Авторская программа преподавания математики в школе-интернате для одаренных детей "Интеллектуал"

В 2004–2010 гг. для группы учеников, выбравших математику в качестве предмета своего особого предпочтения, проводился эксперимент по систематическому включению в государственную программу элементов так называемой “Высшей математики”.

Кавычки употреблены здесь постольку, поскольку деление это условно. и граница между школьной и вузовской математикой проведена по бюрократическим и иным нематематическим и непедагогическим соображениям. Она меняется со временем и от школы к школе. В разных математических школах и классах уже давно практикуется вторжение на “сопредельную территорию”. Правда, зачастую оформляется это в виде отдельных спецкурсов, кружков и т.п. Часто мы видим также, что разные разделы математики (алгебру, геометрию, матанализ) преподают разные учителя и на наш взгляд, это не способствует созданию у школьников целостного представления о математике как о едином предмете. В ходе эксперимента, начиная с 6-го класса и по 11-ый включительно, весь курс преподавался как интегрированный предмет, в котором геометрические факты следовали из алгебраических и аналитических соображений, а иногда геометрия привлекалась для обоснования алгебраических и аналитических фактов.

В психолого-педагогическом плане эта программа позволяет лучше использовать мотивацию пытливых и способных учеников, усиливает их заинтересованность в проникновении в глубины предмета. В предметном же отношении, она призвана ускорить формирование абстрактных категорий и изменить порядок прохождения материала от исторического порядка к порядку, обусловленному внутренней логикой предмета и зоной ближайшего развития ученика. Заодно обеспечивается непрерывность математического образования. Решается проблема ликвидации скачков между различными этапами школьного и высшего математического образования.

Методика преподавания заключалась в следующем: подготавливались и раздавались материалы, так называемые конспекты, по соответствующим разделам математики, содержащие определения, примеры, мотивировку и краткую историческую справку в конце. В основном же, как это принято в математических школах и кружках, конспекты эти состояли из цепочек задач и упражнений различной сложности, покрывающих в своей совокупности проходимый материал. К более трудным задачам давались краткие указания мелким шрифтом и на английском языке, чтобы не провоцировать школьников к чтению этих подсказок до того, как они попытались бы справиться с задачей самостоятельно. Задачи эти по большей части, делались дома, сдавались и оценивались, как домашние задания. Часть из них делалась ex prompto в классе.

На уроках, носящих характер семинаров, нерешённые дома кем-либо из учеников задачи, решались теми учениками, которые их решили. Если же задача оказывалась непосильной для всех, то после дополнительных указаний со стороны учителя, она вновь задавалась на дом. Так мы проходили конспект за конспектом, причём весьма существенная часть этой работы проводилась учениками во время их летних каникул.

Попутно решалась ещё одна важная задача: выработка навыка самостоятельного чтения научно-технического текста. Разумеется, сложность этих конспектов возрастала по мере роста математической культуры учащихся.

Количество часов в неделю (алгебру и геометрию вместе) было таким: в шестом классе 6 часов, в седьмом 7, в 8-10 по восемь часов и в 11-ом 9 (правда, из-за частых сборов и соревнований занятия в 11-ом классе происходят крайне нерегулярно).

Ниже приводится примерный список названий конспектов с 6-го по 11-ый классы и даётся выборка из списков вопросов к экзаменам к некоторым из них (работа над конспектом, как правило, заканчивается сдачей соответствующего экзамена).

Список конспектов 2004–2010

1. Логика.
2. Множества.
3. Построение целых и рациональных чисел.
4. Делимость.
5. Построение вещественных чисел. Элементарные функции вещественной переменной.
6. Введение в теорию групп.
7. Действие групп на множествах.
8. Введение в теорию колец.
9. Введение в теорию полей.
10. Введение в линейную алгебру.
11. Комплексные числа.
12. Алгебра многочленов.
13. Введение в теоретико-множественную топологию.
14. Введение в общую топологию.
15. Пределы числовых последовательностей, ряды и бесконечные произведения.
16. Начала Анализа.
17. Введение в Анализ-1.
18. Введение в Анализ-2.
19. Аффинная геометрия.
20. Проективная геометрия.

Примеры экзаменационных вопросов к конспекту №5:

1. Докажите, что множество рациональных чисел Q разбивается на два непустых подмножества А и В:

Определение (Дедекиндовых) сечений. Рациональные сечения. Операции с сечениями. Сравнение сечений. Множество сечений образует упорядоченное поле R, в котором подполе рациональных сечений изоморфно полю рациональных чисел ¤ .

2. Между любыми двумя вещественными числами найдётся рациональное число.
3. Теорема Дедекинда о полноте поля вещественных чисел R.
4. Между любыми двумя вещественными числами находится иррациональное число.
5. Определение (в том числе, существование) степени и логарифма в области вещественных чисел. Области определения и значений этих функций. Основные свойства этих функций.
6. Графики приведённых квадратных трехчленов – конгруэнтные параболы. Дискриминант квадратного трёхчлена. Симметрические многочлены и их выражение через основные симметрические многочлены. Возвратные уравнения и способ их решения.
7. Определение и графики основных тригонометрических функций и функций, обратных к ним. Области их определения и значений. Вывод основных тригонометрических тождеств.

Примеры экзаменационных вопросов к конспектам №№6,7:

1. Порядок подгруппы конечной группы делит порядок группы.
2. Циклическая группа – абелева. Подгруппа циклической группы – тоже циклическая. Для любого делителя m порядка n циклической группы в ней существует подгруппа порядка m.
3. Сумма подгрупп. mZ+nZ=dZ, где d=(m,n). Если числа m и n взаимно просты, то разрешимо уравнение в целых числах: mх+nу=1. Если простое число р делит произведение двух чисел m и n, то оно делит хотя бы одно из них.
4. Если число m не делится на простое число р, то (modp).
5. Докажите, что при любом S нормализатор N(S)- подгруппа группы G.
6. Докажите, что при любом S централизатор Z(S)- подгруппа группы G.
7. Длина орбиты = индексу группы изотропии любого её элемента.
   Пусть Н = некоторая подгруппа группы G. Тогда нормализатор и число сопряжённых с Н подгрупп в G равно индексу N_H в G.
8. Формула разложения на орбиты. Формула классов.
9. Если G – конечная абелева группа порядка n и показателя m, то существует степень m, которая делится на n.
10. Если порядок конечной абелевой группы делится на простое число р, то в ней найдётся подгруппа порядка р.
11. p-подгруппы и силовские р-подгруппы. Первая теорема Силова:
    Пусть G – конечная группа и р – простой делитель её порядка. Тогда в ней существует силовская р-подгруппа.
12. Нормализатор N(H) подгруппы Н является наибольшей подгруппой группы G, для которой Н является нормальной подгруппой. Пусть К и Н – подгруппы группы G и К N(H). Тогда КН – подгруппа группы G и Н нормальна в КН.
13. Любое (конечное или бесконечное) пересечение подгрупп (нормальных подгрупп) – подгруппа (нормальная подгруппа). Объединение возрастающей последовательности подгрупп (нормальных подгрупп) – подгруппа (нормальная подгруппа).
    Ядро всякого гомоморфизма – нормальная подгруппа. Обратно, всякая нормальная подгруппа служит ядром некоторого гомоморфизма.
14. Если f: G G – сюръективный гомоморфизм, ядро которого – подгруппа Н, то f_*:G/H G, (f_*:хН f(x)) является изоморфизмом. Если f не был сюръективным, то f_* устанавливал бы изоморфизм между G/H и Imf.
15. Пусть К и Н – подгруппы G и H N(К). Тогда H K – нормальная подгруппа H и HK=KH есть подгруппа G. Н/H K НК/К.
16. (Вторая теорема Силова) Каждая р-подгруппа содержится в некоторой силовской р-подгруппе.
17. (Третья теорема Силова) Все силовские р-подгруппы сопряжены.
    Число силовских р-подгрупп 1 mod p.
18. Все группы порядка 15 – циклические. В группе порядка 196 существует нормальная силовская подгруппа.
19. Каждая конечная группа изоморфна подгруппе некоторой симметрической группы. Знак перестановки. Знак транспозиции. Элементарная транспозиция.
20. Пусть – любая перестановка, а – транспозиция, – знак перестановки . Тогда
21. Каждая перестановка разлагается в произведение циклов. Каждый цикл разлагается в произведение транспозиций.
    Для любых перестановок , верно:

Примеры экзаменационных вопросов к конспекту №10:

6. Теорема о ранге матрицы.
7. Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям линейно независимы. Множество всех собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному значению, вместе с нулевым вектором образуют инвариантное подпространство.
8. Пусть линейные операторы А и В коммутируют: АВ=ВА. Докажите, что подпространство R() всех собственных векторов A, отвечающих собственному значению ( плюс 0) инвариантно относительно В.
9. Докажите, что проекторы удовлетворяют уравнению р²=р и что если некий оператор р обладает этим свойством (р²=р), то он – проектор.
10. Определители малых (второго и третьего) порядков. Миноры и алгебраические дополнения. Индуктивное определение определителей.
11. Определитель – полилинейная и кососимметрическая функция своих строк (столбцов).
12. Для любых матриц А и В имеет место: Det(AB)=DetA•DetB.
13. Определитель и след оператора являются инвариантами этого оператора.
14. Если для некоторой билинейной формы из (х,у)=0 следует (у,х)=0, то она либо симметрическая, либо кососимметрическая.
    Любую билинейную форму можно разложить в сумму двух форм, симметрической и кососимметрической.
15. Существуют лишь три не изометричных одномерных ортогональных пространства над R, задаваемых в координатах произведениями ху, -ху и 0 и два не изометричных одномерных ортогональных пространства над С: задаваемых произведениями ху, и 0.
16. Любое двумерное симплектическое пространство над R или над С изометрично пространству с формой, заданной в координатах выражением х₁у₂-х₂у₁.
17. Сигнатуры пространств, эрмитовых над С или ортогональных над R совпадают между ними можно установить изометрию.
18. Существование ортогональных базисов. Квадратичные формы. Приведение квадратичных форм к сумме квадратов. Ортогонализация Грама – Шмидта.
19. Евклидовы пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольника. Теорема Пифагора. Угол между векторами и длина вектора.
20. Симплектические пространства. Симплектический базис. Каждое изотропное подпространство содержится в максимальном изотропном подпространстве. Для каждого максимального изотропного подпространства найдётся другое максимальное изотропное подпространство такое, что всё пространство разлагается в прямую сумму этих двух подпространств. Симплектическая группа.
21. Пространство Минковского. Псевдоевклидово пространство. Группа и преобразование Лоренца. Закон сложения скоростей в Специальной теории относительности.

Примеры экзаменационных вопросов к конспекту №13:

1. Постройте:

а) компактное множество вещественных чисел, имеющее счётное множество предельных точек.
б) семейство замкнутых множеств такое, что пересечение любого конечного подсемейства не пусто, а пересечение всего семейства пусто.
в) семейство ограниченных множеств такое, что пересечение любого конечного подсемейства не пусто, а пересечение всего семейства пусто.
г) бесконечное замкнутое множество, не имеющее предельных точек.
д) бесконечное ограниченное множество, не имеющее предельных точек.
е) систему вложенных замкнутых множеств, не имеющих общей точки.
ж) систему вложенных ограниченных множеств, не имеющих общей точки.

2. Любое непустое совершенное множество несчётно.

3. Каждое замкнутое множество в сепарабельном метрическом пространстве является объединением совершенного множества (быть может, пустого) и некоторого не более чем счётного множества. Следствие: в R^k каждое счётное замкнутое множество имеет изолированные точки.

4. Пусть – семейство компактов такое, что пересечение любого конечного подсемейства не пусто. Докажите, что тогда и пересечение всего семейства не пусто.

5. Докажите, что любое бесконечное подмножество компакта имеет в нём свою предельную точку. Если в метрическом пространстве каждое бесконечное подмножество имеет предельную точку, то оно компактно.

6. Докажите, что Канторово множество не пусто, компактно, совершенно и вполне несвязно.

7. Каждое открытое множество в R¹ является объединением не более чем счётного числа попарно непересекающихся интервалов.

8. Докажите одно из следующих утверждений:

а) Если евклидово пространство R^k представлено объединением счётного числа своих замкнутых подмножеств, то хотя бы одно из них имеет непустую внутренность;
б) Пересечение счётного числа всюду плотных открытых подмножеств евклидова пространства не пусто.

Объясните, почему они эквивалентны.

9. Пусть f – непрерывная биекция компакта Х на Y. Тогда и обратное отображение f^-1:Y X непрерывно.

10. Вещественная функция, непрерывная на компакте, равномерно непрерывна на нём.

11. Множество точек разрыва монотонной функции не более чем счётно.

Множество точек простого разрыва любой вещественной функции не боле чем счётно. Постройте пример функции, непрерывной во всех иррациональных точках и имеющей простой разрыв во всех рациональных точках вещественной прямой

12. Докажите, что вещественная, равномерно непрерывная функция, заданная на ограниченном подмножестве вещественной прямой, ограничена.

13. Пусть f – вещественная функция, заданная и непрерывная на замкнутом подмножестве ЕI R. Докажите, что у неё существует непрерывное продолжение на всю вещественную прямую R

14. Докажите, что функция d_E(х) расстояния от точки х до подмножества Е метрического пространства М равномерно непрерывна на всём метрическом пространстве М.

15. Определите расстояние между двумя подмножествами метрического пространства. Докажите, что оно положительно, если оба подмножества замкнуты, не пересекаются и одно из них ещё и компактно. Приведите пример, когда расстояние между двумя непересекающимися замкнутыми, но не компактными подмножествами метрического пространства равно нулю.

16. Докажите, что нуль-множество непрерывной функции замкнуто. Докажите, что любое замкнутое множество является нуль-множеством некоторой непрерывной функции. Докажите, что метрические пространства нормальны.

17. Докажите, что каждое открытое отображение f:R R – монотонная функция.

18. Докажите, что каждая выпуклая функция, заданная на открытом множестве, непрерывна.

Примеры экзаменационных вопросов к конспекту №14:

1. одним прямолинейным разрезом можно разрезать любые два блина на плоскости на две равновеликие части.
2. двумя взаимно перпендикулярными прямолинейными разрезами любой плоский блин можно разрезать на 4 равновеликие части.
3. Порядок замкнутой кривой относительно точки не меняется при гомотопии.
4. Окружность не является ретрактом своего круга.
5. Любое непрерывное отображение круга в себя имеет, по крайней мере, одну неподвижную точку.
6. Если непрерывное векторное поле на круге не обращается в ноль нигде на его окружности, и при этом индекс векторного поля относительно этой окружности не равен нулю, то найдётся внутри круга точка, в которой векторное поле обращается в ноль.
7. Каждое непрерывное отображение сферы в плоскость переводит некоторую пару антиподов в одну и ту же точку.
8. Любые три блина в пространстве можно одной плоскостью разделить на равновеликие части.
9. Любое непрерывное касательное векторное поле на сфере, по крайней мере, в одной из точек обращается в ноль. Идеального ежа нельзя причесать!
10. (Основная теорема алгебры) Всякий многочлен с комплексными коэффициентами степени n 1 имеет корень в .
11. Пусть поле F алгебраически замкнуто, E – линейное пространство над F, dimE_F=n 1 и А:Е Е –эндоморфизм пространства Е. Тогда эндоморфизм А имеет собственный вектор.
12. Пусть dimE_F< и каждый эндоморфизм пространства Е имеет собственный вектор. Тогда поле F не имеет нетривиальных конечных расширений.
13. Если поле F не имеет нетривиальных конечных расширений, то всякий неприводимый многочлен над К имеет степень 1. Если всякий неприводимый многочлен над F имеет степень 1, то поле F алгебраически замкнуто.

Примеры экзаменационных вопросов к конспекту №15:

1. Постройте последовательность, множеством частичных пределов которой служит вся вещественная прямая;
2. Признаки сходимости рядов Коши и Даламбера;
3. Если хотя бы один из двух сходящихся рядов сходится абсолютно, то их произведение Коши сходится, причём сходится именно к произведению сумм этих рядов;
4. Пусть ряд сходится. Докажите, что на интервале (-1,1) определена функция f(x)= и ;
5. Всякий раз, когда произведение двух сходящихся рядов сходится, оно сходится именно к произведению этих рядов;
6. Пусть – неабсолютно сходящийся ряд и Тогда существует перестановка а’_n с частными суммами s’_n такая, что ; ;
7. Ряд комплексных чисел а_n сходится безусловно он сходится абсолютно;
8. Допустим, что ряд а_n, состоящий из положительных вещественных чисел, расходится; s_n=. Докажите, что ряды и расходятся, а ряд сходится. Что вы можете сказать о рядах и ?
9. Допустим, что ряд а_n, состоящий из положительных вещественных чисел, сходится;r_n=. Докажите, что тогда ряд расходится, а рядсходится.

Примеры экзаменационных вопросов к конспекту №16:

1. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производная произведения и частного функций. Производная многочлена.
2. Равномерная и поточечная сходимость. Предел равномерно сходящихся непрерывных функций – непрерывная функция. Контрпримеры.
3. Из дифференцируемости вытекает непрерывность. В точках локального экстремума производная равна нулю.
4. Теоремы о среднем значении (Ролля, Лагранжа и Коши)
5. Производная не может иметь простых разрывов (первого рода).
6. Правило Лопиталя. Контрпример для комплексного случая.
7. Экспонента и логарифм. Их свойства. Производная степенной функции хa для произвольного a (не целого).
8. Формула Тейлора. Многочлен Тейлора в нуле для элементарных функций.
9. Интегрируемость по Риману и по Стилтьесу. Когда интеграл Стилтьеса является пределом своих интегральных сумм, и когда нет (контрпример).
10. Признаки интегрируемости по Риману и по Стилтьесу.
11. Интеграл – линейный функционал по f, , по пределам интегрирования и “почти” скалярное произведение.
12. Квадратура параболы, параболоида вращения, шара, цилиндрического отрезка.
13. Формула Ньютона-Лейбница.
14. Пусть функция на [a,b]), а функция дифференцируема и ’ [a,b].
    Тогда () на [a,b] и .
15. Пусть . Тогда
16. Приёмы неопределённого интегрирования.
17. Пусть функция . Тогда

18. Функция полной вариации, её свойства.

19. f непрерывна на [a,b] v_f непрерывна на [a,b]; функция v_f непрерывна в х f непрерывна в х [a,b].

20. Интегральные теоремы о среднем значении.

21. Формула длины спрямляемой гладкой кривой.

22. Тригонометрические функции и их свойства. Гиперболические функции.

23. Основная теорема алгебры. Доказательство, основанное на свойстве экспоненты с чисто мнимым показателем.

Ученики, не готовясь специально ни к тестам, ни к олимпиадам, успешно справлялись как с заданиями административных контрольных работ и всевозможных ГИА и (пока пробных) ЕГЭ, так и с олимпиадными задачами, принося ежегодно дипломы и грамоты с окружных, городских олимпиад, турниров Архимеда, Ломоносова и Турнира городов. Причина этого, как нам кажется – их общая математическая зрелость, воспитанная на систематическом изучении курса математики в её более-современном виде, чем тот, что присутствует в школьных учебниках.

Нам кажется, что стоит ещё раз задуматься над заголовком замечательного двухтомника Феликса Клейна “Элементарная математика с точки зрения Высшей”.