Цель: Познакомить обучающихся с решением иррациональных уравнений и неравенств с параметром. Способствовать развитию навыка решения задач.

Содержание занятий.

Задачи с параметром даются в текстах ЕГЭ.

Фактически задача с одним параметром содержит не одну неизвестную , а две - и параметр Множество решений такого уравнения - это множество пар чисел , подстановка которых в уравнение обращает его в верное равенство. Аналогично, множество решений неравенства с неизвестной  и параметром

 - множество пар чисел (, обращающих его в верное числовое неравенство. На I этапе решения классифицируются типы уравнений и неравенств для каждого значения параметра, а на II этапе – решаются не одно, а несколько уравнений (неравенств) каждого типа. Выделенные два этапа не обязательно идут в строгой последовательности I, II. В процессе решения они могут «переплетаться».

Пример №1 Решить уравнение

Решение. Перепишем уравнение в виде:

 (1)

и рассмотрим его как квадратное относительно . Находим дискриминант уравнения D=. Уравнение (1) имеет решение только в случае, если .

Заметим, что уравнение (2) имеет решение тогда и только тогда, когда , т. е. при  . Решив уравнения (2) и (3), получим при

Таким образом, приходим к следующему ответу:

при  уравнение имеет два корня: х1 и х2 ; при  уравнение имеет один корень: х2; при  решений нет.

Пример №2 Решить уравнение

Решение. Функция  определена и возрастает на промежутке . Наименьшее значение она принимает в точке ; . Следовательно, при  уравнение  имеет единственное решение, при  решений нет.

Итак, пусть . Переписав уравнение в виде

, (1)

возведём обе его части в квадрат:

. (2)

Уравнение (2) является следствием (1). Перепишем его в виде:

 (3)

Уравнение (3) является квадратным относительно . Решив его, получаем совокупность двух уравнений:

При  уравнение (4) решений не имеет, а уравнение (5) имеет один корень

.

Так как при любом  исходное уравнение имеет один корень, и притом только один, то найденный корень и является корнем исходного уравнения.

Ответ: При  , при  решений нет.

Пример №3. Решить уравнение

Решение. Уравнение равносильно системе

При  система решений не имеет, при  получим

Заметив, что  при  приходим к ответу: при   при  3 решений нет.

Графическое решение

Пример №4

Решить уравнение

Решение. , на множестве Д уравнение  равносильно исходному.

Уравнение  равносильно системе

Изобразим на плоскости (х;а) график функции  - это парабола с минимумом в точке , пересекающая ось  в точке

Укажем также области плоскости (х;а), в которых выполняются неравенства системы

1.  - полуплоскость ниже прямой , не включая эту прямую;
2.  вертикальная полоса между прямыми  и  включающая правую границу;
3.  полуплоскость выше прямой  включая эту прямую.

Таким образом, исходное уравнение имеет решение при указанных условиях, иллюстрирующееся частью параболы, заключённой внутри трапеции АВСД, т. е. при .

При всех остальных действительных значениях  решения нет.

Ответ:  при

Решений нет при

Пример №5.

Для любого значения  решите неравенство

.

Решение. Во-первых, заметим, что левая часть неравенства представляет собой квадратный трёхчлен относительно  с корнями

 так что левая часть раскладывается на множители

. (1)

Во-вторых, при  имеем особый случай: , решением которого является .

В- третьих, заметим, что значение разности во второй скобке положительно при . Так что при  неравенство (1) можно переписать в виде

.

При  в (1) значение суммы в первой скобке положительно, то есть (1) можно переписать в виде неравенства

.

Наконец, заметим, что  входит в последний случай.

Осталось скомпоновать

Ответ: если , то ;

Если  то .

Пример №6 Для каждого значения  решите неравенство

Решение. При  неравенство не выполняется и оно равносильно системе неравенств

Рассмотрим второе  При  нет решений, а для  имеем  Первое из этих неравенств заведомо выполнено (и ). Получаем систему

Двойное неравенство этой системы непротиворечиво лишь при условии  при условии  приводит к условию .

Итак, остаётся решить последнее неравенство системы (1) при . Основная идея – решаем неравенство относительно , объявляя на время  параметром.

1. Если , то есть  - уже решение.
2. Если же , то есть , то

. (1/)

Дискриминант квадратного трёхчлена

,

а его корни  и . Заметим, что очевидно  при х > 0. Значит, решения неравенства (1/) суть

.

Здесь первое неравенство следует из неравенства . Остаётся  для любого  (

При  решение последнего неравенства составляют промежутки

С учётом  очевидно, остаётся лишь второй промежуток.

Наконец, убедимся, что при

<.

Установим двойное неравенство

При  каждое из них сводиться к неравенству  (легко проверить!). Остаётся лишь записать

Ответ: если , то решений нет ;

если , то .

Задачи для самостоятельной работы