Гармония – вот что лежит в основе всех видов искусства на всем протяжении человеческой истории.
(Академик И.В.Жолтовский)
Цели:
Обучающая: приобретение знаний по математике, литературе, искусству,
осознание разнообразия применения математики в
реальной жизни.
Развивающая: развитие личности
старшеклассников: способность понимать гармонию
окружающего мира; развитие интереса к
творческой, исследовательской работе.
Воспитывающая: воспитание у учащихся
стремления к целенаправленному преодолению
трудностей на пути познания.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, тематическая литература (выставка), исследовательские работы учащихся, геометрические инструменты, тексты литературных произведений.
План занятия:
- Введение. Понятие золотого сечения.
- История золотого сечения.
- Исследование числа Ф.
- Построение "золотого прямоугольника".
- Золотые пропорции в литературе. Поэзия и золотое сечение.
- Итог занятия (обобщающая беседа).
1. Введение. Понятие золотого сечения
Математика и литература, что общего между ними… Какие точки соприкосновения этих дисциплин можем мы найти?... Самой яркой такой точкой является “золотое сечение”.
В мире существует уникальная пропорция, которую называют “формулой красоты”. К этой пропорции применяют эпитеты “золотая”, “божественная”, “золотое сечение”, последний эпитет наиболее распространен. Понятие “золотое сечение” ввел Леонардо да Винчи.
Суть золотой пропорции заключается в следующем:
Если целое разделить на две части, то отношение большей части к меньшей равно отношению целого к большей части.<Рисунок 1>
2. История золотого сечения
Кто и когда изобрел золотую пропорцию наукой не установлено. По мнению Н.Васютинского, ее “неоднократно открывали, забывали и открывали заново в разное время и в различных странах”.[1] Одни ученые считают автором “золотого деления” Пифагора, другие уверены, что греческий философ и математик позаимствовал знания у египтян и вавилонян, которые пользовались золотыми пропорциями, создавая огромные фигуры фараонов и богов по частям. Установленные каноны позволяли по одной части определить целое и размеры других частей.
В фасаде Парфенона присутствуют золотые пропорции. При раскопках этого древнегреческого храма обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления. <Рисунок 2>
Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно золотому сечению. А Аристотель нашел соответствие золотого сечения этическому закону. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам "Начал" Евклида. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне, они были известны только посвященным. Высшую гармонию золотого сечения проповедовали Леонардо да Винчи и Микеланджело. Христианские мистики будут рисовать на стенах своих монастырей пентаграммы золотого сечения, спасаясь от Дьявола(еще в древности люди видели в пентаграмме нечто таинственное, сакральное – именно ее выбрали пифагорейцы символом своего союза, да и в современном мире пятиконечная звезда красуется на многих флагах и гербах).
В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли "Божественная пропорция", в которой монах Лука Пачоли утверждал, что в золотой пропорции заключена "божественная суть" (малый отрезок - олицетворение бога сына, больший отрезок - бога отца, а весь отрезок - бога духа святого).
В то же время в Германии Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей теории исследователь отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица - ртом и т.д. <Рисунок3>
Интерес к золотому сечению вновь появляется в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд "Эстетические исследования".
Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа - важнейший показатель золотого сечения. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела.
В конце XIX - начале XX вв. появилось огромное количество теорий, базирующихся на применении золотого сечения.
Эта пропорция является господствующей не только во многих произведениях искусства, но она определяет закономерности развития многих организмов, ее присутствие отмечают почвоведы, химики, геологи и астрономы [1].
3. Исследование числа Ф
Выясним чему равно значение золотой пропорции, и какое это число - рациональное или иррациональное? Для этого воспользуемся математическими выкладками.
Пусть точка К делит отрезок в золотом отношении: <Рисунок 4>
a — длина всего отрезка, b — длина большей его части.
Тогда имеет место пропорция:
Разделим обе части равенства на b2
обозначив отношение, получим уравнение:
Его положительный корень 
есть число
иррациональное, приблизительно равное 1,6.
4. Практическое задание. Построение "золотого" прямоугольника
Задача. Построим “золотой прямоугольник”. Для построения золотого прямоугольника необходимо выполнить следующие действия:
1. Начертить квадрат и разделить его на два равных прямоугольника;
2. В одном из прямоугольников провести диагональ АВ;
3. Циркулем провести окружность, радиус которой АВ будет иметь центр в точке А;
4. Продолжить основание квадрата до пересечения с дугой в точке F и провести под прямым углом вторую сторону искомого прямоугольника.
Измерить линейкой длины сторон построенного прямоугольника CDEF, и вычислить отношение большей стороны к меньшей, убедившись, что оно равно значению 1,6.
Теперь докажем, что построенный прямоугольник является золотым. Найдем соотношение сторон построенного прямоугольника <Рисунок 5>
Пусть сторона квадрата а, выразим диагональ АВ через а.
Согласно теореме Пифагора
Найдем длины сторон построенного прямоугольника:
Отношение большей стороны
прямоугольника к меньшей равно 
. Таким образом, построенный
прямоугольник является “золотым”.
Учащиеся получают индивидуальные задания исследовательского характера:
5. Золотые пропорции в литературе. Поэзия и золотое сечение
Необходимо отметить, что литература не является наукой, это особый вид искусства, поэтому нельзя подходить к анализу художественных произведений только с точки зрения математических формул, логики. Литература часто обращается к иррациональному, субъективному, недосказанному, находя путь к уму и сердцу читателя. В основе литературного произведения лежат принципы гармонии и красоты, а следовательно, и золотая пропорция. Это проявляется в:
- чередовании ударных и безударных слогов (ритм),
- проявлении законов симметрии,
- композиционном построении произведений,
- в эмоциональной насыщенности и т.д.
Андрей Чернов, исследуя памятник древнерусской литературы ХП века “Слово о полку Игореве”, пришел к выводу, что структура произведения подчиняется математическим законам: в основе лежит круговая композиция. [7]
Если число стихов во всех трех частях
(804) разделить на число стихов в первой и
последней части (256), получается 3,14, т.е. число 
.
Академик АН СССР Г.В.Церетели, изучая структуру поэмы Шота Руставели “Витязь в тигровой шкуре”, написанную катренами, каждый стих которой состоит из 16 слогов и делится на равные полустишия по 8 слогов с цезурой (слоговой раздел, пауза) между полустишиями, пришел к выводу, что поэма построена по принципу золотого сечения. Проявляется симметрия в строках, построенных по формуле (16=8+8, 8+8) и золотое сечение в ассиметричных строках (16=8+8, 8=5+3=3+5).
Кроме того, грузинский лингвист заменил каждое слово числом, равным количеству слогов в нем (перевел на числовой язык), и установил, что в 6348 шестнадцатисложных строках проявляется золотое сечение, выраженное в сочетании чисел 3,5,8. [7]
Учащимся предлагается проанализировать отрывок из поэмы, найти проявление золотого сечения:
Вот в саду моем прекрасном сохнет роза, увядая,
Но, смотрите, ей на смену появляется другая.
Долго жил я в этом мире, ныне смерть ко мне стучится,-
Дочь моя пускай отныне правит вами как царица.
Стоит обратить внимание на величину стихотворения, то есть на количество строк в нем. Казалось бы, этот параметр стихотворения может изменяться произвольно. Однако оказалось, что это не так.
Например, анализ стихотворений А.С. Пушкина с этой точки зрения показал, что поэт явно предпочитает размеры в 5, 8, 13, 21 и 34 строк (числа Фибоначчи).
Вместе с учащимися находим в сборниках стихотворения, соответствующие этим размерам. (8 строк: “В крови горит огонь желанья…”, “Я вас любил: любовь еще, быть может…”, “Пора, мой друг, пора! покоя сердце просит…”; 13-14 строк: “Сапожник”, “Поедем, я готов; куда бы вы, друзья…”, “Сонет”, “Поэту”, “Мадонна”, “Няне”; 20-21 строк: “Храни меня, мой талисман…”, “Во глубине сибирских руд…”, “Поэт”, “Когда в объятия мои…”, “Я памятник себе воздвиг нерукотворный…”).
Числа Фибоначчи в творчестве А.С.Пушкина часто определяют внутреннюю композицию стихотворений. Кульминацией является точка деления произведения по законам золотого сечения. Из 106 произведений в 54 встречается деление, равное числам Фибоначчи: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55
Гений А.С.Пушкина в полной мере раскрывается в романе “Евгений Онегин”. Н. Васютинский нашел проявление золотой пропорции в этом произведении. Исследователя заинтересовала 8 глава, которая, по его мнению, является самой яркой в произведении: "Кульминацией главы является объяснение Евгения в любви к Татьяне - строка "Бледнеть и гаснуть ... вот блаженство!". Эта строка делит всю восьмую главу на две части - в первой 477 строк, а во второй - 295 строк. Их отношение равно 1,617! Тончайшее соответствие величине золотой пропорции! Это великое чудо гармонии, совершенное гением Пушкина!".
Практическое задание:
Проанализируйте стихотворение “Пора, мой друг, пора!”. Найдите проявление золотой пропорции в данном стихотворении. Обоснуйте свое мнение.
Пора, мой друг, пора! Покоя сердце просит –
Летят за днями дни, и каждый час уносит
Частичку бытия, а мы с тобой вдвоем
Предполагаем жить… И глядь – как раз – умрем.
На свете счастья нет, но есть покой и воля.
Давно завидная мечтается мне доля –
Давно, усталый раб, замыслил я побег
В обитель дальнюю трудов и чистых нег.
Стихотворение состоит из 8 строк, которые можно разделить на две смысловые части. 1 часть -5 строк, в которых содержится обращение к другу, рассуждения о сущности бытия. 2 часть – 3 строки, в которых лирический герой рассказывает о своих планах. В 8 строках стихотворения мы видим 13 простых предложений. Это закономерность творческого восприятия поэта, интуитивное чувство гармонии.
Многие литературоведы обращают внимание на знаменитое стихотворение Лермонтова "Бородино". Оно делится на две части: вступление ("Скажите, дядя, ведь недаром..."), и главную часть, которая распадается на две части (ожидание боя и сам бой). Граница между этими частями является кульминационной точкой произведения и приходится как раз на точку деления его золотым сечением. [7]
Главная часть стихотворения состоит из 13 семистиший, то есть из 91 строки. Разделив ее золотым сечением (91:1,618 = 56,238), убеждаемся, что точка деления находится в начале 57-го стиха, где стоит короткая фраза: "Ну ж был денек!".
Таким образом, золотое сечение играет в поэзии весьма осмысленную роль, выделяя кульминационный пункт стихотворения.
Учащиеся получают задание:
Подготовить доклады на тему “Золотое сечение в застывшей музыке храмов, архитектурных шедевров”.
Доклады – репродуктивный вид деятельности. Для подготовленных классов можно предложить исследовательскую работу по нахождению золотого сечения в зданиях родного города.
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО
НАХОЖДЕНИЮ
ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ В ЗДАНИЯХ ГОРОДА ТАГАНРОГА
6. Итог занятия (обобщающая беседа)
Следовательно, в школе необходима интеграция учебных предметов. Мы можем смело утверждать о тесной связи математики, литературы, живописи, музыки, архитектуры – словом, всего того, что и составляет нашу жизнь. Человек должен научиться видеть единство всего сущего. Чтобы природа, мир не рассматривались как механическая совокупность химических, биологических, исторических и других факторов, а рассматривались как единое целое.
Литература:
- Н.Васютинский “Золотая пропорция”, М, Молодая гвардия, 1990.
- С.Андреенко “Таганрог познавательное путешествие по легендам и былям старого города”, Таганрог, АНТОН, 2004. http://www.abc-people.com/idea/zolotsech/ http://ru.wikipedia.org/wiki/ http://www.log-in.ru/articles/432/
- Волошинов А.В. "Математика и искусство", Просвещение, 2000.
- Квант, 2003, №2.
- Приложение к журналу "Квант", 2004, №3.
- И.М.Соколов "Фракталы", Квант, 1989, №5.
- Энциклопедический словарь юного математика, Педагогика, М., 1985.