Урок по алгебре и началам анализа в 10-м классе по теме "Применение производной к исследованию функций"

Разделы: Математика

Цели урока:

  • Обучающая (Систематизировать и обобщить знания учащихся по вопросу)
    • Систематизировать и обобщить знания учащихся по вопросу нахождения промежутков возрастания, убывания;
    • Систематизировать и обобщить знания учащихся по вопросу нахождения экстремумов функции;
    • Систематизировать и обобщить знания учащихся по вопросу исследования и построения графиков функции с помощью производной;
    • Отработать задания тестов ЕГЭ, закрепить навыки чтения и исследования функции с помощью производной.
  • Развивающая
    • Способствовать развитию общения как метода научного познания, аналитико-синтетического мышления, смысловой памяти и произвольного внимания;
    • Способствовать развитию навыков исследовательской деятельности (планирование своей деятельности, выдвижение гипотез, анализ и обобщение полученных результатов).
  • Воспитательная
    • Развивать у учащихся культуру общения, способствовать развитию творческой деятельности учащихся, потребности к самообразованию.

Ход урока

I. Закрепление и систематизация изученного материала

1) Математический диктант.

Учащиеся выполняют задание в рабочей тетради. Выполнения задания проверяют у друг друга. После провести устный опрос.

1. Что вы можете сказать о характере изменения функции, если:

а) f´(x) > 0 для всех x ∈ R

б) f´(x) < 0 для всех x ∈ R.

Ответ: а) возрастает, б) убывает.

2. Что можно сказать об угловом коэффициенте касательной к графику функции, если известно, что функция  : : а) возрастает, б) убывает?

Ответ: а) положительный, б) отрицательный.

3. Какие из данных функций возрастают, а какие убывают на всей числовой прямой:

а) у = х3 + х, б) у = - х5.

Ответ: а) возрастает, б) убывает.

4. Может ли значение функции в точке максимум быть меньше её значения в точке минимума.

Ответ: Да.

2) Решение задач.

Пример 1.

Работа с графиками производной, если известны свойства функции.

У каждого на столе карточки с заданиями. Разобрать решение совместно.

1. Найдите эскиз графика производной функции у = g´(x), если известно, что функция у = g(x) убывает на всей числовой прямой (рис.1):

рис.1

Рис. 1

2. Функция у = f(x)  задана своим графиком (рис.2). Определите, для каких значений х выполняется y = f´(x) > 0.

рис.2

Рис. 2

1) (-∞; 4) U (-2; 3); 2) (-7; -3) U (0; 5); 3) (0; 4); 4) (-7; 4)

3. Функция у = f(x) задана своим графиком.  Укажите, в какой точке графика касательная к нему параллельна оси абсцисс.

1) (4;3); 2) (5;4); 3) (3;1)

рис.3

Рис. 3

4. Найдите эскиз графика производной функции у = g´(x), если известно, что функция у = g(x) имеет единственный максимум:

рис.4

Рис. 4

5. Функция у = f(x) задана своим графиком. Определите, для каких значений х выполняется y = f´(x) < 0.

1) (-∞; 5) U (-2; 3); 2) (-7; -3) U(0; 5);  3) (0; 4);  4) (-7; 4)

рис.5

Рис. 5

6. К графику функции у = f(x)  в точке абсциссой х0 = -3 проведена касательная. Определите коэффициент касательной, если на рис. изображен график производной данной функции.

1) 4; 2) 0; 3) 3; 4) 1.

рис.6

Рис. 6

7. На рис.7 изображен график производной некоторой функции. Укажите интервал, на котором функция убывает.

1) (-3; 0]; 2) (-2;2); 3) (-∞; 0]; 4) [0;+∞).

рис.7

Рис. 7

8. Функция у = f(x) определена на промежутке [-7;7]. На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку х0, в которой функция у = f(x) принимает наименьшее значение.

1) 2; 2) 0; 3) – 4; 4) 7.

рис.8

Рис. 8

9. Функция у = f(x) задана своим графиком. Укажите, в какой точке графика касательная к нему параллельна оси абсцисс.

1) (-3;-2); 2) (4;-2); 3) (3;1); 4)(-1;-3).

рис.9

Рис. 9

Пример 2.

1. По графику функции у = f(x) , изображенному на рисунке, построить эскиз графика её производной.

№898.

2. По графику производной, изображенному на рисунке, построить график функции.

№899

4 человека выполняют задание на доске, остальные самостоятельно оформляют решение в тетрадях. Выполнение задания проверяют самостоятельно, сравнивая свои графики с графиками, выполненными на доске.

3) Теоретическая разминка.

Ученики задают друг другу вопросы по теории.

Примерные вопросы:

  1. Определение возрастающей,  убывающей, монотонной функции.
  2. Определение точек максимума, минимума.
  3. Определение точек экстремума.
  4. Сформулировать алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы
  5. Сформулировать достаточные условия экстремума.

 

II. Самостоятельная работа.

Исследовать функцию и построить ее график.

Каждый ученик исследует функцию, заданную графиком

I. у = х5 – 5х               II. у = 5х3 – 3х5

Поместить  правильные ответы на крыльях доски или демонстрируя через кодоскоп.

Ученики консультанты, чьи работы были проверены учениками, проверяют самостоятельную работу.

III. Работа над ошибками.

«Найдем ошибки!»

Предлагаются для обсуждения вопросы, которые содержат часто встречающиеся.

1) Определяя точки минимума функции, учащийся нашел, при каких значениях аргумента значения функции равны 0. Затем из этих значений он выбрал те, проходя через которые функция меняет знак с « - » на « + ». Эти точки он назвал точками минимума. Прав ли он?

2) Определяя точки минимума функции, учащийся нашел те значения аргумента, при которых обращается в 0. Эти точки он назвал точками минимума. Прав ли он?

3) График производной. Определяя точки минимума, ученик указал точку х = 2. Прав ли он?

рис.10

Рис. 10

4) График производной. Определяя точки минимума, ученик указал точки х = -4, х = 1, х = 3. Прав ли он?

рис.11

Рис. 11

5) График производной. Определяя точки минимума, ученик указал точку х = -2. Прав ли он?

рис.12

Рис. 12

IV. Проверка домашнего задания.

Предложить учащимся проиллюстрировать характерные свойства функций с помощью пословиц. Пословицы – это отражение устойчивых закономерностей, выверенных многовековым опытом народа.

«Графики функций – пословицы».

Примеры.

1) Повторение – мать учения.

рис.13

Рис. 13

2) Любишь с горки кататься, люби и саночки возить.

рис.14

Рис. 14

3) Как аукнется, так и откликнется.

рис.15

Рис. 15

V. Домашнее задание.

(С1): 1) Найти точки минимума функции формула1

(С1): 2) Найти стационарные точки функции формула2

(С1): 3) Найти точки максимума функции формула3

4) Составить кроссворд по теме: «Геометрический и физический смысл производной» или рекламный ролик по теме «Вычисление производных».

VI. Подведение итогов урока.

Учебно-методическое обеспечение:

  1. А. Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. Часть 1. Учебник.
  2. А.Г.Мордкович и Пр. Алгебра и начала анализа. Часть 2. Задачник.
  3. Л. А. Александрова. Алгебра и начала анализа. Самостоятельные работы / Под ред. А. Г. Мордковича.
  4. Л. О. Денищева, Т. А. Корешкова. Алгебра и начала анализа. Тематические тесты и зачеты / Под ред. А. Г. Мордковича.
  5. А. Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. Методическое пособие для учителя.
  6. Тематические тесты. Математика. ЕГЭ-2009. Часть I(A1 – A10, B1 – B3) / Под редакцией Ф.Ф. Лысенко. – Ростов- на – Дону: Легион,2009. 256 с. (Серия «Готовимся к ЕГЭ»).
  7. Тематические тесты. Математика. ЕГЭ-2009. Часть II (B4 – B8, C1 – C2 / Под редакцией Ф.Ф. Лысенко. – Ростов-на-Дону: Легион, 2009. 256 с. (Серия «Готовимся к ЕГЭ»).
  8. Математика. 5-11 классы: игровые технологии на уроках / авт.- сост. Н.В. Барышникова. – Волгоград: Учитель, 2007. – 154 с.