Цели урока:
- сформировать знания, умения и навыки эффективного применения обобщенного метода интервалов, основанного на свойстве непрерывных функций;
- сформулировать алгоритм действий, приводящий к равносильным преобразованиям;
- научить самостоятельно применять его при решении неравенств;
- осуществлять перенос знаний, умений и навыков в новые условия.
Образовательная: систематизация, закрепление, обобщение знаний, умений и навыков.
Воспитательная: воспитание потребности полноценной последовательной аргументации, аккуратности, самостоятельности.
Развивающая: развитие математической логики, формирование математического стиля мышления (четкой расчлененности хода рассуждений), познавательного интереса.
Содержание урока: (слайд № 2, 3)
1) Введение, постановка цели и задач урока - 2 мин.
2) Проверка домашнего задания - 2 мин. (фронтальная работа, самоконтроль).
3) Математическое обоснование этапов решения неравенств методом интервалов - 4 мин (подготовленные ответы учащихся).
4) Повторение свойств неравенств – 2 мин.
5) Подготовка к усвоению (изучению) нового учебного материала через повторение и актуализацию опорных знаний – 5 мин. (фронтальная работа, ответы на вопросы, проблемные ситуации).
6) Обобщенный метод интервалов для решения неравенств, первичное осмысление – 13 мин. (коллективное решение неравенств методом интервалов: на доске и в тетрадях).
7) Информация о домашнем задании, инструкция о выполнении – 1 мин.
8) Закрепление новых знаний – 15 мин. (самостоятельная работа – вариант 1).
9) Подведение итогов урока, рефлексия – 1 мин.
1) Введение, постановка цели и задач урока. (Рассказ учителя)
1) Необходимость более широкого применения метода интервалов в школе диктуется идеологией всего процесса обучения математике. Речь идет о том, что функциональная линия (одна из главных при изучении основ математики) получает мощную технологическую поддержку. Метод интервалов базируется на таких важнейших характеристиках функциональной зависимости, как нули функции, промежутки ее знакопостоянства и монотонности. Тогда становится более наглядным функциональное происхождение уравнений и неравенств, а также методов их решения. Более наглядными становятся категории непрерывности функции, поведение ее графика в окрестностях точек бесконечного разрыва, теоремы о корне, знакопостоянстве, экстремальных точках и их видах. И все это органично увязывается в одно функциональное целое.
С другой стороны, неоценимое значение имеет и геометризация используемых объектов исследования, т.е. наглядно, образно представить весь используемый математический инструментарий функциональной зависимости.
Базовые принципы, заложенные в основу метода интервалов:
- функциональный (обобщенный) подход;
- опора на геометризацию функциональных свойств;
- визуализация исследования.
Это приводит к следующим преимуществам метода по сравнению с другими, использующимися в такого же рода задачах: простота и скорость достижения цели; наглядность (и возможность контроля или перепроверки); экономность в вычислительных средствах и времени; широта охвата всей ситуации, формирование и развитие навыков обобщенного мышления и анализа, а также связанные с этим умения делать логические выводы.
2) Проверка домашнего задания. (Слайд №4)
3) Рассказ о методе интервалов для решения неравенств. (Ответы учащихся).
Математическое обоснование решения неравенств методом интервалов.
1) Рассмотрим неравенства: (x-2)(x-3)>0. (слайд № 5)
Можно решать так: Произведение (частное) двух множителей положительно тогда и только тогда, когда оба множителя одного знака, т.е. неравенство равносильно совокупности двух систем: (слайд № 6)
Из первой системы получаем x >3, из второй x < 2.
Решением является объединение решений двух систем.
Ответ: 
Графический метод (слайд № 7)
Другой метод – метод интервалов (слайд № 8).
Его идея состоит в следующем.
Отметим на числовой прямой нули (корни) многочлена (x-2)(x-3), стоящего
в левой части неравенства, т.е. числа 2 и 3.
Когда x >3 (правее большего корня), то (x-2)(x-3)>0, так как каждый множитель положителен.
Если двигаться по оси в отрицательном направлении, то при переходе через точку х=3 множитель (х-3) поменяет знак. В произведении (х-2)(х-3) появится один отрицательный множитель, в результате (х-2)(х-3)<0. При переходе через следующий корень появится еще один отрицательный множитель и произведение (х-2)(х-3)>0.
Теперь легко записать решение неравенства: 
Вывод: произведение может изменить знак лишь при переходе через точки х=2 и х=3
и, следовательно, сохраняет знак на каждом из полученных промежутков.
На этом простом примере легко понять идею метода интервалов, но нельзя увидеть его заметных преимуществ.
Рациональность метода интервалов, его могущество рассмотрим на следующем примере (слайд № 9, 10,11, 12))
2) Решить неравенство (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)(x-9)(x-10)>0.
Чтобы решить это неравенство с помощью совокупности систем, пришлось бы рассматривать совокупность, состоящую из 512 систем по 10 неравенств в каждой системе.
Применим метод интервалов. Отметим на числовой прямой нули многочлена. На промежутке x>10 многочлен будет положительным, так как каждый множитель положителен. При переходе через каждый следующий корень многочлен будет менять знак, так как в произведении будет появляться дополнительный отрицательный множитель. Теперь легко записать решение неравенства, используя чередование знаков.
Преимущества метода интервалов.
- простота и скорость достижения цели;
- наглядность (и возможность контроля или перепроверки);
- значительное сокращение объема вычислительной работы и времени;
- широта охвата всей ситуации;
- формирование и развитие навыков обобщенного мышления и анализа, а также связанные с этим умения делать логические выводы.
Замечание. Очень удобно решать неравенства, левая часть которых разложена на множители, так как не представляет труда найти нули (корни).
Задание: Решить неравенство методом интервалов (x+3)3(x-4)2(x-5)>0 (Слайд 13)
4) Повторение свойств неравенств.
а) Вопрос: Какие неравенства называют равносильными?
(Два неравенства называются равносильными, если любое решение первого неравенства является решением второго и, обратно, любое решение второго является решением первого).
Или: два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают.
Слайд 14. Повторение свойств неравенств.
При решении неравенств используются следующие правила: 1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не меняя при этом знак неравенства. 2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и тоже положительное число, не меняя при этом знак неравенства. 3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и тоже отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный. 4. Неравенство, обе части которого положительны, после возведения в квадрат заменяется на равносильное. |
Слайд 15. Дать ответ на вопрос и объяснить.
Равносильны ли неравенства?
1) 4х-5<0 и 4х<5
2) -2х+5>0 и 2х-5<0
3) -3х2+5х-7>0 и 3х2-5х+7<0
4) (х+1)>0 и (х2+5х+10)(х+1)>0
5) Устная фронтальная работа по подготовке к усвоению (изучению) нового учебного материала через повторение и актуализацию опорных знаний.
Слайд 16. Определение функции непрерывной в точке.
Слайд 17. Свойство непрерывных функций.
Все целые, дробно-рациональные и основные тригонометрические функции дифференцируемы во всех точках своих областей определения. Следовательно, эти функции непрерывны в каждой точке своей области определения. Свойство непрерывных функций. Если на интервале (а; в) функция непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак. |
Слайд 18. Найти промежутки непрерывности.
Слайд 19. Найди ошибку.
Слайд 20. Решить неравенство устно, 
используя график.
Слайд 21, 22. Замена неравенства на равносильное условие.
Решить неравенство 
Данное неравенство равносильно условию f(x)<0,
считая 
Следовательно, надо найти все значения x, для которых выполнено условие f(x)<0.
6) Обобщенный метод интервалов для решения неравенств, первичное осмысление – 10 мин. (коллективное решение неравенств методом интервалов: на доске и в тетрадях).
Слайд 23 . Алгоритм. Обобщенный метод решения неравенств.
Решение неравенств f(x)>0, f(x)>0, f(x)<0, f(x)<0 методом интервалов. (Схема)
1. Рассмотри функцию y=f(x). 2. Найди её область определения D(f) 3. Найди нули функции, то есть реши уравнение f(x)=0. 4. Отметь на числовой прямой область определения и на ней нули функции y = f(x). 5. Определи знак функции f(x) на каждом из полученных промежутков. 6. Запиши ответ. |
Слайд 24 и 25. Решение неравенства по алгоритму. (Комментарии ко всем пунктам алгоритма).
Слайд 26 . Графическая иллюстрация решения этого неравенства.
Слайд 27. Решить неравенство на доске и в
тетрадях 
.
Слайд 28. Графическая иллюстрация решения этого неравенства.
Слайд 29. Решить неравенство на доске и в
тетрадях 
Слайд 30. Графическая иллюстрация решения этого неравенства.
Слайд 31, 32. Решить неравенство устно, по рисунку
7) Информация о домашнем задании. (Решить методом интервалов вариант №2)
8) Закрепление новых знаний (самостоятельная работа, вариант №1).
Вариант 1. Решить неравенства методом интервалов.
|
Вариант 2. Решить неравенства методом интервалов.
|
9) Подведение итогов урока, самоконтроль по готовым решениям (слайды 33, 34, 35), повторение алгоритма обобщенного метода интервалов и его применения.
10) Анализ усвоения материала и интереса учащихся к теме. Этот метод является универсальным при решении любых неравенств, в том числе, рациональных, с модулем, иррациональных, показательных, логарифмических, так как метод интервалов сводит решение неравенств к решению уравнений, нахождение области определения и значения функции в точке не вызывает затруднений. Но пришлось приводить примеры неравенств, где применение этого метода не оправдано, где рациональнее применить другие методы решения неравенств.
Презентация “Применение непрерывности при решении неравенств”. (35 слайдов)