=0 (ctgx заменяем на tgx и сводим к квадратному)

в) 2sin ²x +5cosx +1=0 (sin ²x заменяем через 1- cos² x, и сводим к квадратному)

г) (tgx-)(cosx-1)=0 (разложением на множители)

д) cos² x os²x -3 cosx =0. (разложением на множители).

е) 5 sin x + 2cosx =0

Какое уравнение вызывает трудность? (е)

Сегодня мы познакомимся с еще одним видом тригонометрических уравнений, которые получили специальное название.

V. Этап усвоения новых знаний:

Открыли тетради, записали число и тему урока: “Однородные тригонометрические уравнения”

Уравнение: 5 sin x + 2cosx =0 получило специальное название.

Рассмотрим решение данного уравнения.

Разделим почленно обе части уравнения на cosx0, имеем

5tgx +2 =0; tgx = 0,4; х = -arctg0,4 +k, kz

VI. Закрепление нового материала :

Рассмотреть у доски решение уравнений:

а) sin x + cosx =0 б) sin2 x - cos2x =0

VII. Этап проверки понимания учащимися нового материала:

Как вы думаете, будет ли однородным уравнение:

1. sin 2x +cos2x =0
2. sin x + cosx = 2
3. sin² x - 3sin x cosx +2cos²x =0 ( да будет, т.к. каждый член этого уравнения имеет вторую степень) Как будем решать данное уравнение? (Делением на cos²x 0)

sin² x - 3sin x cosx +2cos²x =0

tg² x - 3tgx +2 =0 , а₁ =2 и а₂ =1, tgx=2; х = arctg2 +z

tgx =1, х = arctg1 +z; x =,.

Решить у доски еще одно уравнение: 3sin² 2x +sin 2x cos2x – 2cos² 2x =0

3tg²2x +tg2x -2 =0 , а₁ = и а₂ =-1, tg2x=; 2х = arctg +z ,

х = arctg +, tgx =-1, x =-,.

VIII. Этап всесторонней проверки знаний:

Самостоятельная работа в форме тестированного контроля.

Дифференцированные задания по двум вариантам. (Учащимся предлагается выбрать правильный ответ). Подведение итогов на экране.

Самостоятельная работа

Разобрать решение уравнения:

5sin² x -14 sin x cosx – 3cos²x =2 (представим 2(sin² x + cos²x) в виде суммы квадрата тригонометрических функций)

5sin²x -14 sin x cosx – 3cos²x =2

5sin²x -14 sin x cosx – 3cos²x =2 (sin² x + cos²x)

3sin² x - 14sin x cosx -5cos²x =0/ cos²x

3tg² x - 14tgx -5 =0; а₁ =5 и а₂ =-, tgx =5; х = arctg5 +z

tgx =-, х = -arctg +z;

Ответы к самостоятельной работе:

IX. Подведение итогов, выставление оценок.

1. C каким видом уравнения мы познакомились на этом уроке?

2. Какие уравнения мы называем однородными?

3. Расскажите, как решаются однородные уравнения?

4. Как вы думаете, почему мы так много решаем тригонометрических уравнений?