Урок алгебры и начал анализа в 11-м классе

Разделы: Математика

Методическая информация

Тип урока: урок повторения и обобщения

Цели урока:

  • систематизировать, обобщить знания по теме, повторить определение функции, способы  задания, свойства  функции, сведенные в общую схему исследования; 
  • в ходе подготовки к ЕГЭ  повторить решение неравенств методом интервалов, повторить применение производной к исследованию функции, провести проверочную работу;
  • развивать логическое мышление; воспитывать чувство достоинства, гордости за родную страну.

Задачи урока: формирование навыков систематизации и обобщения знаний, навыков самостоятельной, творческой деятельности, формирование умения применять производную к исследованию функции, активизация познавательной деятельности учащихся, развитие логического мышления, развитие культуры математической речи учащихся, формирование чувства достоинства, чувства гордости за родную страну.

Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют, закрепят ученики в ходе урока: закрепят умения и навыки решения рациональных неравенств методом интервалов, применения производной к исследованию свойств функции, закрепят и систематизируют знания определения функции, множества значений функции, способов задания функции, свойств функции (нахождение точек пересечения с осями координат, чётность, нечётность, периодичность, промежутки знакопостоянства, точки экстремума, экстремумы), сведут свойства функции в общую схему исследования, актуализируют связь между свойствами функции и её графиком, приобретут навыки творческой,  самостоятельной деятельности, грамотной математической речи, ощутят чувство достоинства и гордости за родную страну.

Необходимое оборудование и материалы: компьютер, проектор,  экран, презентация, раздаточный материал, учебник «Алгебра и начала анализа». 10–11 класс. / Под редакцией  А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 2008 г.

Ход и содержание урока

I. Мотивация учащихся. Психологический настрой. (1 минута)

Цели этапа: 

  • настрой учащихся на учебную деятельность;
  • пояснить,  какой раздаточный материал будет использоваться во время урока.

Учитель: «Здравствуйте, уважаемые гости (урок проведен на семинаре-совещании директоров общеобразовательных учреждений муниципального образования Славянский район), здравствуйте, ребята. Автор  нашего учебника, академик Андрей  Николаевич Колмогоров сказал:

«… Математические сведения могут применяться умело и с пользой  в том случае, если они усвоены творчески, так, что учащийся видит, как можно было бы прийти к ним самостоятельно». (на экране слова  А.Н. Колмогорова)

Ребята, я желаю вам творчества, успешного самостоятельного пути в достижении знаний. Тема сегодняшнего урока: «Функция, определение, способы задания, свойства  функции». На уроке мы должны, как обычно, 10 минут уделить подготовке к ЕГЭ, повторить решение неравенств методом интервалов, применение производной к  исследованию функции, написать проверочную работу, систематизировать и обобщить знания по теме урока и закрепить их.

II. Повторение, подготовка к ЕГЭ. (10 минут)

Этот этап урока проводится на каждом уроке, его целью является систематическое повторение, подготовка к ЕГЭ.

Класс  условно разделен на 4 группы (в классе 23 ученика) 

1. На доске задания:

a) Найти  Д (у), если  у = формула1

b) Решить неравенство: формула2

c) Найти  Д (у), если   у = формула3

d) Найти  Д (у), если  y = формула4

Учащиеся первой  группы решают задание – а,  второй – b,  третьей – с, четвертой – d. Четыре человека из соответствующих групп  работают у доски, остальные – в тетрадях. Закончив решение, комментируют его, если возникнут вопросы.

2. Применение производной  к исследованию свойств функции. На экране слайды №1, №2, №3, подготовленные учителем. Учащиеся выходят к экрану  и объясняют правильность решения. Идет корректировка знаний, постоянно звучит вопрос учителя – «Почему?»

Проверка и оценивание ЗУНКов.

III. Проверочная дифференцированная (разноуровневая) работа. (9 минут)

Цель этапа: проверка знаний учащихся.

4 варианта раздаются учащимся на карточках. На предыдущих уроках осуществлялось повторение тем, включённых в самостоятельную работу.   

ВАРИАНТ 1

1. Найти значения выражения: (x - y)/xy  если  х = 1/3; у = 1/5

1) -2 ; 2) 7,5 ; 3) 2 ; 4) -7,5

2. Найти область определения функции, график которой  изображен на рисунке.

1) (- 4; 5]; 2)  (-4;  5) 3) [-4;  -3) 4)  [-4; 5]

3. Найти множество значений этой же функции:

1) [-4; 3];  2)  [-4; 3) ;   3)  [-4; 5]

график1

4. Указать наибольшее целое из множества значений функции y = – (1/3)х + 2

1) 1;    2) 2;     3) 3;    4) 0

ВАРИАНТ 2

1. Найти значение выражения:  формула5,  если а = -√2/2   ; в = -√3 ; с = 0,5

1) -0,5; 2) 0,5; 3) 12,5; 4) 24,5

2. Решить неравенство  формула6

3. Найти область определения функции формула6

4. Указать множество значений функции, график  которой  изображен на рисунке. 

график2

1) (-3; -2) и (-2; 3); 2) [-3; 3]; 3) (-2; 3); 4) [-2; 3]

ВАРИАНТ 3

1. Вычислить: формула7

2. Найти  Д(у), если  у = формула8

3. Решить неравенство:  формула9

4. Функция у = f(х) определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом Т = 4. На рисунке изображен график этой функции при -2 < x ≤ 2. Найти значение выражения f(7) + 2f(-4) · f(-10)

график3

ВАРИАНТ 4

1. Функция у = f(х) определена на всей числовой прямой и является периодической  с периодом, Т = 5. На рисунке изображен график этой функции при 1 ≤ х ≤ 6. Найти значение выражения: формула10

график4

2. Вычислить: формула11

3. Найти количество целочисленных решений неравенства, удовлетворяющих условию │x│ ≤ 5 

формула12

IV. Рефлексия деятельности на уроке. Обобщающее повторение теоретического материала темы урока. (15 минут)

Цель этапа:  систематизация и обобщение теоретических знаний по теме: «Функция, определение, способы задания, свойства функции».

  1. Беседа с классом.
    • Дайте определение функции.  (Это зависимость переменной у от переменной х, когда каждому значению х соответствует единственное значение у.)
    • Какое слово в  определении самое «важное»? (Еинственное).
    • Каковы способы задания функции? (Графический, табличный, аналитический, описательный).
    • Что такое область определения функции?  (Множество значений аргумента, при которых функция имеет смысл).
    • дайте определение функции.  (Это зависимость переменной у от переменной х, когда каждому значению х соответствует единственное значение у).
  2. Ребята, сейчас мы составим с вами общую схему исследования функции.  На экране: область определения функции (по мере продвижения появится вся схема)
    • Как найти точки пересечения графика с осями координат?  (С осью абсцисс. F(х) = 0, решить уравнение. Число корней уравнения равно количеству нулей функции.  С осью ординат  х = 0, находим f (0))
    • Какая функция называется четной, а какая нечётной?  (Если область определения симметрична относительно нуля  и для любого  х принадлежит Д (f)  выполняется равенство  f(-x) = f(x),  то f(x) – четная, f(-x) = -f(x), то f(x) – нечетная.)
    • Что вы можете сказать  о графиках четных и нечетных функций? (Графики четных  симметричны относительно оси ординат, графики нечетных – относительно начала координат)
    • Какая функция называется монотонно возрастающей, а какая монотонно убывающей?  (Если  для х1 принадлежит J , х2 принадлежит J, причем  х1 > х2, выполнено условие f (х1) > f (х2), то функция  у = f (х) называется монотонно возрастающей на J . Если f  (х1) < f (х2), то функция  у = f (х) называется монотонно убывающей на J) .
    • Дайте определение точек экстремума.  (Точка х0  называется точкой минимума функции f , если для всех х из некоторой окрестности х0  выполнено неравенство f (х) ≥ f (х0), точка х0  называется точкой максимума функции f , если для всех х из некоторой окрестности х0  выполнено неравенство  f (х) ≤ f (х0). Точки максимума и минимума называют точками экстремума)
    • Какая функция называется периодической?  (Если существует такое число Т ≠ 0, что для любого х принадлежит Д (f) числа х + Т и х - Т тоже принадлежат Д (f) и f (x) =  f (x + T) = f (x - T), то у = f(x) – периодическая с периодом Т)
    • Что называется промежутком знакопостоянства функции? (Множество J, на котором функция не меняет свой знак, называется промежутком знакопостоянства функции.)
    • Дайте определения множества значений функции. (Область значений функции – это множество, состоящее из всех значений¸ которые может принимать функция на области определения.)

Общая схема исследования функции:

  1. Область определения функции.
  2. Определение точек пересечения графика функции с осями координат.
  3. Исследование функции на чётность.
  4. Исследование функции на монотонность.
  5. Исследование функции на экстремум.
  6. Исследование функции на периодичность.
  7. Определение промежутков знакопостоянства.
  8. Область значений функции.
  9. Построение графика функции.

Итак, перед вами общая схема исследования функции. На экране слайд №4.

V. Закрепление теоретических знаний по теме урока.  (7 минут)

Цель этапа: проверка применения теоретических знаний.

А теперь внимание на экран.

На экране слайды №5, №6, №7, №8, №9,  подготовленные учителем.

Учащиеся отвечают на поставленные вопросы, идёт корректировка знаний

VI. Самостоятельная работа учащихся с последующей проверкой. (2 минуты)

На экране слайд №10, по мере выполнения – слайд №11.

VII. Подведение итогов урока, домашнее задание. (1 минута)

Цели этапа: 

  • оценить работу учащихся.
  • дать домашнее задание.

Домашнее задание дается дифференцированное (разноуровневое) на карточках (карточки прилагаются).

Ребята,  работали вы сегодня отлично, творчески, показали прочные знания. Мы все хотим, чтобы в нашей стране дома строились прочно, лечили и учили нас на «отлично», транспорт ходил по расписанию, средства связи были надёжны, при изготовлении лекарств технологические процессы неукоснительно соблюдались.  Я верю, что вы успешно сдадите ЕГЭ, наше общество пополнится грамотными людьми, способными определять нашу технологическую и военную безопасность,  станете достойными гражданами великой России. До свидания, гости, до свидания, ребята.

P.S.

Хочу отметить, что систематическое включение в урок этапа «Повторение, подготовка к ЕГЭ» (10 минут), а также умелое применение мультимедиа технологий и дифференцированного обучения позволили мне добиться неплохих результатов на ЕГЭ. В 2005–2006 учебном году сдавали 2 класса: 11а и 11б (39 человек), обученность – 100%, качество знаний – 64%.В 2008–2009 учебном году 11б класс, в котором я проводила этот урок, сдал ЕГЭ прекрасно. При пороге успешности – 21 балл минимальное количество баллов – 44, максимальное – 74.